section en Té - Flexion ELS-ELU

Exercice Té ELS-ELU
Exercice complet Poutre en Té (flexion ELS-ELU - tranchant
Données câble :
:=
:=
:=
:=
7T15S
Diamètre câble : θ :=
:= ⋅
:=
:=
=
! :=
:=
:=
:=
⋅
:=
:=
Données béton :
:=
γ :=
⋅
−
" :=
! # $% :=
& # $% :=
#
:=
#
=
⋅
:=
⋅
=
Poutre isostatique, densité linéïque de charge constante : la section la plus critique est à mi-travée. Le cas de
charge le plus défavorable est lorsque les surcharges occupent toute la travée.
:=
' :=
( :=
−
⋅
⋅
−
(superstructures)
(charges variables caractéristiques)
ψ :=
coefficient charges fréquentes par
rapport à charges caractéristiques
Limites réglementaires :
σc < 0,6 fcj avec : P = P i = rconstr Pu
En construction :
En combinaison quasi permanente : 0 < σc < 0,45 fck avec : rmin . Pi < P < rmax .Pi
0 < σc < 0,6 fck avec : rmin . Pu < P < rmax .P u
En combinaison fréquente :
σc < 0,6 fck avec : rmin . Pu < P < rmax .Pu
En combinaison caractéristique :
Pi est défavorable
Pu est défavorable
On cherche à déterminer l'épaisseur du hourdis supérieur, le câblage et la forme optimale du talon.
On pourra choisir pour une première itération une valeur de l'épaisseur du hourdis supérieur de 200mm
:=
)* :=
! := ! # $%
& := & # $%
! # $%
)* := ! # $% +
:=
=
(& ⋅ ! )
( )
&⋅ !
- :=
=
+, :=
(
'=
⋅
− ! # $%
! −
& :=
! :=
− ! # $%
& :=
)* := ! −
()* ⋅ & ⋅ ! )
+ & ⋅ ! ⋅ +, − )*
=
' := γ ⋅
! := ! −
)
+ := ! − +,
=
- =
ρ :=
+=
⋅ +⋅ +,
ρ=
+, =
=
−
1
Exercice Té ELS-ELU
Détermination des moments de flexion à mi-travée :
Poids propre :
'. / :=
Superstructures :
' . / :=
Charges caract :
Charges freq :
'⋅ ⋅ . − /
'
' ⋅ ⋅. − /
( 0
. / :=
(0
. / :=
1% #
( := ψ ⋅ (
'
( ⋅ ⋅. − /
=
⋅
(0
. / :=
(0
=
⋅
1% &
% (
#
(
3(
⋅
( 0
2
%
=
. / :=
#%
1% &
⋅
( 0
( ⋅ ⋅. − /
"
=
2
2
2
#
1% &
2
%
#3 # (
2
2
2
2
2
2
2
Les conditions déterminantes sont données en rouge ci dessus.
Pour la fibre supérieure, on a :
σ ( Mc / rc , P )
σ ( Mqp / rmax , P ) > 0
> 0 (1)
σ ( MMk / rmin , P ) < 0,6 fck / rmin (3)
(2)
Pour la fibre inférieure, on a :
σ ( MMf / rmin , P ) > 0 (4)
:=
( :=
:=
'
'
+
σ ( Mc / rc , P ) < 0,6 fcj / rc (5)
( 0
+
'
+
'
σ ( Mqp / rmax , P ) < 0,45 fck / rmax (6)
:=
(0
+
'
+
'
'
1. Equations de coffrage :
2
Exercice Té ELS-ELU
(3) - (1) :
∆
0 :=
(3) - (2) :
∆
0
(5) - (4) :
∆
0 :=
(6) - (4) :
∆
0
I/v >
I / v' >
∆
0
∆σ
−
:=
(
−
−
:=
−
(
∆
0
0
∆σ
0
∆
0
∆
0
∆σ
0
∆σ
0
et
=
et
=
∆σ
0 :=
∆σ
0
∆σ
0 :=
∆σ
0
⋅
:=
4 := ⋅ φ
⋅
⋅
:=
"
−
−
⋅
−
-
=
+
=
OK
-
=
+,
On envisage des câbles 7T15S de diamètre : φ :=
L'enrobage est donc :
−
=
Il est peu probable qu'un seul lit de câbles convienne
4, := ⋅ φ
4=
4, =
2. Précontrainte minimale :
On a deux conditions sous-critiques (MMf - Mqp) et (MMf - Mc) et trois conditions surcritiques correspondant
aux trois limites de traction entourées en rouge précédemment. Donc :
(
−
P > PI
−
et :
=
ρ⋅!
=
ρ⋅!
(
P > PII
ρ ⋅ + + +, − 4,
=
On retient donc 7 câbles soit :
,
:=
On choisit :
,
:=
=
ρ ⋅ +, + + − 4
:= ⋅
(
. / := −. +, − 4,/ ⋅ ⋅
=
. / := ρ ⋅ + −
⋅. − /
ρ ⋅ +, + + − 4
4, :=
,
⋅ ⋅
⋅. − /
=−
⋅
=
⋅φ + ⋅
56717-8-96
⋅φ + ⋅
. / := −ρ ⋅ +, −
0
⋅φ
,
⋅
4, =
⋅ ⋅. − /
. / := −. +, − 4,/
3
Exercice Té ELS-ELU
. /
. /
. /
0
. /
3. Vérifications des contraintes :
σ
(
,
,
)
, : :=
+ ⋅
+
-
⋅:
σ
⋅
,
,
, −+, =
σ
⋅
,
,
,+ =
<
⋅
=
σ
⋅
,
,
, −+, = −
σ
⋅
,
,
,+ =
<
⋅
=
<
σ
⋅
,
( ,
,+ =
σ
⋅
,
( ,
, −+, =
<
⋅
=
<
σ
⋅ ,
σ
⋅ ,
<
⋅ "=
<
,
,+ =
,
, −+, =
Les contraintes sont très en dessous de la limite en fibre supérieure et dépassent les limites (compression en
construction) en fibre inférieure. On redimensionne le talon et le hourdis supérieur.
esup =16.5/21 x 20cm = 16cm environ
! # $% 0 :=
! # $% 0 :=
! # $% :=
:=
! := ! −
− ! # $%
)* := ! # $% +
! −
! :=
− ! # $%
)* := ! −
& # $% :=
& := & # $%
5#
'$ :=
! := ! # $% 0
(&# $%
−
)* :=
)⋅ !# $% 0
! # $% 0
)*#
& :=
'$ := ! # $% 0 +
! := ! # $% 0
)* := ! # $% 0 +
! # $% 0
! # $% 0
4
Exercice Té ELS-ELU
!# $% 0
(&# $%
'$ :=
-#
:=
=
( )
&⋅ !
- :=
ρ :=
(& ⋅ ! ) + 5#
=
-
' := γ ⋅
:=
(
( :=
! # $% 0
! # $% 0
−
()* ⋅ & ⋅ ! ) + )*#
4
'$ ⋅ 5#
'$ =
-#
'$
+ := ! − +, + =
+ -#
(
'$ + 5#
'$ ⋅ )*#
'$ − +,
+, =
)
=
'. / :=
'⋅ ⋅ . − /
+
( 0
=
'
+
'
:=
'
+
(0
+
'
⋅
'
'
(
−
P > PI
−
⋅
+
⋅
ρ=
:=
'
)
+ & ⋅ ! ⋅ +, − )*
'=
'
−
=
+, :=
'$
- =
⋅ +⋅ +,
)⋅
−
−
et :
=
ρ⋅!
=
ρ⋅!
(
P > PII
ρ ⋅ + + +, − 4,
=
ρ ⋅ +, + + − 4
On retient donc toujours 7 câbles soit :
On choisit :
. / := −. +, − 4,/ ⋅ ⋅
ρ ⋅ +, + + − 4
:= ⋅
σ
(
,
=
56717-8-96
=
⋅. − /
Vérifications des contraintes :
<
=
=−
,
)
, : :=
0
+ ⋅
+
-
⋅:
. / := −. +, − 4,/
+=
σ
⋅
,
,
, −+, =
σ
⋅
,
,
,+ =
<
⋅
=
σ
⋅
,
,
, −+, = −
σ
⋅
,
,
,+ =
<
⋅
=
<
σ
⋅
,
( ,
, −+, =
<
⋅
=
<
σ
⋅ ,
<
⋅ "=
,
,+ =
,+ =
σ
⋅
σ
,
⋅ ,
( ,
,
, −+, =
5
Exercice Té ELS-ELU
La section est maintenant justifiée, et on se rapproche des limites. On pourrait continuer à optimiser la section,
mais le gain n'est plus très intéressant. A noter que l'on dépasse fctm sous combinaison caractéristique. Il faudrait
en théorie faire les vérifications en section fissurée. Néanmoins, comme on ne dépasse pas trop la limite, on va se
satisfaire de ce dimensionnement.
On peut par contre essayer de dimensionner directement l'épaisseur du hourdis supérieur avec le talon initial.
⋅
+
+
⋅ ⋅
-
⋅
⋅+ = σ
+
−
⋅ ⋅
⋅ +, = σ
-
Si on multiplie la première équation par v' et la deuxième par v et qu'on les somme, il reste :
⋅
⋅ +,⋅ σ
+ +⋅ σ
soit
ce qui donne une équation
. +, + +/ = +,⋅ σ
+ +⋅ σ
=
⋅
!
qui dépend de l'épaisseur
(
)
du hourdis sup.
4. Vérification à l'ELU et détermination du ferraillage passif ELU
:=
:=
:=
:=
:=
:=
γ :=
:= −
:=
:= ⋅
:=
! :=
:=
&$
&$ ⋅
: :=
:=
γ :=
:=
:=
α
:=
γ :=
Calculs des caractéristiques mécaniques avec coefficients de sécurité :
4 :=
4 :=
α ⋅
4=
γ
:=
4=
γ
⋅
:
:4 :=
γ
=
:4 =
=
Ferraillage passif minimum :
Table supérieure comprimée, donc ferraillage minimal de 3cm²/ml :
:=
;
⋅
−
(
⋅ ⋅
:= 8
+ ⋅
,
;
+
−
)
=
;
=
;
:=
;
:= π ⋅
.
/
⋅ ;
6
Exercice Té ELS-ELU
=
Talon : ferraillage minimal de non fragilité : 4 HA12 (voir 5)
Rappels caractéritiques de section :
:=
⋅
', :=
⋅
9 :=
'+
−
⋅
−
+ :=
⋅
⋅
+, :=
:=
'=
⋅
( :=
', =
⋅
(=
⋅
< :=
⋅
(
)
'+
', +
⋅ (
−
⋅
⋅
9 =
',
Moment à l'ELU :
#=
! :=
- :=
' :=
# := ⋅ ;
⋅
<=
⋅
Vérification de la section :
Terme 1 :
ε
Terme 2 :
:=
∆,ε =
ε
⋅
σ
(
+
)
9 ,
4
9 +
⋅
∆,ε :=
La limite élastique des aciers de précontrainte est :
4 := + −
(
ε 4 :=
)⋅ -
−
∆,ε =
4
−
ε 4=
On va simplifier le calcul en supposant dst = dp
4 =
−
=
4 # := 4
Les aciers de la table supérieure sont placés en haut et en bas de la table, donc leur centre de
gravité est au milieu de celle-ci.
:=
On utilise le diagramme simplifié, en supposant que 0,8 x se trouve dans la table de compression, et on
suppose les aciers comprimés plastifiés :
Soit :
<
µ :=
4⋅
µ =
⋅4
Ecrivons l'équilibre des moments par rapport au centre des câbles :
<=
4⋅
Si on pose :
µ
⋅
α=
(
⋅ ⋅ 4 −
4
⋅
)+
:4⋅
(
)
⋅ 4 −4
on trouve : µ =
⋅α⋅( −
⋅α) + µ
µ
:=
(
:4⋅
⋅ 4 −4
4⋅
)
⋅4
=
qui se résoud en :
α :=
⋅
−
(
− ⋅ µ −µ
)
soit :
α=
7
Exercice Té ELS-ELU
donc :
0.8 x > 0.16m et se trouve donc en dessous.
⋅α⋅4 =
On utilise le diagramme simplifié, en séparant la table et l'âme :
4⋅
<=
(
)⋅
−
On pose cette fois :
⋅ 4 −
µ 0# &$ :=
(
4⋅
⋅ ⋅ 4 −
)+
⋅
:4⋅
(
⋅ 4 −4
)
µ =
⋅α⋅( −
)⋅
−
(
⋅
⋅4
µ = µ 0# &$ +
4⋅
4⋅
<
µ :=
4⋅
ce qui donne :
+
⋅α) + µ
avec
⋅ 4 −
µ
(
:4⋅
:=
⋅4
⋅ 4 −4
4⋅
)
µ 0# &$ =
⋅4
µ
=
On a donc :
α :=
⋅
(
−
)
− ⋅ µ − µ 0# &$ − µ
soit :
α=
:= α ⋅ 4
⋅ =
0.8 x se trouve bien dans l'âme, mais n'atteint pas le talon.
L'effort dans le béton et les aciers comprimés est donc :
:=
4⋅
(
)⋅
−
+
4⋅
⋅
⋅ + :4⋅
=
Il doit être équilibré par l'effort dans les aciers inférieurs (précontrainte et aciers passifs) .
=
( )+
#⋅ σ ε
d'où
=
On a :
ε = ∆,,ε
#⋅
&$ ⋅
⋅σ
⋅ε +
&$ ⋅
(ε
+ ∆,ε + ∆,,ε
⋅
ε
et
4 −
(
⋅ ε
=
)
+ ∆,ε + ∆,,ε
ε
)
si les aciers sont
élastiques.
4 −
Or
=
On cherche à dimensionner les aciers passifs de façon à atteindre une limite. Compte-tenu de la valeur de
dp - x / x , il est clair que c'est la condition ε
ε :=
⋅
−
ε :=
(4
−
)⋅ ε
=
ε =
(
+ >#
##
−
#
$%
?
∆,,ε := ε
Les aciers passifs inférieurs sont eux aussi plastifiés. Les aciers de précontrainte ont une déformation de :
ε
+ ∆,ε + ∆,,ε =
−
par rapport à leur limite élastique de
ε 4=
×
−
Ils sont donc plastifiés, et alors :
=
# ⋅ :4 +
&$ ⋅
⋅ 4
qui doit équilibrer
=
8
Exercice Té ELS-ELU
Or
&$ ⋅
ce qui est supérieur à la valeur ci-dessous. On n'a
donc pas besoin d'aciers passifs.
⋅ 4=
Concrètement, cela signifie que le béton ne travaille pas à sa déformation maximale, mais en dessous. L'axe
neutre est donc plus bas et les aciers passifs et de précontrainte ne sont pas plastifiés. Il est inutile de pousser
plus loin les calculs. La section est justifiée sans acier passif supplémentaire. Néanmoins si l'on veut calculer l'état
de déformation réel dans la section, il faut écrire les différentes équations en supposant les aciers élastiques
Les aciers inférieurs ne sont donc pas plastifiés. L'équilibre d'effort normal Ns = Nc donne :
#⋅
⋅ε +
d où :
(
&$ ⋅
#⋅
+
(
⋅
⋅ ε
&$ ⋅
+ ∆,ε + ∆,,ε
)⋅ ε
⋅
−
=
Avec les aciers passifs minimums :
ε :=
−
∆,,ε := ε
&$ ⋅
#⋅
+
(
⋅
⋅ ε
&$ ⋅
ε := ε
+ ∆,ε
)=
&$ ⋅
⋅ ε
+ ∆,ε
)
#=
)
ε =
⋅
+ ∆,ε + ∆,,ε
La section est donc bien vérifiée.
(
⋅
ε :=
ε =
4 −
⋅ε
−
:4
−
×
=
ε 4=
×
−
×
−
−
ε =
Le béton est en réalité loin d'être plastifié. La contrainte dans le béton est plus faible, donc l'axe neutre plus
bas. On va réaliser le calcul exact avec un logiciel adapté :
On trouve :
ε :=
⋅
−
ε :=
⋅
−
Refaisons le calcul avec un effort plus élevé :
Vérification de la section :
< :=
⋅
termes 1 et 2 inchangés
9
Exercice Té ELS-ELU
µ
4⋅
<
µ :=
:=
µ 0# &$ :=
4⋅
⋅4
:4⋅
⋅ 4 −4
(
4⋅
α :=
⋅
)
(
4⋅
µ =
(
)
− ⋅ µ − µ 0# &$ − µ
⋅ 4 −
⋅4
µ 0# &$ =
⋅4
−
)⋅
−
µ
soit : α =
:= α ⋅ 4
0.8 x se trouve bien dans l'âme, mais n'atteint pas le talon.
:=
4⋅
On a :
(
)⋅
−
+
⋅
ε
et
ε = ∆,,ε
4⋅
4 −
=
=
⋅ =
=
⋅ + :4⋅
ε
=
4 −
Or
=
On cherche à dimensionner les aciers passifs de façon à atteindre une limite. Compte-tenu de la valeur de
dp - x / x , il est clair que c'est la condition ε
ε :=
−
⋅
ε :=
(4
−
=
)⋅ ε
(
+ >#
##
−
ε =
#
$%
?
∆,,ε := ε
Les aciers inférieurs restent dans le domaine élastique :
#⋅
⋅ε +
&$ ⋅
⋅
⋅ ε
(
+ ∆,ε + ∆,,ε
)=
−
&$ ⋅
⋅
⋅ ε
(
+ ∆,ε + ∆,,ε
)
# :=
#=
ε ⋅
Cela représente beaucoup d'aciers passifs. Cela vient du fait que les aciers inférieurs travaillent très mal . Pour les
faire mieux travailler, il faut mettre en oeuvre des aciers comprimés de sorte que les aciers inférieurs soient
tendus à leur limite élastique.
Les aciers comprimés supérieurs et tendus inférieurs sont tels que :
ε :=
−
⋅
ε :=
:4
auquel cas
et
∆,,ε := ε
ε
Les aciers de précontrainte sont plastifiés.
4 − ⋅ε
L'équation
permet de trouver l'axe neutre
ε =
(
)
+ ∆,ε + ∆,,ε =
:=
×
4 ⋅ε
−
=
ε +ε
La quantité d'aciers comprimés est trouvé en équilibrant le moment de dimensionnement :
<=
4⋅
(
−
)⋅
⋅ 4 −
+
4⋅
⋅
(
⋅ ⋅ 4 −
⋅
)+
:4⋅
(
⋅ 4 −4
)
10
Exercice Té ELS-ELU
:=
<−
4⋅
(
)⋅
−
⋅ 4 −
−
(
4⋅
⋅
(
⋅ ⋅ 4 −
⋅
)
)
:4⋅ 4 − 4
=
Alors :
:=
#⋅ :4 +
4⋅
&$ ⋅
(
)⋅
−
+
4⋅
⋅
⋅ + :4⋅
donne :
⋅ 4=
# :=
=
−
&$ ⋅
⋅ 4
#=
:4
Au final, la quantité d'acier passif est :
soit beaucoup moins que la valeur
=
#+
trouvée ci dessus ! Il est donc très rentable de procéder ainsi.
5 Ferraillage minimum et maîtrise de la fissuration
Le fait d'avoir choisi une limite σ @ sous combinaisons fréquentes garantit que la fissuration est maîtrisée (elle l'est
lorsque l'ouverture de fissure est inférieure à 0,2mm en fréquent dans les classes d'exposition peu sévères, et
lorsque le béton ne se décomprime pas en fréquent pour les classes d'exposition les plus sévères ce qui est acquis
dans le présent exemple quelquesoit la classe). De même, aucun calcul de fatigue des armatures n'est nécessaire
puisque la section est comprimée en fréquent.
Par contre, la contrainte moyenne de traction du béton étant dépassée en combinaison caractéristique, il y a lieu
de prévoir une section d'armatures minimales. En outre, il sera nécessaire de faire un calcul de non fragilité du
béton, mais que nous ne ferons pas ici.
La quantité d'armatures passives à prévoir est telle que :
⋅σ =
Comme la maîtrise de la fissuration est assurée, on prend
⋅ ⋅ #
⋅
#
σ := :
σ =
k permet une réduction des efforts due aux déformations gênées. Comme il n'y a pas de déformation gênée ici, on
prend
:=
k c est un coefficient qui tient compte de la répartition des contraintes juste avant la fissuration. Il a une valeur
différente dans les âmes (et sections rectangulaires) et dans les talons ou hourdis. Il faut donc séparer ces 2 zones.
Sous combinaisons caractéristiques, les contraintes dans le béton sont (voir au-dessus) :
σ
. / := σ
(
⋅
,
,
)
, −+, σ
. / := σ
(
⋅
,
,
)
,+
(
σ
On dépasse donc bien la contrainte de fissuration du béton qui vaut :
)=−
#
σ
.
⋅
/=−
σ
σ
/=−
.
. / =− #
⋅
/=
.
et donc la hauteur tendue est telle que :
Par conséquent, pour l'âme :
=
)=
=
Déterminons la hauteur de béton tendue juste avant fissuration. On doit avoir : σ
:=
(
σ
#0
−σ
!#
:= !#⋅
=
σ
! − !#
d'où
!# :=
!⋅ σ
σ
.
.
/
/−σ
.
/
#0
!# =
=
11
Exercice Té ELS-ELU
(
Pour le talon :
)⋅ !# $% 0
#0# $% := &# $% −
!#− !# $% 0
+
( &# $%
−
)⋅
−
!# $% 0
4
#0# $% =
(
Pour l'âme,
:=
0
(
σ := σ
⋅
))
)+σ (
σ
−
!
⋅
0
⋅ #
σ =
Il n'y a donc pas besoin de ferraillage pour l'âme
=−
Pour le talon, pour simplifier on va assimiler la section à un rectangle de ht x (btalon - eame) :
(
)
#0# $% := !#⋅ & # $% −
0# $% =
Donc :
A
⋅
⋅ ⋅ # ⋅
:=
0
⋅
=
#0# $% ⋅ #
On ne fait donc pas une grosse erreur
#0# $% =
La valeur 0.5 provient de la distribution des contraintes en triangle
dans une section rectangulaire. L'effort est la contrainte moyenne
(fctm/2) multipliée par la section Act_talon
=
#0# $%
0
:
donc 4HA12 (section 4,52cm²) suffisent
=
6 Effort tranchant
Vérifications à l'effort tranchant :
B' :=
'⋅
B < :=
B', :=
B' +
',⋅
B', +
B( :=
⋅ B(
(⋅
B( := B' + B',
B <=
Vérification du cisaillement à l'ELS
B := B' + B', + B(
φ :=
Moment statique de la section au dessus de G par rapport à G :
µ :=
τ :=
⋅
(
−
B ⋅µ
)⋅
+−
+
⋅
+
τ =
- ⋅ &C
& C :=
−
⋅φ
)* := ! − +
µ=
τ ( :=
B( ⋅ µ
- ⋅ &C
τ( =
Pour les ponts, on peut appliquer l'annexe QQ de la partie 2 de l'EC2 pour vérifier les cisaillements.
Si on note σ1 la plus grande contrainte principale de traction, et σ3 la plus grande contrainte principale de
compression, on doit vérifier que :
σ ≤
−
⋅σ
⋅ # 0
# 0
:=
⋅ #
Si σG est la contrainte de compression au niveau du centre de gravité de la section, et τG le cisaillement au niveau
de ce même point, les deux contraintes σ1 et σ3 sont les valeurs propres de la matrice des contraintes Σ :
12
Exercice Té ELS-ELU
σ * :=
τ * := τ
σ* =
Σ :=
σ* τ*
(σ * − )⋅ .
donc les deux solutions de l'équation :
τ*
− / − τ* =
τ* =
qui sont :
σ*
σ :=
On a bien :
σ
−
⋅ σ * + ⋅τ *
<
=
σ :=
−
⋅σ
σ*
+
⋅ σ * + ⋅τ *
⋅ # 0
σ =−
σ =
=
La condition de non fissuration des âmes est donc satisfaite sans avoir besoin d'incliner les câbles pour réduire
l'effort tranchant. Par contre, l'inclinaison des câbles va être utile pour minimiser la quantité d'armatures d'effort
tranchant.
Optimisation de l'inclinaison des câbles : le cisaillement à l'ELU varie entre 2 valeurs extrêmes :
τ 0
:=
B( ⋅ µ
τ 0
- ⋅ &C
=
τ 0
et
:=
B <⋅ µ
τ 0
- ⋅ &C
=
Pour minimiser la quantité d'armatures passives, on peut par exemple appliquer une réduction d'effort tranchant de
sorte que la valeur inférieure et la valeur supérieure soient opposées. Dans ce cas, la réduction d'effort tranchant à
mettre en place est :
τ 4 := −
τ 0
+τ 0
donc
τ 4=−
Avec 7 câbles de tension utile Pu, il suffit d'une inclinaison α #
?
d où :
−B 4
α :=
⋅
soit
α=
B 4 :=
τ 4⋅ - ⋅ &C
⋅
$$ (
α⋅
B 4=−
µ
(α ) = −B
⋅
4
degrés
=
On peut incliner par exemple 7 câbles à cette valeur de α
τ 4 :=
− ⋅
⋅
⋅µ
- ⋅ &C
d'où
τ 4=−
τ 0
+τ 4=−
τ 0
+τ 4=
Ce n'est sans doute pas optimal mais il est après difficile d'aller plus loin pour des raisons d'encombrement
Pour le tracé des câbles, supposons que l'entraxe minimal entre câbles soit 32cm, et entre câble et paroi 20cm :
:=
..
) := )
) :=
+ . − /⋅
φ :=
:=
..
7 :=
⋅φ
α :=
7#
:=
..
7 :=
:=
⋅φ
φ α :=
13
Exercice Té ELS-ELU
⋅φ
⋅φ
⋅φ
)=
:=
)
7=
⋅φ
⋅φ
⋅φ
⋅φ
:=
..
)=
D. ,
)
)
:= )
+ 7⋅
=
%/ :=
( ))
− % α
)
%
+7
)
%
%/ :=
) −)
:=
(α )
#
=
(α
− ⋅#
%
:=
=
)
)
E #. ,
(
%
%
)
α=
%
)
% α
(α )
=
<
(
⋅
+ 7⋅
%
% − %
7
−
%
%
≤
<
%
%#! C
≤
%
−
− %
7#
%
⋅φ
⋅φ
%
<
≤
%
+
7#
⋅φ π
φ %#! C
E. ,
%/ :=
− φ
%=
φ
%=
.
E #. ,
−E #. ,
%= /∨.
%/
%/
%= /∨.
%= /
%=
%=
14
Exercice Té ELS-ELU
D. , /
D. , /
D. , /
Tracé
des
câbles
en
élévation
D. , /
D. , /
D. , /
D. , /
E. , /
E. , /
E. , /
Tracé
des
câbles
en
plan
E. , /
E. , /
E. , /
E. , /
B 4. / :=
=
4
D. , / ⋅
4
B <0+ . / := B < − ⋅ B <⋅
B <0 4. / := B < − ⋅ B <⋅
⋅
+ B 4. B
/ ( 0 4. / := B( − ⋅ B( ⋅
⋅
+ B 4. /
⋅
B 4. /
B <0 4. /
B( 0 4 . /
B <0+ . /
15
Exercice Té ELS-ELU
⋅ D
. / :=
, ⋅
− +,
'. / :=
γ⋅
⋅ ⋅. − /
' ⋅ ⋅. − /
' . / :=
( 0
. / :=
( ⋅ ⋅. −
=
<. / :=
. /+
⋅
(
)
'. / +
' . / +
⋅ ( 0
. /
<. /
⋅
<. / ⋅ +
+
-
=
+
:= B <0 4. / B <0
B <0
<. / ⋅ . + − ! /
On est donc comprimé sur appui
=
-
au lieu de
=
B <0+ . / =
Détermination des armatures passives. Près des appuis, les sections sont comprimées (très largement)
L'effort tranchant résistant sans armatures passives
α #⋅ # 0
α # :=
:=
#4
#4 =
γ
τ 740 :=
#4 + α $ ⋅ σ
⋅ #4
α $ :=
or
τ 740 =
σ
:= σ *
revient à un cisaillement
B <0 4. / ⋅ µ
τ 0 4 :=
- ⋅ &C
τ 0 4=
On n'a donc en théorie pas besoin d'armatures d'effort tranchant. Néanmoins, si l'on souhaite en mettre, la principe
à adopter est le suivant :
On prend une inclinaison de bielle maximale (cotθ =2.5)
:C4 :=
:
γ
) :=
⋅.
⋅
;
)⋅ :C4⋅ %#
⋅
=
0
B <
/ Donc
−
⋅
−
% +
(θ )
=
⋅
θ :=
%#
(θ ) =
−
#
Il reste à vérifier la compression des bielles :
Rappel des données :
&C =
)=
4=
σ
=
16
Exercice Té ELS-ELU
ν :=
⋅
α C :=
−
ν =
σ
+
(
≤σ
) ∧ (σ
≤
⋅ 4≤σ
) ∧ (σ
≤
4
(
−
σ
(
4
⋅ 4≤σ
)
4
)
4
) ∧ (σ
≤
)
4
α C=
:=
B74
α C⋅ & C⋅ )⋅ ν ⋅ 4
%#
alors que :
=
B74
(θ ) + # (θ )
B <=
On vérifie bien le critère de compression des bielles
L'effort supplémentaire dans les armatures longitudinales se déduit directement de l'équilibre de la bielle d'about,
mais l'Eurocode 2 introduit un facteur 1/2 devant l'effort par rapport aux anciens textes.
∆A#4 :=
B <⋅ %#
(θ )
∆A#4 =
Cet effort n'est pas à reprendre uniquement par les armatures longitudinales puisque l'on a une section précontrainte
L'EC2 précise que l'effort supplémentaire doit être inférieur à Mmax/z où MMax est le moment maximal que peut
supporter la section. Dit autrement, on doit vérifier que la section d'about peut suporter un moment de z ∆Ftd ce qui
correspond exactement à la règle de décalage des moments.
&% # := )⋅ ∆A#4
&% # =
⋅
=
- =
+=
+, =
Le moment total sur la section d'about est la somme de ce moment supplémentaire Mabout et du moment calculé
précédemment lié à l'excentricité de la précontrainte à l'about. Les contraintes (en supposant la section non
fissurée) sont :
σ
:=
−
(
&% # +
+
<. / ⋅ -
)
σ
=
σ
:=
+
(
&% # +
+,
<. / ⋅ -
)
σ
=
On voit que l'effort supplémentaire lié à la bielle d'about est aisément repris par la section précontrainte, du fait du
fort taux de compression de la section sur appui, du léger excentrement, favorable, des câbles sur la section
d'about, et aussi du fait du coefficient 0.5 pris en compte dans l'expression donnant ∆Ftd . Sans tous ces éléments
favorables, il est possible qu'un ferraillage longitudinal inférieur soit nécessaire.
17