version pdf

||
˜
Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
Département des mathématiques
Prof. E. Bayer Fluckiger
Algèbre linéaire
Sections de Matériaux et de Mécanique
semestre d’hiver 2001-2002
Corrigé Série 13
28.01.02
a b
Exercice 1 1) Soient M =
c d
On vérifie assez facilement que
*
*
*
*
*
et M 0 =
a0 b 0
c0 d0
.
< M,M 0 >=< M 0 ,M >,
< M + M 0 ,M 00 >=< M,M 00 > + < M 0 ,M 00 >,
< λM,M 0 >=< M,λM 0 >= λ < M,M 0 >, λ ∈ R,
< M,M > ≥ 0,
< M,M >= 0, si et seulement si M = 0.
2) Les calculs montrent que :
* < M1 ,M1 >= 2, < M2 ,M2 >= 4, < M3 ,M3 >= 2,
* < M1 ,M2 >= 0, < M1 ,M3 >= 1, < M2 ,M3 >= 2.
√
• Posons W1 = 1/ 2 M1 .
• Construisons ensuite un second vecteur W20 à partir de M2 , orthogonal à M1 :
W20 = M2 −
< M1 ,M2 >
M1 = M 2
< M1 ,M1 >
Calculons la norme de W20 :
< W20 ,W20 >= M22 = 4
Puis posons W2 = 1/2 W20 = 1/2 M2 .
• Pour finir, soit W30 un vecteur construit à partir de M3 , orthogonal à M1 et M2 :
< M3 ,M1 >
W30 = M3 −
M1 − < M3 ,W2 > W2 = M3 − 1/2 M1 − 1/2 M2 .
< M1 ,M1 >
√
On a < W30 ,W30 >= 1/2. Soit W3 = 2 W30 .
La famille {W1 ,W2 ,W3 } forme une base orthonormale de S.
Exercice 2


2 0 4 0
 3 −4 12 0 

Soit la matrice M = 
 1 −2 5 0 .
0 0 0 1
1) Le polynôme caractéristique P de M est donné par :
P (λ) = det(M − λI) = λ(λ − 1)2 (λ − 2)
2)
• Etude de E0 : il faut chercher les vecteurs v = (a,b,c,d)
sytème
 :

2a
+4c
= 0


=

 a −2b +c
3a −4b +12c
= 0
2b −3c
=
⇐⇒
a −2b +5c
= 0



d
=

d = 0
vérifiant M v t = 0. On obtient le
0
0
0
La famille {(−4,3,2,0)} forme une base de E0 .
•Recherche
 a
3a −5b
 a −2b
de E1 . On obtient le système :
+4c
= 0
a
+4c
+12c
= 0 ⇐⇒
b
+4c
= 0
= 0
= 0
E1 = {λ(0,0,0,1) + β(−4,0,1,0),λ,β ∈ R}. La famille {(0,0,0,1),(−4,0,1,0)} forme une base de
E1 .
•Recherche



3a −6b
a −2b



de E2 . On obtient le système :

+4c
= 0
c
= 0

+12c
= 0
a −2b
= 0
⇐⇒
+3c
= 0

d = 0
d = 0
La famille {(2,1,0,0)} forme une base de E2 .
3) La famille {(−4,3,2,0),(0,0,0,1),(−4,0,1,0),(2,1,0,0)}, constituée
forme une base de R4 . La matrice M est diagonalisable.



−4 0
0 0 0 0



0 1 0 0 
 3 0
On obtient : P −1 M P = 
 0 0 1 0 , où P =  2 0
0 1
0 0 0 2
passage.
de quatre vecteurs propres,
−4
0
1
0

2
1 
 est la matrice de
0 
0
Exercice 3
Soit y = ax + b l’équation de D. La méthode
déterminé
suivant :




b = 1
0 1 



 1 1  a
a +b = 1


=
⇐⇒ 

 1 1  b
a +b = 2


 2a +b = −1
2 1
des moindres carrés donne le sytème sur
1
1 

2 
−1
0 1 1 2
Multiplions cette dernière égalité à droite et à gauche par
pour obtenir le
1 1 1 1
système
6 4
a
1
=
4 4
b
3
On trouve ainsi a = −1 et b = 7/4. La droite D a pour équation : y = −x + 7/4.