Estimation de l`indice de queue d`un vecteur aléatoire à queue

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Contexte
Résultats principaux
Idées de la preuve
Simulations
Références
Estimation de l'indice de queue d'un vecteur aléatoire à queue
épaisse
Antoine Dematteo
Télécom ParisTech
Séminaire YSP.
12 septembre 2014
Antoine Dematteo
Télécom ParisTech Séminaire YSP.
Estimation de l'indice de queue d'un vecteur aléatoire à queue ép
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
Plan
1
Contexte
2
3
Idées de la preuve
4
Simulations
Antoine Dematteo
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Idées de la preuve
Simulations
Références
Cadre d'étude
On considère un vecteur X = (X1 , . . . , Xd ) ∈ Rd de loi F .
On suppose que ∀i ∈ {1, . . . , d}, 1 − Fi ∈ RV −α , pour un même α. Fi
est la fonction de répartition de Xi .
On observe n réalisations indépendantes (X1 , . . . , Xn ) de X.
On suppose que X a une queue épaisse standard : ∃ une mesure de Radon
positive ν telle que :
Xd
X1
v
,
.
.
.
,
∈
·
−−−−→ ν(·),
(1)
nP
n→∞
a(1) (n)
a(d) (n)
où pour i = 1 . . . d, a(i) : t 7→ Fi−1 (1 − 1/t), t > 1.
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Idées de la preuve
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Références
Exemple
1 cm
0.55 cm
Figure : Schéma d'une matrice de capteurs de taille
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6 × 6.
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Idées de la preuve
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Références
Problématique
Pour tout i ∈ {1, . . . , d}, on note Hk(i)
l'estimateur de Hill associé à la
i ,n
i-ème marginale utilisant ki valeurs extrêmes.
On obtient d estimateurs de α.
Comment combiner les estimations pour obtenir un estimateur qui soit le plus
précis possible ?
Des combinaisons convexes d'estimateur marginaux
On considère la classe des combinaisons convexes d'estimateur marginaux. On
dénit, pour k = (k1 , . . . , kd ) :
Hk,n (λ) =
d
X
(2)
(i)
λi Hki ,n
i=1
où λ = (λ1 , . . . , λd ) est tel que ∀i, λi > 0 et
Antoine Dematteo
Pd
i=1
λi = 1 .
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Idées de la preuve
Simulations
Références
Reformulation de la problématique
L'Erreur Quadratique Asymptotique Moyenne (EQAM)
On la dénit comme
"
EQAM (λ) = lim k1 E
n→∞
1
Hk,n (λ) −
α
2 #
(3)
.
minimisation de l'EQAM
On cherche l'estimateur agrégé minimisant l'EQAM
min
λ=(λi )1≤i≤l ∈[0,1]d
Antoine Dematteo
EQAM (λ) sous contrainte que
d
X
λi = 1.
i=1
Contexte
Idées de la preuve
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Références
Plan
1
Contexte
2
3
Idées de la preuve
4
Simulations
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Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
Quelques notations
On note F la fonction de survie de X : pour t = (t1 , . . . , td ),
F (t) = P X1 > t1 , . . . , Xd > td
Toutes les opérations sont eectuées composante par composante.
Pour k = (k1 , . . . , kd ), a(n/k) = a(1) (n/k1 ), . . . , a(d) (n/kd ) .
Dans la suite, on suppose que ki /k1 −−−−→ ci , avec 0 < ci < ∞.
n→∞
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Idées de la preuve
Simulations
Références
Un théorème central limit fonctionnel
Théorème (de Haan and Resnick [1993])
Si n, k → +∞ sont tels que k = o(n), alors la convergence vague (dans
l'espace des fonctions continues de Rd+ dans R) suivante est vériée :
!
n
n
1X
Xi
v
k
1
> x − F (a(n/k)x) −−−−→ W (x−α ),
n→∞
k i=1
a(n/k)
k
où x = x1 , . . . , xd , W (x) est un champ aléatoire Gaussien centré de
√
(4)
covariance donnée par :
∀(x, y) ∈ Rd × Rd , E [W (x)W (y)] = ν max(x−1/α , y−1/α ) .
Rappel sur l'estimateur de Hill
On considère un échantillon (X1 , . . . , Xn ) tiré dans une distribution à queue
épaisse d'indice α. Alors l'estimateur de Hill de 1/α est donné par :
Z ∞ X
k
n
X(i)
1X
1
Xi
dx
Hk,n =
log
=
1
>x
.
k i=1
X(k + 1)
k i=1
X(k + 1)
x
1
Antoine Dematteo
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
Un théorème central limit fonctionnel
Théorème (de Haan and Resnick [1993])
Si n, k → +∞ sont tels que k = o(n), alors la convergence vague (dans
l'espace des fonctions continues de Rd+ dans R) suivante est vériée :
!
n
n
1X
Xi
v
k
1
> x − F (a(n/k)x) −−−−→ W (x−α ),
n→∞
k i=1
a(n/k)
k
où x = x1 , . . . , xd , W (x) est un champ aléatoire Gaussien centré de
√
(4)
covariance donnée par :
∀(x, y) ∈ Rd × Rd , E [W (x)W (y)] = ν max(x−1/α , y−1/α ) .
Rappel sur l'estimateur de Hill
On considère un échantillon (X1 , . . . , Xn ) tiré dans une distribution à queue
épaisse d'indice α. Alors l'estimateur de Hill de 1/α est donné par :
Z ∞ X
k
n
X(i)
1X
1
Xi
dx
Hk,n =
log
=
1
>x
.
k i=1
X(k + 1)
k i=1
X(k + 1)
x
1
Antoine Dematteo
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
En utilisant quelques résultats de composition de convergence et les techniques
utilisées dans le cadre univarié, on en déduit facilement que :
Théorème
√
∞
Z
(1)
k Hk,n −
1
dx
n
(d)
, . . . , Hk,n −
F 1 X1 (k)x
k
x
∞
Z
1
dx
n
F d Xd (k)x
k
x
⇒K
(5)
où K ∼ N (0, Σ)
avec
Σi,j =
 R∞R∞
dxdy
 1 1 νi,j (x, y) xy

2
α2
si 1 ≤ i 6= j ≤ d.
sinon.
Pour 1 ≤ i 6= j ≤ d, νi,j (xi , xj ) est la limite de ν(x1 , . . . , xd ) quand toutes les
composantes à part la i-ème et la j -ème tendent vers 0.
Retirer le centrage aléatoire
Comme dans le cas univarié, on veut remplacer le centrage aléatoire par un
centrage déterministe
Antoine Dematteo
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
En utilisant quelques résultats de composition de convergence et les techniques
utilisées dans le cadre univarié, on en déduit facilement que :
Théorème
√
∞
Z
(1)
k Hk,n −
1
dx
n
(d)
, . . . , Hk,n −
F 1 X1 (k)x
k
x
∞
Z
1
dx
n
F d Xd (k)x
k
x
⇒K
(5)
où K ∼ N (0, Σ)
avec
Σi,j =
 R∞R∞
dxdy
 1 1 νi,j (x, y) xy

2
α2
si 1 ≤ i 6= j ≤ d.
sinon.
Pour 1 ≤ i 6= j ≤ d, νi,j (xi , xj ) est la limite de ν(x1 , . . . , xd ) quand toutes les
composantes à part la i-ème et la j -ème tendent vers 0.
Comme dans le cas univarié, on veut remplacer le centrage aléatoire par un
centrage déterministe
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Idées de la preuve
Simulations
Références
Hypothèse du second ordre
∀ i ∈ {1, . . . , d}, lim
n→∞
√ Z
k
∞
1
n (i) n dx
x − x−α
Fi a
= 0.
k
k
x
(6)
On en déduit que
√
1
1
(1)
(d)
k Hk,n − , . . . , Hk,n −
+
α
α
!
Z X1 (k)
Z Xd (k)
√
n
n
dx
dx
k
F 1 (x)
,...,
F d (x)
⇒K
x
x
a(1) (n/k) k
a(d) (n/k) k
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Idées de la preuve
Simulations
Références
Résultat principal
Pour 1 ≤ i 6= j ≤ l, quand n, k → +∞, on a
n
n 1
n
x, a(j)
y − νi,j (x, y) = o
sup F i,j a(i)
.
k
k
log k
x,y>1 k
(7)
Théorème
Sous les Conditions (6) et (7) et les conditions de von Mises :
lim α(s) :=
s→∞
Alors
sFi0 (s)
= α,
1 − Fi (s)
∀i ∈ {1, . . . , d}.
√
1
1
(d)
(1)
k1 Hk1 ,n − , . . . , Hkd ,n −
⇒ N (0, Γ) ,
α
α

1/α 1/α
ν (c
,c
)

 i,j i 2 j
si 1 ≤ i 6= j ≤ d.
α
où Γi,j =


1
sinon.
c α2
(8)
(9)
i
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Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
Plan
1
Contexte
2
3
Idées de la preuve
4
Simulations
Antoine Dematteo
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
Pour tout 1 ≤ i 6= j ≤, on a
Z ∞Z ∞
dxdy
νi,j (x, y)
Γi,j =
xy
1
1
" Z
#
Z
Xi (k)
dx Xj (k) n
dx
n
F i (x)
F j (x)
−E k
x a(j) (n/k) k
x
a(i) (n/k) k
#
" Z Xi (k)
n
dx
1
(j)
F i (x)
− E k Hk,n −
α
k
x
(i)
a (n/k)
" #
Z Xj (k)
1
n
dx
(i)
− E k Hk,n −
F j (x)
α
x
a(j) (n/k) k
Antoine Dematteo
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
Quelques notations pour une preuve en dimension 2
On note :
X = X1 et Y = X2 .
FX = F1 et FY = F2 .
a = a(1) et b = a(2) .
Ui = FX (Xi ) et Vi = FY (Yi )
ν = ν1,2 .
Antoine Dematteo
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
Lemme (Représentation de Bahadur-Kiefer)
On dénit pi =
n−i+1
n
et pi = 1 − pi ,
X(i) = a(n/i) −
Z
X(k)
a(n/k)
i = 1 . . . k, et on a presque surement
n
1 X 1 (Uj ≤ pi ) − pi
+ Tn (pi )
n j=1 fX a n/i
n
T (p )
n
dx
1 X 1 (Uj ≤ pk ) − pk
+ n k .
F X (x)
=−
k
x
n j=1 a (n/k) fX a n/k
a (n/k)
Lemme (Contrôle du reste)
Sous certaines conditions de régularité [Csörgö and Révész, 1978], on a presque
surement :
sup |Tn (y)| = O n−3/4 (log log n)−1/4 (log n)−1/2 .
0≤y≤1
Z
Y (k)
b(n/k)
n
dx
=O
F Y (x)
k
x
Antoine Dematteo
1
n−3/4 (log log n)−1/4 (log n)−1/2 .
a (n/k)
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
Lemme
Sous les hypothèses du Théorème principal, on a
" Z
lim E k
k→∞
Antoine Dematteo
X(k)
a(n/k)
n
dx
F X (x)
k
x
Z
Y (k)
b(n/k)
n
dx
F Y (x)
k
x
#
=
ν(1, 1)
.
α2
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
Preuve du Lemme
"Z
X(k)
kE
a(n/k)
n
dx
F X (x)
k
x
Z
Y (k)
b(n/k)
n
dx
F Y (x)
k
x
#
=


n
X
1
(U
≤
p
)
−
p
T
(p
)
1
j
k
k
+ n k 
kE −
n j=1 a (n/k) fX a (n/k)
a (n/k)


n
X
1
(V
≤
p
)
−
p
T
(p
)
1
j
n
k
k
k

+
× −
n j=1 a (n/k) fY b (n/k)
b (n/k)
Antoine Dematteo
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références

n
1 (Uj ≤ pk ) − pk 1 (Vj ≤ pk ) − pk
X
1

= kE  2
n j=1 a (n/k) fX a (n/k) b (n/k) fX b (n/k)
"
#
"
#
Z
Z
Tn (pk ) Y (k) n
Tn (pk ) X(k) n
dx
dx
+E
F Y (x)
+E
F X (x)
a (n/k) b(n/k) k
x
b (n/k) a(n/k) k
x

P X > a (n/k) , Y > b(n/k) − pk pk
=k
nb (n/k) fX b n/k a (n/k) fX a (n/k)
+O
Antoine Dematteo
n−3/2 (log log n)−1/2 (log n)−1
k
a (n/k) b (n/k)
!
.
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
Conditions de von Mises
k2
a n/k fX a n/k b (n/k) fY b (n/k) ∼ α2 2 .
n
Donc
P X > a n/k , Y > b (n/k) − pk pk
1 n ∼ 2 P X > a n/k , Y > b (n/k) ,
α k
na n/k fX a n/k b (n/k) fX b (n/k)
−−−−→
n→∞
Antoine Dematteo
ν(1, 1)
α2
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
Des k diérents
On a
(i)
∀i, a
Donc,
a(i)
a(i)
n
k1
n
ki
n
ki
∈ RV 1/α .
1/α
−−−−→
n→∞
ki
1/α
k1
1/α
= ci
.
Retour sur le théorème de de Haan and Resnick [1993]
!
n
√
1X
Xi
n
v
k
1
> x − F (a(n/k)x) −−−−→ W (x0−α ),
n→∞
k i=1
a(n/k)
k
1/α
1/α
x0 = x1 , c2 x2 , . . . , cd xd
Antoine Dematteo
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
Application à la minimisation de l'EQAM

EQAM (λ) = lim k1 E 
n→∞
d
X
(i)
λi Hki ,n
i=1
1
−
α
!2 
=
d X
d
X
λi λj Γi,j = t λΓλ.
i=1 j=1
λopt argmint λΓλ,
Cλ≤D
En pratique, on dénit
n
1 X
νbi,j (x, y) =
1
k m=1
(j)
(i)
Xm
Xm
> x,
>y
Xi (k)
Xj (k)
!
b i,j =
and Γ
1/α
b
νbi,j (ci
α
b2
1/α
b
, cj
)
.
Puis on calcule
bopt = argmint λΓλ.
b
λ
Cλ≤d
Antoine Dematteo
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
Plan
1
Contexte
2
3
Idées de la preuve
4
Simulations
Antoine Dematteo
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
Protocole
Les estimateurs
P
−1
k1 , . . . , k d .
bopt ,
On dénit l'estimateur BEAR : Hk,n λ
On note λAV E =
d
i=1
ki
bAV E .
On dénit l'estimateur AVERAGE : Hk,n λ
Les données
Les données sont simulées sur des réseaux de taille 2 × 2 et 4 × 4.
Les marginales sont choisies parmi les loi de Student, Pareto généralisée,
log Gamma, inverse Gamma, Fréchet, Fischer.
La structure de dépendance est donnée par la copule logistique.
Antoine Dematteo
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
α=1
α=5
dim.
n
BEAR
2×2
1000
2500
5000
10000
25000
0.89
0.97
0.82
0.80
0.59
0.95
1.08
1.10
1.12
1.20
(-6%)
(-10%)
(-25%)
(-34%)
(-51%)
0.11
0.03
0.04
0.05
0.04
0.12
0.04
0.05
0.03
0.07
(-5%)
(-10%)
(-21%)
(-30%)
(-49%)
4×4
1000
2500
5000
10000
25000
0.78
1.06
0.85
1.00
0.76
0.76
1.05
1.02
0.86
1.49
(3%)
(-1%)
(-17%)
(-42%)
(-49%)
0.06
0.07
0.04
0.04
0.03
0.06
0.07
0.05
0.04
0.06
(6%)
(3%)
(-12%)
(-29%)
(-34%)
Table :
Antoine Dematteo
Ave.(Impr.)
BEAR
Ave.(Impr.)
Résultat des simulations. Comparaison des racines des EQAM.
Contexte
Idées de la preuve
Simulations
Références
M. Csörgö and Révész. Strong approximation of the quantiles process. Ann.
Stat., 6 :882894, 1978.
L. de Haan and S.I. Resnick. Estimating the limit distribution of multivariate
extremes. Com. Stat. Stoch. Mod., 9 :275309, 1993.
Antoine Dematteo

Estimation de l`indice de queue d`un vecteur aléatoire à queue

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