Approche de relaxation

Approche de relaxation
Considérons le problème de programmation mathématique
( MP ) Min f ( x )
Sujet à fi ( x ) ≤ 0 i ∈ M = {1,… , m}
x ∈ X ⊂ Rn
où f , f1 ,… f m sont des fonctions à valeurs réelles.
Étant donné un sous-ensemble d'indices L ⊂ M , la relaxation
( MPL ) du problème original est définie comme suit:
( MPL ) Min f ( x )
Sujet à fi ( x ) ≤ 0 i ∈ L
x ∈ X ⊂ Rn .
Ainsi, les contraintes fi ( x ) ≤ 0, i ∈ M − L sont éliminées.
Étant donné un sous-ensemble d'indices L ⊂ M , la relaxation
( MPL ) du problème original est définie comme suit:
( MPL ) Min f ( x )
Sujet à fi ( x ) ≤ 0 i ∈ L
x ∈ X ⊂ Rn .
Ainsi, les contraintes fi ( x ) ≤ 0, i ∈ M − L sont éliminées.
Hypothèse:
Si une relaxation ( MPL ) est réalisable et bornée inférieurement,
alors le minimum est atteint en un point x L .
Procédure de rélaxation
Initialisation. Soit f = −∞. Choisir un sous-ensemble L ⊂ M .
Étape 1. Résoudre la relaxation ( MPL ) .
Si ( MPL ) n'est pas réalisable, terminer la procédure puisque
( MP ) n'est pas réalisable lui non plus.
Si ( MPL ) n'est pas bornée inférieurement, alors aller à l'étape 2.
Sinon, soit x L une solution optimale de ( MPL ) ;aller à l'étape 3.
Étape 2. Si toutes les contraintes fi ( x ) ≤ 0, i ∈ M − L, demeurent
satisfaites alors que la valeur de ( MPL ) tend vers − ∞, alors
terminer la procédure puisque le problème original ( MP ) n'est
pas borné inférieurement.
Initialisation. Soit f = −∞. Choisir un sous-ensemble L ⊂ M .
Étape 1. Résoudre la relaxation ( MPL ) .
Si ( MPL ) n'est pas réalisable, terminer la procédure puisque
( MP ) n'est pas réalisable lui non plus.
Si ( MPL ) n'est pas bornée inférieurement, alors aller à l'étape 2.
Sinon, soit x L une solution optimale de ( MPL ) ;aller à l'étape 3.
Étape 2. Si toutes les contraintes fi ( x ) ≤ 0, i ∈ M − L, demeurent
satisfaites alors que la valeur de ( MPL ) tend vers − ∞, alors
terminer la procédure puisque le problème original ( MP ) n'est
pas borné inférieurement.
Sinon, soit V ⊂ M comportant l'indice d'au moins une contrainte
i ∈ M − L qui devient positive lorsque la valeur de ( MPL ) tend
vers − ∞. Remplacer L par L′ = L ∪ V , et reprendre l'étape 1.
Étape 1. Résoudre la relaxation ( MPL ) .
Sinon, soit x L une solution optimale de ( MPL ) ;aller à l'étape3.
( )
Étape 3. Si fi x L ≤ 0, pour tout i ∈ M − L, terminer la procédure
car x L est une solution optimale de ( MP ) .
Sinon, déterminer un sous-ensemble V ⊂ M comportant l'indice
d'au moins une contrainte i où fi x L > 0.
( )
( )
Etape 4. Remplacer L par L′ = L ∪ V , f par f x L , et
reprendre l'étape 1.
Théorème 1. (Convergence) La procédure de relaxation se termine
en un nombre fini d'itérations.
Preuve. Puisque l'ensemble d'indices M comporte un nombre fini
d'éléments, alors il comporte un nombre fini de sous-ensembles
différents.
Maintenant, à chaque itération, le nouveau sous-ensemble L′ ⊂ M
est obtenu en ajoutant au moins un indice au sous-ensemble actuel
L.
Ainsi, ce processus ne peut être répété qu'un nombre fini de fois
avant que L′ devienne égal à M.
□
En acceptant d'ajouter des hypothèses supplémentaires sur la
convexité de X est des fonctions f , f1 ,… , f m , la procédure peut
être modifiée pour réduire le nombre de contraintes dans la
relaxation.
Ceci nous permet de modifier la procédure comme suit.
Procédure de rélaxation; cas convexe
Initialisation. Soit f = −∞. Choisir un sous-ensemble L ⊂ M .
Étape 1. Résoudre la relaxation ( MPL ) .
Si ( MPL ) n'est pas réalisable, terminer la procédure puisque
( MP ) n'est pas réalisable lui non plus.
Si ( MPL ) n'est pas bornée inférieurement, alors aller à l'étape 2.
Sinon, soit x L une solution optimale de ( MPL ) ;aller à l'étape3.
Étape 2. Si toutes les contraintes fi ( x ) ≤ 0, i ∈ M − L, demeurent
satisfaites alors que la valeur de ( MPL ) tend vers − ∞, alors
terminer la procédure puisque le problème original ( MP ) n'est
pas borné inférieurement.
Initialisation. Soit f = −∞. Choisir un sous-ensemble L ⊂ M .
Étape 1. Résoudre la relaxation ( MPL ) .
Si ( MPL ) n'est pas réalisable, terminer la procédure puisque
( MP ) n'est pas réalisable lui non plus.
Si ( MPL ) n'est pas bornée inférieurement, alors aller à l'étape 2.
Sinon, soit x L une solution optimale de ( MPL ) ;aller à l'étape 3′.
Étape 2. Si toutes les contraintes fi ( x ) ≤ 0, i ∈ M − L, demeurent
satisfaites alors que la valeur de ( MPL ) tend vers − ∞, alors
terminer la procédure puisque le problème original ( MP ) n'est
pas borné inférieurement.
Sinon, soit V ⊂ M comportant l'indice d'au moins une contrainte
i ∈ M − L qui devient positive lorsque la valeur de ( MPL ) tend
vers − ∞. Remplacer L par L′ = L ∪ V , et reprendre l'étape 1.
Étape 1. Résoudre la relaxation ( MPL ) .
Sinon, soit x L une solution optimale de ( MPL ) ;aller à l'étape 3′.
( )
Étape 3′. Si fi x L ≤ 0, pour tout i ∈ M − L, terminer la procédure
car x L est une solution optimale de ( MP ) .
Sinon, déterminer un sous-ensemble V ⊂ M comportant l'indice
d'au moins une contrainte i où fi x L > 0.
Déterminer également le sous-ensemble d'indices suivant
( )
( ) }
{
Etape 4′. Si f ( x ) = f , remplacer L par L′ = L ∪ V ,
D ⊂ i ∈ L : fi x L < 0
L
et
reprendre l'étape 1.
( )
( )
Si f x L > f , remplacer L par L′ = L ∪ V − D, f par f x L ,et
reprendre l'étape 1.
Pour analyser la convergence de la procédure dans le cas convexe,
nous introduisons d'abord les deux lemmes suivants.
Lemme 2. Sous les hypothèses de convexité sur X et sur les
fonctions f , f1 ,… , f m , la solution optimale x L est aussi optimale
pour la relaxation définie avec le sous-ensemble d'indices
Lɶ = L − D.
Preuve. Par contradiction, supposons que xɶ est une solution
optimale de la relaxation définie avec Lɶ = L − D, et que
f ( xɶ ) < f ( x L ) .
Considérons les points x (θ ) sur le segment de droite reliant
xɶ et x L :
x (θ ) = θ xɶ + (1 − θ ) x L , θ ∈ [ 0,1].
Puisque X est convexe, alors x (θ ) ∈ X pour tout θ ∈ [ 0,1] .
Considérons les points x (θ ) sur le segment de droite reliant
xɶ et x L :
x (θ ) = θ xɶ + (1 − θ ) x L , θ ∈ [ 0,1].
Puisque X est convexe, alors x (θ ) ∈ X pour tout θ ∈ [ 0,1] .
Également, puisque f i est convexe sur X pour tout i = 1,… , m,
f i ( x (θ ) ) ≤ θ f i ( xɶ ) + (1 − θ ) f i ( x L ) , θ ∈ [ 0,1].
Alors, pour i ∈ L − D, fi ( xɶ ) ≤ 0 et fi ( x L ) ≤ 0, et par conséquent
f i ( x (θ ) ) ≤ θ f i ( xɶ ) + (1 − θ ) f i ( x L ) ≤ 0, θ ∈ [ 0,1] .
Maintenant, pour i ∈ D, f i ( x L ) < 0, et par conséquent
si f i ( xɶ ) ≤ 0, alors
f i ( x (θ ) ) ≤ θ fi ( xɶ ) + (1 − θ ) fi ( x L ) ≤ 0, θ ∈ [ 0,1] ;
Également, puisque f i est convexe sur X pour tout i = 1,… , m,
f i ( x (θ ) ) ≤ θ f i ( xɶ ) + (1 − θ ) f i ( x L ) , θ ∈ [ 0,1].
Alors, pour i ∈ L − D, fi ( xɶ ) ≤ 0 et fi ( x L ) ≤ 0, et par conséquent
f i ( x (θ ) ) ≤ θ f i ( xɶ ) + (1 − θ ) f i ( x L ) ≤ 0, θ ∈ [ 0,1] .
Maintenant, pour i ∈ D, f i ( x L ) < 0, et par conséquent
si f i ( xɶ ) ≤ 0, alors
f i ( x (θ ) ) ≤ θ f i ( xɶ ) + (1 − θ ) f i ( x L ) ≤ 0, θ ∈ [ 0,1] ;
si f i ( xɶ ) > 0, alors
f i ( x (θ ) ) ≤ θ fi ( xɶ ) + (1 − θ ) fi ( x L ) ≤ 0
⇔ θ f i ( xɶ ) − fi ( x L ) ≤ − f i ( x L )
− fi ( x L )
⇔θ ≤
∈ ( 0,1) .
L
f i ( xɶ ) − fi ( x )
(
)
(
)
Maintenant, pour i ∈ D, f i ( x L ) < 0, et par conséquent
si f i ( xɶ ) ≤ 0, alors
f i ( x (θ ) ) ≤ θ f i ( xɶ ) + (1 − θ ) f i ( x L ) ≤ 0, θ ∈ [ 0,1] ;
si f i ( xɶ ) > 0, alors
f i ( x (θ ) ) ≤ θ f i ( xɶ ) + (1 − θ ) f i ( x L ) ≤ 0
⇔ θ f i ( xɶ ) − f i ( x L ) ≤ − f i ( x L )
− fi ( x L )
⇔θ ≤
∈ ( 0,1) .
L
fi ( xɶ ) − f i ( x )
(
)
(
)
Par conséquent, si


− fi ( x L )
ɶ ) > 0 ,
θ ≤ θɶ = Min
:
f
x
(

i
L
i∈D
 f i ( xɶ ) − f i ( x )

alors x (θ ) est une solution réalisable de ( MPL ) .
(
)
Par conséquent, si


− fi ( x L )
θ ≤ θɶ = Min
: f i ( xɶ ) > 0  ,

L
i∈D
 f i ( xɶ ) − f i ( x )

alors x (θ ) est une solution réalisable de ( MPL ) .
(
)
Considérons une valeur 0<θ ≤ θɶ. Puisque f est convexe sur X ,
f x (θ ) ≤ θ f ( xɶ ) + (1 − θ ) f ( x L )
(
)
< θ f ( x L ) + (1 − θ ) f ( x L )
puisque θ >0 et que f ( xɶ ) < f ( x L )
et ainsi f x (θ ) < f ( x L ) , contredisant l'optimalité de
□
( x L ) pour la relaxation ( MPL ) .
(
)
Lemme 3. f ( x L′ ) ≥ f ( x L ) (valeur optimale non décroissante).
Preuve. Si L′ = L ∪ V , alors le domaine réalisable de la relaxation
définie avec L′ est plus petit ou égal que celui de la relaxation
définie avec L. Par conséquent, f ( x L′ ) ≥ f ( x L ) .
Si L′ = L ∪ V − D, alors par le lemme 2, f ( x L − D ) = f ( x L ) . Ainsi
le même argument que précédemment s'applique pour démontrer
que f ( x L′ ) ≥ f ( x L ) .
□
Théorème 4. (Convergence) La procédure de relaxation se termine
en un nombre fini d'itérations.
Preuve. Puisque M = {1,… , m} comporte un nombre fini d'éléments,
alors il comporte un nombre fini de sous-ensembles différents.
Aussi longtemps que les valeurs optimales des relaxations
successives sont strictement croissantes, alors aucun sous-ensemble
utilisé pour définir ces relaxations ne peut se répéter.
De plus, lorsque f ( x L ) = f , aucune contrainte n'est relaxée et
au moins une nouvelle est ajoutée pour définir la prochaine relaxation
( MPL′ ) . Par conséquent, la valeur de f ne peut demeurer constante
que pour un nombre fini d'itérations avant que L′ = M .
□