Série 11

EPFL - Section de Mathématiques
Introduction
à la théorie des nombres
Semestre Printemps 2009
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
07.05.2009
Série 11
Exercice 1
Soit K un corps de nombres. On note OK son anneau des entiers.
1. Soit a ⊂ OK un idéal non nul de OK . Montrer : a ∩ Z 6= 0.
2. Soit p un idéal premier de OK .
(a) Montrer que l’idéal p contient un unique nombre premier p ∈ Z et que p ∩ Z = pZ.
(b) Montrer que le groupe OK /p est un Fp -espace vectoriel.
Q
3. Soit p ∈ Z un nombre premier. On écrit pOK = ri=1 pei i la décomposition de l’idéal pOK
en produit d’idéaux premiers.
(a) Montrer : pi ∩ Z = pOK pour tout i.
En particulier, chaque OK /pi est un Fp -espace vectoriel. On note fi = [OK /pi : Fp ]
la dimension de cet espace.
P
(b) On note n le degré du corps K. Montrer la relation : n = ri=1 ei fi .
Exercice 2
√
L’objectif de cet exercice est de montrer que l’anneau des entiers du corps K = Q( −19)
est factoriel. Rappelons que ceci est équivalent à affirmer que l’anneau OK est principal, en
d’autres termes que le nombre de classes d’idéaux du corps K est 1.
Soit I un idéal non nul de OK .
1. Calculer le discriminant absolu du corps K. En déduire que l’idéal I est équivalent à un
idéal J de OK de norme 1 ou 2.
2. On suppose N (J) = 2.
(a) Montrer que l’idéal J est premier, puis que J ∩ Z = 2Z.
(b) Montrer que l’idéal (2) = 2OK est maximal dans OK , d’où l’égalité J = (2).
Indication : on pourra démontrer et utiliser l’isomorphisme suivant :
OK /(2)
'
F2 [X]/(X 2 + X + 1).
(c) Trouver une contradiction.
3. Déduire des questions précédentes que l’idéal I est principal et conclure.