DOSSIER 1. Programme de recherche En 1963, Lorenz

DOSSIER
ISAIA NISOLI
1. Programme de recherche
En 1963, Lorenz [Lo] a introduit le système suivant de équations différentielles
comme un modèle simplifié de convection de Rayleigh-Bérnard:
ẋ = 10(y − x)
ẏ = 28x − y − xz .
ż = xy − 8z
Études numériques de ces équations ont conduit Lorenz à souligner la possibilité
et l’importance de la dépendance sensible aux conditions initiales même dans ces
modèles simplifiés de phénomènes naturels. Le flux de Lorenz a été numériquement
et heuristiquement étudiée depuis longtemps, mais ce n’est que récemment que
preuve rigoureuse de certaines de ses propriétés ont été faites [Tu1, Tu2] ([Sp, Vi2]
pour des enquêtes détaillées).
Dans [ABS] Afraimovich, Bykov et Shil’nikov, et dans [GW, Wi] Guckenheimer,
Williams, ont construit indépendamment des modèles de Lorenz géométriques pour
le comportement observé par Lorenz. Ces modèles sont des flux de 3-dimensions
ayant un point d’équilibre qui est accumulés par les orbites critiques, comme dans
le système de Lorenz. Pour ces systèmes on peut facilement étudier d’un point de
vue rigoreux propriétés statistiques et topologiques de la dynamique.
Notre objectif à long terme est de trouver une expression numérique pour approximer la mesure invariante pour le flux de Lorenz; c’est un problème vraiment
difficile. Nous prévoyons de réaliser, en travaillant d’abord sur le problème du flux
géométric de Lorenz.
Il y a beaucoup de travail ces derniers temps sur le calcul numérique rigoureux
des mesures invariantes et nombreux techniques ont été développées [Li, GHR1].
La motivation derrière cette recherche est que la connaissance d’une bonne aproximation de la mesure invariante pour le flux de Lorenz (géométrique) nous permettrait d’estimer nombreuses et intéressantes caractéristique du système dynamique,
comme l’entropie ou le exponent de Lyapunov [Fr, GHR2].
Dans le cas du flux géométrique de Lorenz, dans [PaGa] la désintégration de
corrélation pour la section de Poincaré est estimée par l’estimation de la vitesse
de convergence vers l’équilibre des itérés de la mesure Lesbegue. Cette vitesse de
convergence est un ingrédient important si nous voulons calculer la mesure physique
invariant.
Avec S. Galatolo dans [GaNi2] nous avons déjà mis en œuvre la théorie développée
par Liverani dans [Li] pour calculer la mesure invariante pour les functions expansives de l’interval. En fait, c’est un problème intéressant en soi, il implique beaucoup
de problemés théorique et numériques qui doivent être abordés avant de commencer
l’étude du flux géométrique de Lorenz.
Maintenant, la prochaine étape est d’adapter ces méthodes à les functions expansives de l’interval avec dérivée infinie et utiliser ce résultat pour le flux géométrique
de Lorenz.
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Un autre axe de recherche est d’utiliser nos techniques pour développer des
algorithmes pour calculer la mesure invariante pour le function inducte résultant
de constructions de “Tour de Young” et de utiliser cette algorithmes pour étudier
les applications de type Benedick-Carleson.
2. Expérience de recherche
Pendant les années de mon Ph. D., j’ai travaillé à l’université de Pise, sous la
direction du professeur Marco Abate, et mes intérêts de recherche où double. Ceci
peut être vu de la liste de mes prépublications soumis au
http://arxiv.org/a/nisoli_i_1.atom.
D’un côté, j’ai travaillé sur le thème des théorèmes d’index pour des singularités
feuilletages holomorphes et application holomorphe, je travaillé sur le développement
des indices du type Lehmann-Suwa-Khanedani (ou variation).[LeSu1, KaSu]. Cette
indices sont strictement liées au problème de la extension d’un feuilletage d’une
sous-variété à un voisinance infinitésimale de la sous-variété. Maintenant, je travaille sur une possible extension du index tangentielle [Ho].
De l’autre côté, j’ai travaillé avec Dr. S. Galatolo qui déjà a travaillé dans les
problèm du calcul des mesures invariantes ([GHR1, GHR2]) et dans le le sujet des
propriétés statistiques des systèmes dynamiques. En particulier, nous avons prouvé
l’existence de lois logarithme pour flux de mélange rapide.
Nous avons publié un article [GaNi] qui preuve une loi du logarithme pour la flot
géodésique sur les variétés compactes de courbure négative variable; mantenaint on
travaille pour adapter nos tecniques à autres fluxes qui mélange rapidement, tels
que le flux de Teichmüller.
Par ailleurs, j’ai une bonne expérience en tant que programmeur C++ et Matlab.
3. Expérience d’enseignement
• Premier semestre 2009/2010 Assistant d’enseignement à “Analisi 2” pour
Ingegneria Edile-Architettura - Prof. Vieri Benci
• Deuxième semestre 2009/2010 Assistant d’enseignement à “Algebra Lineare
e Geometria” pour Ingegneria Meccanica - Dott.ssa Lina Conti
• Deuxième semestre 2009/2010 Assistant d’enseignement à “Algebra Lineare
e Geometria” pour Ingegneria Edile - Prof. Fabrizio Broglia
• Deuxième semestre 2009/2010 Tutorat “Matematica per i Biologi” - Prof.
Marco Abate
• Année académique 2010/2011 Assistant d’enseignement à “Analisi 2” pour
Ingegneria - Prof. Vieri Benci
References
V. S. Afraimovich, V. V. Bykov, and L. P. Sil’nikov, The origin and structure of the
Lorenz attractor. Dokl. Akad. Nauk SSSR 234, 336-339, (1977).
[Bo]
R. Bowen, Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms. Volume
470 of Lect. Notes in Math. Springer Verlag, (1975).
[Fr]
G. Froyland Extracting dynamical behaviour via Markov models. In Alistair Mees, editor,
Nonlinear Dynamics and Statistics: Proceedings, Newton Institute, Cambridge, 1998,
pages 283-324, Birkhauser, (2001).
[GHR1] S. Galatolo, M. Hoyrup, and C. Rojas. Dynamics and abstract computability: computing
invariant measures. Disc. Cont. Dyn. Sys. v. 29 , n. 1, 193 - 212, (2011)
[GHR2] S. Galatolo, M. Hoyrup, and C. Rojas. Dynamical systems, simulation, abstract computation. http://arxiv.org/abs/1101.0833
[GW] J. Guckenheimer and R. F. Williams, Structural stability of Lorenz attractors. Inst. Hautes
Etudes Sci. Publ. Math., 59-72, (1979).
[Ho]
T. Honda Tangential index of foliations with curves on surfaces. Hokkaido Math. J. 33(2),
volume 33, (2004).
[ABS]
DOSSIER
3
[LeSu1] D. Lehmann and T. Suwa Generalization of variations and Baum-Bott residues for holomorphic foliations on singular varieties. Internat. J. Math. 10, 367-384, (1999).
[Li]
C. LiveraniRigorous numerical investigations of the statistical properties of piecewise
expanding maps. A feasibility study. Nonlinearity, 14, 463-490, (2001).
[Lo]
E. D. Lorenz, Deterministic nonperiodic flow. J. Atmosph. Sci. 20, 130-141, (1963).
[KaSu] B. Khanedani and T. Suwa First variations of holomorphic forms and some applications.
Hokkaido Math. J. 26, 323-335 (1997).
[GaNi] S. Galatolo, I. Nisoli Shrinking targets in fast mixing flows and the geodesic flow on
negatively curved manifolds. Nonlinearity 24, 3099-3113 (2011)
[GaNi2] S. Galatolo, I.Nisoli A simple approach to rigorous approximation of invariant measures,
preprint arXiv:1109.2342v1
[PaGa] M. J. Pacifico, S. Galatolo Lorenz-like flows: exponential decay of correlations for the
Poincaré map, logarithm law, quantitative recurrence. Ergod. Th. & Dynam. Sys., 30,
1703-1737 (2010).
[Sp]
C. Sparrow, The Lorenz equations: bifurcations, chaos and strange attractors. Applied
Mathematical Sciences, vol. 41, Springer Verlag, Berlin, (1982).
[Tu1]
W. Tucker, The Lorenz attractor exists. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 328, 11971202, (1999).
[Tu2]
W. Tucker A rigorous ODE solver and Smale 14th problem. Found. Comput. Math. 2,
53-117, (2002).
[Vi1]
M. Viana, Dynamical systems: moving into the next century. Mathematics unlimited2001 and Beyond, Springer, Berlin, pp. 1167-1178, (2001).
[Vi2]
M. Viana, Multidimensional nonhyperbolic attractors. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ.
Math.,85,63-96, (1997).
[Wi]
R. F. Williams, The structure of Lorenz attractors. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math.,
73-99 (1979).