− = × et ka kb . ′+ et a kb k c ′+

DIVISION EUCLIDIENNE DANS Ժ
2ème séance
II) DIVISIBILITÉ DANS Ժ
Propriété. Si b est strictement positif, il existe un unique couple
vérifiant l’égalité a = bq + r avec la condition 0 ≤ r < b .
MULTIPLES ET DIVISEURS D’UN ENTIER RELATIF
Notation.
a b → « a divise b , a est un diviseur de b , b est un multiple de a »
Il existe alors un entier c tel que b = ac .
En revanche, 0 ne divise aucun entier non nul . 1 et -1 divisent tous les entiers .
2n
diviseurs .
Si
Si a est multiple de b , alors a figure dans la liste précédente . Il existe k ∈
tel que a = bk . On choisit q = k et r = 0 . D’où le résultat dans ce cas .
Si a n’est pas multiple de b , il est compris ( au sens strict ) entre deux
multiples consécutifs de b . Il existe donc un entier k tel que
PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES
Propriété.
Montrons qu’un tel couple ( q ; r ) existe . Observons la suite des multiples de b
... ; −kb ;... ; −3b ; −2b ; −b ;0 ; b ; 2b ;3b ;... ; kb ;...
Remarque. 17 −153 (…) et, pour tout n, on a n + 1 n 2 − 1 . Tout entier divise 0 .
Tout entier non nul n admet au plus
( q; r) d’entiers
bk < a < b ( k + 1)
a b et b c ⇒ a c
0 = bk − bk < a − bk < b ( k + 1) − bk = b
a b et b c , il existe deux entiers r et s tels que b = ar
ainsi écrire que c = ( ar ) s = a × rs et en déduire que
et c = bs . On peut
a c car rs est un entier .
En choisissant q = k et r = a − bk , il est possible d’écrire, comme dans le cas
précédent, l’entier a sous la forme bq + r avec 0 ≤ r < b .
Montrons qu’un tel couple ( q ; r ) est unique . Supposons qu’il existe deux
Propriété.
Si
ab ⇒
pour tout entier k, on a
a b , il existe un entier r tel que b = ar
Propriété.
a b et a c ⇒
ka kb
couples ( q ; r ) et ( q '; r ' ) d’entiers tels que :
. Ainsi kb = kar = ka × r et
pour tous entiers k et k’, on a
ka kb .
a = bq + r

0 ≤ r < b
et
a = bq '+ r '

0 ≤ r ' < b
a kb + k′c
Par soustraction membre à membre des deux égalités précédentes on obtient :
Si
a b et a c , il existe deux entiers r et s tels que b = ar
et c = as . Pour tous
k et k ' entiers, on a kb + k ' c = kar + k ' as = ( kr + k ' s ) a et a kb + k′c
Corollaire. Si a divise b et c, alors a divise b + c et b − c
0 = b ( q − q ' ) + r − r ' soit r '− r = b ( q − q ' ) . En combinant maintenant les
encadrements de
r et
r ' , on a aussi − b < r '− r < b .
L’entier r '− r est un multiple de b strictement compris entre − b et b , il est
donc nul . On en déduit que r = r ' et aussi que q = q ' .
Remarque. Une égalité a = bq + r ne donne le quotient q et le reste r dans la
division euclidienne de a par b que lorsque 0 ≤ r < b . L’entier q est la partie
entière du quotient de a par b :
q = E ( a b)
Exemples. 356 = 17 × 20 + 16 ( a = 356 , b = 17 , q = 20 et r = 16 )
−356 =17×( −21) +1 ( a = −356 , b = 17 , q = −21 et r = 1 )
ÉCRITURE D’UN ENTIER RELATIF
Remarque. Les restes possibles dans la division euclidienne d’un relatif a par un
naturel b non nul sont 0 , 1, 2 , … , b − 1 . Ainsi, tout entier a peut s’écrire bk ,
bk + 1 , bk + 2 , … ,
bk + ( b −1)
EXERCICE → faire un raisonnement exhaustif
Démontrer x et y désignent des entiers naturels tels que x > y . Démontrer que si
l’entier x × x − y × y est égal à 7, alors x + y et x − y sont des diviseurs de 7 .
Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x × x − y × y = 7 .
2
2
L’égalité x − y = 7 est équivalente à ( x − y )( x + y ) = 7 . Donc x − y et x + y
sont des diviseurs associés de 7 . Puisque x > y ≥ 0 , on obtient le système
x + y = 7

x − y = 1
⇔
x = 4

y = 3
( avec ݇ ‫ א‬Ժ ) et uniquement ainsi ( b étant fixé )
Exemples. Tout entier a peut s’écrire sous la forme 2k ou 2 k + 1 ( avec ݇ ‫ א‬Ժ )
Tout entier a peut s’écrire sous la forme 3k , 3k + 1 ou 3k + 2 ( avec ݇ ‫ א‬Ժ )
EXERCICE → établir qu’un entier divise un autre entier
Démontrer que la somme de cinq entiers relatifs consécutifs est divisible par 5 .
EXERCICE → mettre à profit une égalité
Vérifier que 197719 = 341 × 578 + 621 . Effectuer, sans la poser et sans utiliser la
calculatrice, la division euclidienne de 197719 par 3 4 1 et de 197719 par 5 7 8 .
197719 = 341 × 578 + 341 + 280 = 341 × 579 + 280
Puisque 280 < 341, on a q = 579 et r = 280
L’entier ( n − 2 ) + ( n − 1) + n + ( n + 1) + ( n + 2 ) = 5n est toujours divisible par 5 .
197719 = 341 × 578 + 578 + 43 = 342 × 578 + 43
Puisque 43 < 578, on a q = 342 et r = 43
EXERCICE → utiliser les propriétés vues en cours
EXERCICE → déterminer le reste d’une division
Comment choisir l’entier n pour que n divise n + 12 ?
La lettre n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Déterminer, en
Si n n + 12 , alors n ( n + 12 ) − n = 12 ( car n n ) .
fonction de n, le reste dans la division euclidienne de
La réciproque est vraie . Si n 12 , alors n n + 12 ( car n n ) .
4 n − 3 = 1 × ( 2 n + 1) + 2 n − 4
On en déduit que « n n + 12 si et seulement si n 12 » . Les valeurs possibles de
l’entier n sont donc -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 .
( 4n− 3) par ( 2n +1) .
Pour tout entier n ≥ 2 , on a 0 ≤ 2n − 4 < 2n + 1 donc q = 1 et r = 2n − 4