Suite de Syracuse

SUITE DE SYRACUSE
On définit la suite (un) de la manière suivante : u0 est un entier positif non nul donné. Pour n dans ℕ :
‫ݑ‬௡
ܵ݅ ‫ݑ‬௡ ݁‫ݑ ݏݎ݋݈ܽ ݎ݅ܽ݌ ݐݏ‬௡ାଵ =
2
ቐ
ܵ݅ ‫ݑ‬௡ ݁‫ݑ ݏݎ݋݈ܽ ݎ݅ܽ݌݉݅ ݐݏ‬௡ାଵ = 3‫ݑ‬௡ + 1
Ecrire un programme permettant de conjecturer le comportement de la suite pour n suffisamment grand.
Tester ce programme avec différentes valeurs de U0 . Que constatez-vous ?
Remarque : ce que vous constaterez n’a jamais été prouvé mathématiquement. Il s’agit à l’heure actuelle
d’une conjecture appelée conjecture de Syracuse ou conjecture de Collatz.
Nous proposerons en fin d’exercice une solution avec le tableur de la Graph75 (ou de la Graph 95SD) et une
autre avec le tableur EXCEL® de Microsoft®.
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Ecriture de l’algorithme
Variables
U0 le terme de rang 0 de la suite
N le rang du dernier terme calculé
K le rang courant
U le terme de rang K de la suite
Initialisation
U0 prend la valeur choisie par l’utilisateur
N prend la valeur choisie par l’utilisateur
Traitement :
Pour K variant de 1 à N
Si U est pair alors
ࢁ=
‫܃‬
૛
Sinon
U = 3U + 1
Fin du SI
Affiche U
Sortie
2
Le programme
Initialisation :
3
Traitement :
Pour tester la parité de U nous allons tester (Vrai ou Faux) l’égalité ‫ ݐ݊ܧ‬ቀ ଶ ቁ − ଶ = 0.
௎
௎
4
5
Mise en œuvre du programme :
On choisit ܷ଴ = 98 et N = 30 et on observe qu’à partir du rang 23 on obtient 4,2,1,4,2,1 etc...
Si on change la valeur de ܷ଴ on retrouve ce résultat à partir d’un certain rang.
Ce résultat reste inexpliqué de nos jours.
Remarque : Nous avons choisi de calculer les termes de la suite jusqu’à un rang N. Cela permet à
l’utilisateur d’avoir une idée rapide sur la vitesse se convergence vers 4,2,1 ....de la suite de Syracuse.
LE TABLEUR
Il peut être intéressant d’utiliser différents moyens pour traiter ce problème :
Avec la graph Graph75 (ou la Graph 95SD).
Pour ceux qui le souhaitent il faut savoir que la Graph75 (et la Graph 95SD) possède une fonction tableur
qui permet une autre approche de cet exercice.
Ci-dessous vous trouverez deux copies d’écran donnant la formule à utiliser pour traiter ce problème sur la
Graph75 (ou la Graph 95SD).
et le résultat attendu...
Et bien évidemment nous pouvons opérer de même sur la nouvelle Fx-CG20.
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Avec le tableur EXCEL® de Microsoft®.
Cet exercice peut aussi être traité sur EXCEL® de Microsoft® en utilisant la fonction SI et la fonction
EST.PAIR.
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