Séparation exacte d`inégalités GUB cover étendues pour des

Séparation exacte d'inégalités GUB cover étendues pour des
contraintes de sac-à-dos
É. Naudin1 , P. Chan1 , D. Gravot2 , M. Hiroux1 , T. Zémmouri1 , et G. Weil1
1
Equitime, 19 avenue du Granier, 38240 Meylan
{enaudin,pchan,mhiroux,tzemmouri,gweil}@equitime.fr
2
Rostudel, 57 rue d'Alleray, 75015 Paris
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1 Introduction
Nous nous intéressons à la génération d'inégalités cover pour des contraintes de sac-à-dos lorsqu'elles sont couplées à des contraintes d'incompatibilité appelées GUB (generalized upper bound).
Considérons le polytope suivant :
X

[

ai .xi ≤ b
(1)



N=
Nj



 i∈N
X
i∈J
où
P1 (N ) =
xi ≤ 1, ∀j ∈ J (2)

 ∀j1 , j2 ∈ J, j1 6= j2 , Nj1 ∩ Nj2 = ∅




i∈N
j

∀i ∈ N, b ≥ ai ≥ 0

|N |
x ∈ {0; 1}
La contrainte de sac-à-dos est exprimée par la contrainte (1) et les contraintes GUB sont représentées par la série (2). Dans notre problématique, ces deux séries de contraintes s'intègrent dans
un programme mathématique pour lequel N est un ensemble de très grande taille, J est relativement réduit et de nombreuses variables ont le même coecient a dans la contrainte (1). Aussi,
vu la taille du programme mathématique, nous considérons que dans la méthode globale, le gros
consommateur de temps est le solveur qui est appelé à chaque ajout de coupe. An de faire appel
moins souvent au solveur, nous ne cherchons pas la coupe la plus fortement violée, mais toutes
les inéglalités cover non dominées et qui sont violées par la solution courante. Nous présentons
diérentes séries d'inégalités valides pour le polytope P1 ainsi que des algorithmes de recherche.
2 Inégalités Cover
(
Considérons le polytope issu de la contrainte de sac-à-dos : P K(N ) =
L'ensemble C ⊆ N est une cover si :
X
X
)
ai .xi ≤ b, x ∈ {0; 1}|N |
i∈N
ai − b = λ > 0
i∈C
À chaque cover, nous
Xpouvons associer une inégalité valide (Balas, [1], Hammer et al. [7], Padberg,
[8], Wolsey, [10]) :
xi ≤ |C| − 1
i∈C
La recherche des ensembles C pour lesquels l'inégalité correspondante est violée par la solution
courante est un problème NP-dicile. Boyd, [3], propose un algorithme pseudo-polynômial pour la
séparation de cover minimales. Cet algorithme traite un problème de ot avec un nombre pseudopolynômial de sommets et d'arêtes. La complexité de la résolution est pseudo-polynômiale.Une
autre technique de séparation consiste à modéliser le problème comme un problème de sac-à-dos
dont la solution optimale donne la coupe la plus violée par la solution courante (Crowder et al.,
[4], Gu et al., [6], ...) et à le résoudre par programmation dynamique ou par heuristique.
2.1 Inégalités Cover étendues
Soit C ⊆ N un ensemble de cover et E(C) =X
C ∪ {i ∈ N, ai ≥ aj , ∀j ∈ C}. L'inégalité suivante est
valide (Wolsey, [10], Balas et Zemel, [2]) :
xi ≤ |C| − 1
i∈E(C)
Des heuristiques peuvent être utilisées pour la séparation des cover étendues (Van Roy et Wolsey,
[9]). Gabrel et Minoux, [5] ont proposé un algorithme exact selon le critère du ratio.
2
Naudin, Chan, Gravot, Hiroux, Zémmouri, Weil
3 Inégalités GUB Cover
Revenons au polytope de départ P1 (N ) : l'ensemble cover C ⊆ N est une GUB cover pour P1 (N )
si : ∀j ∈ J, |C ∩ Nj | ≤ 1
X
L'inégalité suivante est valide, c'est une inégalité GUB cover (Wolsey, [11]) :
xi ≤ |C| − 1 (3)
i∈C
3.1 Première extension
Une inégalité GUB cover peut être étendue de la façon suivante :
½
X
ai où i ∈ C ∩ Nj si C ∩ Nj 6= ∅
Soit, α/∀j ∈ J, αj =
0 si C ∩ Nj = ∅
X
xi ≤ |C| − 1
(4)
j∈J/
i∈Cj /
C∩Nj 6=∅ a ≥α
i
j
Pour la séparation, il n'est pas susant de rechercher les inégalités GUB cover violées et de les
étendre avec le vecteur α. En eet, ces coupes étendues étant plus fortes, une inégalité GUB cover
non violée pourrait être étendue à une contrainte étendue violée. Nous présenterons un algorithme
exact qui permet de déterminer toutes les inégalités (4) violées par la solution courante.
3.2 Seconde extension
Cette seconde inégalité peut encore être étendue :
(
ai où i ∈ C ∩ Nj si C ∩ Nj 6= ∅
Soit, β/∀j ∈ J, βj = max(a ) si C ∩ N = ∅
i
j
i∈C
X X
j∈J
xi ≤ |C| − 1
(5)
i∈Cj /
ai ≥βj
Cette série de coupes étant plus forte que la série (4), il n'est pas susant de rechercher les inégalités
(4) violées puis de les étendre pour trouver toutes les coupes (5) violées. Nous présenterons un
algorithme dédié à la recherche de toutes les coupes (5) violées par la solution courante.
4 Contraintes de sac-à-dos pénalisées
Dans de nombreux problèmes, les contraintes peuvent être caractérisées de souples, elles peuvent
être violées au prix d'un coût que l'on cherche à minimiser. Nous verrons alors comment utiliser
les inégalités
X GUB cover étendues lorsque les contraintes de sac-à-dos sont munies d'une variable
d'écart :
ai .xi ≤ b + s
i∈N
Références
1. E. Balas. Facets of the knapsack polytope. Mathematical Programming, 8 : 146-164, 1975.
2. E. Balas and E. Zemel. Facets of the knapsack polytope from minimal covers. SIAM Journal on Applied
Mathematics, 34 : 119-148, 1978.
3. E.A. Boyd. A pseudo-polynomial network ow formulation for exact knapsack separation. Networks,
22 : 503-514, 1992.
4. H. Crowder, E.L. Johnson, and M.W. Padberg. Solving large-scale zero-one linear programming problems. Operations Research, 31 : 803-844, 1983.
5. V. Gabrel and M. Minoux. A scheme for exact separation of extended cover inequalities and application
to multidimensional knapsack problems. Operations Research Letters, 30 : 252-264, 2002.
6. Z. Gu, G.L. Nemhauser, and M.W.P. Savelsbergh. Lifted cover inequalities for 0-1 integer programs :
computation. INFORMS Journal on Computing, 1997.
7. P.L. Hammer, E.L. Johnson, and U.N. Peled. Facets of regular 0-1 polytopes. Mathematical Programming, 8 : 179-206, 1975.
8. M.W. Padberg. A note on zero-one programming. Operations Research, 23 : 833-837, 1975.
9. T. Roy and L. Wolsey. Solving mixed integer programming problems using automatic reformulation.
Operations Research, 35 : 45-57, 1987.
10. L.A. Wolsey. Faces for linear inequality in 0-1 variables. Mathematical Prog., 8 : 165-178, 1975.
11. L.A. Wolsey. Valid inequalities for 0-1 knapsacks and MIPs with generalized upper bound constraints.
Discrete Applied Mathematics, 29 : 251-261, 1990.