Développements limités usuels

Développements limités usuels
(au voisinage de 0)
ex = 1 +
x2
xn
x
+
+ ··· +
+ o(xn )
1!
2!
n!
ch x = 1 +
x2 x4
x2n
+
+ ··· +
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
sh x = x +
x3 x5
x2n+1
+
+ ··· +
+ o(x2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
th x = x −
x3
2
17 7
+ x5 −
x + o(x8 )
3
15
315
cos x = 1 −
x2 x4
x2n
+
+ · · · + (−1)n .
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
sin x = x −
x3 x5
x2n+1
+
+ · · · + (−1)n .
+ o(x2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
tan x = x +
x3
2
17 7
+ x5 +
x + o(x8 )
3
15
315
(1 + x)α = 1 + αx +
α(α − 1) 2
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
x + ··· +
x + o(xn )
2!
n!
1
= 1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn + o(xn )
1+x
√
√
1+x=1+
x 1 2
1.1.3.5 . . . (2n − 3) n
− x + · · · + (−1)n−1 .
x + o(xn )
2 8
2n n!
x 3
1
1.3.5 . . . (2n − 1) n
x + o(xn )
= 1 − + x2 + · · · + (−1)n .
n n!
2
8
2
1+x
ln (1 + x) = x −
argth x = x +
arctan x = x −
x2 x3
xn
+
+ · · · + (−1)n−1 . + o(xn )
2
3
n
x3 x5
x2n+1
+
+ ··· +
+ o(x2n+2 )
3
5
2n + 1
x3 x5
x2n+1
+
+ · · · + (−1)n .
+ o(x2n+2 )
3
5
2n + 1
argsh x = x −
1 x3 3 x5
1.3.5 . . . (2n − 1) x2n+1
+
+ · · · + (−1)n .
+ o(x2n+2 )
2 3
8 5
2n n!
2n + 1
arcsin x = x +
1 x3 3 x5
1.3.5 . . . (2n − 1) x2n+1
+
+ ··· +
+ o(x2n+2 )
n
2 3
8 5
2 n!
2n + 1