Étude de Opp, qq

Étude de Opp, qq
Références :
x21
Caldero, Germoni, Histoires hédonistes de groupes et de géométries, p 211
Cadre : on note Opp, qq le sous groupe ˆ
de GLp`q˙
pRq des isométries pour la forme quadratique qpxq “
Ip
0
2
2
2
` ... ` xp ´ xp`1 ´ xp`q . On note Ipp,qq “
et on rappelle que M P Opp, qq ô M Ipp,qq t M “ Ipp,qq .
0 ´Iq
Théorème.
Soient p, q ě 1, alors il existe un homéomorphisme
Opp, qq – Oppq ˆ Opqq ˆ Rpq .
Démonstration. ‚ Prenons M P Opp, qq, alors par décomposition polaire, M “ OS avec O P Opnq et S P Sn``
pour n “ p ` q. Montrons que O, S P Opp, qq.
On pose T “ t M M , alors S 2 “ T .
On a M P Opp, qq donc M Ipp,qq t M “ Ipp,qq , donc t M ´1 Ipp,qq M ´1 “ Ipp,qq , d’où t M ´1 P Opp, qq et ainsi
t
M P Opp, qq.
Donc S 2 “ T “ t M M P Opp, qq.
A présent, on sait que T P Sn`` , donc comme exp réalise un homéomorphisme de Sn sur Sn`` , on a l’existence
de U P Sn tel que T “ exppU q. Alors
T P Opp, qq ô T Ipp,qq t T “ Ipp,qq
ô t T “ Ipp,qq T ´1 Ipp,qq
´1
ô t exppU q “ Ipp,qq exppU q´1 Ipp,qq
´1
ô exppt U q “ expp´Ipp,qq U Ipp,qq
q
´1
ô t U “ U “ ´Ipp,qq U Ipp,qq
(par bijectivité de exp)
ô U Ipp,qq ` Ipp,qq U “ 0
U
U
ô Ipp,qq ` Ipp,qq “ 0
2
2
U
U
´1
t
ô expp q “ Ipp,qq expp q´1 Ipp,qq
(en remontant les calculs comme précédemment).
2
2
U
U
U
q P Sn et expp q2 “ T , par unicité de la racine carrée, S “ expp q et donc SIpp,qq t S “ Ipp,qq .
2
2
2
Il vient S P Opp, qq, et donc O P Opp, qq.
On sait que la décomposition polaire induit l’homéomorphisme GLn – Opnq ˆ Sn`` , donc par le travail
précédent, on a l’homéomorphisme
Comme expp
Opp, qq – pOpp, qq X Opnqq ˆ pOpp, qq X Sn`` q.
‚ Étudions Opp, qq X Opnq.
ˆ
Soit O dans ce groupe, alors OIpp,qq t O “ Ipp,qq et Ot O “ In . Si on écrit O “
$
At A ´ B t B “ I p
’
’
&
At C ´ B t D “ 0
’ C t A ´ Dt B “ 0
’
% t
C C ´ Dt D “ ´Iq
A
C
˙
B
, alors
D
$ t
A A ` B t B “ Ip
’
’
& t
A C ` BtD “ 0
et
’ C t A ` Dt B “ 0
’
% t
C C ` Dt D “ Iq
On en déduit B t B “ 0, donc comme pM, N q ÞÑ TrpM t N q est un produit scalaire, on a B “ 0.
De même, on a C “ 0. Ainsi A P Oppq et D P Opqq.
Adrien LAURENT
1
ENS Rennes - Université de Rennes 1
"ˆ
On en déduit Opp, qq X Opnq “
A
0
˙
*
0
, A P Oppq, D P Opqq – Oppq ˆ Opqq.
D
‚ Étudions Opp, qq X Sn`` .
On pose L “ tU P Mn pRq, U Ipp,qq ` Ipp,qq U “ 0u, alors on a vu plus haut que exp réalise une bijection
entre L X Sn et Opp, qq X Sn`` . Or l’exponentielle réalise un homéomorphisme de Sn sur Sn`` donc elle induit
``
l’homéomorphisme
ˆ Opp,˙qq X Sn – L X Sn .
ˆ
˙
A B
A 0
Soit U “ t
P Sn , avec A, D symétriques, alors comme U Ipp,qq ` Ipp,qq U “ 2
, on a
0 D
B D
U P L ô A “ 0 et D “ 0. "ˆ
˙
*
0 B
Il en découle que L X Sn “
,
B
P
M
et on déduit l’homéomorphisme L X Sn – Rpq .
p,q
t
B 0
Ñ On a donc comme annoncé :
Opp, qq – pOpp, qq X Opnqq ˆ pOpp, qq X Sn`` q – Oppq ˆ Opqq ˆ Rpq .
Corollaire.
1. Opp, qq est compact si et seulement si p ou q est nul.
2. Opp, qq a quatre composantes connexes si p, q ‰ 0.
"ˆ
3. La composante connexe de l’identité est SO0 pp, qq “
A
C
B
D
˙
*
P SOpp, qq, A P GL`
p .
La troisième propriété est la seule non évidente. On pourra trouver la preuve dans le H2G2.
Remarques : ‚ Au fait, Opp, qq est un groupe. Pour le voir, on multiplie par l’inverse à gauche et sa transposée
à droite dans M Ipp,qq t M “ Ipp,qq pour obtenir l’égalité voulue.
‚ On utilise beaucoup le fait que l’exponentielle réalise un homéomorphisme de Sn pRq sur Sn`` pRq. On peut
voir ça au chapitre ??.
‚ Le groupe SO0 p3, 1q est appelé groupe de Lorentz restreint et sert en physique quantique et en électromagnétisme.
‚ En fait Opp, qq est un groupe de Lie car c’est un sous groupe fermé de GLpnq (voir le théorème de Cartan Von Neumann au chapitre ??). En effet, pour M dans Opp, qq, M pIpp,qq t M Ipp,qq q “ In et si on pose l’application
continue ϕ : M ÞÑ M Ipp,qq t M alors Opp, qq “ ϕ´1 pIpp,qq q.
L’algèbre de Lie associée est KerpDϕpIn qq “ tH P Mn pRq, HIpp,qq ` Ipp,qq t H “ 0u (l’espace tangent en l’identité). On reconnaît bien sûr l’ensemble L défini précédemment !
Adrien LAURENT
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ENS Rennes - Université de Rennes 1