Devoir surveillé Math sciences de l`ingénieur

Devoir surveillé Math sciences de l’ingénieur
licences Biochimie et BCP – S4 – 1 avril 2008
durée : 2 heures
Question 1 (7 points) On désigne par P2 [X] l’espace vectoriel des polynômes
de degré inférieur ou égal à 2 en la variable X. Soit f l’application de P2 [X]
dans P2 [X] définie par
f (P ) = P − P ′ (0).X
où P ′ (0) désigne la dérivée de P en 0.
(a) Montrer que f est une application linéaire.
(b) Chercher l’ensemble des polynômes P ∈ P2 [X] tels que P = P ′ (0).X. En
déduire une base de ker(f ). L’application f est-elle injective ?
(c) Calculer dim Im(f ). L’application f est-elle sujective ? Donner une base
de Im(f ).
Question 2 (6 points) Soit la matrice


1 0 −1
A= 0 1 1 
1 0 1
(a) Calculer la matrice B = 21 (A2 − 3A + 4I), où I désigne la matrice identité
(de 3 lignes et 3 colonnes).
(b) Calculer le produit AB. En déduire la matrice inverse A−1 de A.
Question 3 (7 points) On considère un nombre fixé a ∈ R et l’application
linéaire φ : R3 → R3 définie par
φ(x, y, z) = (4x + 6y + z, 2x + 3y + az, ax + z)
(a) Donner (pour tout a) une partie génératrice de l’image Im(φ).
(b) Montrer que si a = 0, le noyau ker(φ) n’est pas {~0}. Trouver dans ce cas
une base du noyau ker(φ) et une base de l’image Im(φ) ; quel est alors le rang
de φ ?
(c) Montrer qu’il existe une deuxième valeur de a telle que le noyau ker(φ)
n’est pas {~0}.
(d) Pour toutes les autres valeurs de a, quel est le rang de φ ; pourquoi ?