STAT-I301 Chapitre VI: Méthodes non paramétriques

STAT-I301
Chapitre VI: Méthodes non paramétriques
Caroline Verhoeven
Table des matières
1
Test de Mann-Whitney
2
Test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés
3
Coefficient de corrélation de rangs de Spearman
Calcul du coefficient de corrélation
Test de significativité pour rs
Caroline Verhoeven
STAT-I301
2 / 39
1. Test de Mann-Whitney
Test de Mann-Whitney : Exemple I
Exemple 1
Chez le grillon des sauges (Cyphoderris
strepitans), durant l’accouplement, la femelle grignote les extrémités des ailes du
mâle.
En 1999, Johnson et al. se sont demandé
si une femelle affamée aura plus facilement
tendance à s’accoupler.
Ils ont pris 24 grillons et ont choisi un groupe
de N1 = 11 au hasard qu’ils ont affamé,
l’autre groupe de N2 = 13 a été nourri.
Apres quoi chaque femelle a été mise dans
une cage avec 1 mâle, et on a enregistré le
temps d’attente pour l’accouplement
Les mesures se trouvent sur le slide suivant
Caroline Verhoeven
STAT-I301
3 / 39
1. Test de Mann-Whitney
Test de Mann-Whitney : Exemple II
Exemple 1
faim
1,9
2,1
3,8
9,0
9,6
13,0
14,7
17,9
21,7
29,0
72,3
Caroline Verhoeven
nourri
1,5
1,7
2,4
3,6
5,7
22,6
22,8
39,0
54,4
72,1
73,6
79,5
88,9
STAT-I301
4 / 39
1. Test de Mann-Whitney
Mann-Whitney : Exemple III
Femelles nouries
8
8
6
6
nombre
nombre
Femelles affamées
4
2
2
0
4
0
0
20
40
60
temps
80
100
0
20
40 60
temps
80
100
Clairement non normal
Caroline Verhoeven
STAT-I301
5 / 39
1. Test de Mann-Whitney
Test de Mann-Whitney : Principes
Egalement appelé test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons
indépendants
équivalent non-paramétrique du test t pour 2 échantillons
indépendants
Formulation des hypothèses
H0 : µ̃1 = µ̃2 médianes !
Ha : µ̃1 6= µ̃2
Caroline Verhoeven
STAT-I301
6 / 39
1. Test de Mann-Whitney
Mann-Whitney : Calcul et résolution de l’exemple I
1
Classer les mesures de la plus petite à la plus grande, tous groupes
confondus
Exemple 1
groupe
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
1
temps
1,5
1,7
1,9
2,1
2,4
3,6
3,8
5,7
9,0
9,6
13,0
14,7
classement
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Caroline Verhoeven
groupe
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
STAT-I301
temps
17,9
21,7
22,6
22,8
29,0
39,0
54,4
72,1
72,3
73,6
79,5
88,9
classement
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
7 / 39
1. Test de Mann-Whitney
Mann-Whitney : Calcul et résolution de l’exemple II
2
Calculer la somme des classements du plus petit groupe :
Exemple 1
r1 = 3 + 4 + 7 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 17 + 21 = 121.
3
Calcul de la statistique : r1
Caroline Verhoeven
STAT-I301
8 / 39
1. Test de Mann-Whitney
Mann-Whitney : Calcul et résolution de l’exemple III
4
Comparer la statistique avec la table de Wilcoxon
Exemple 1
Ici on regarde un test bilatéral et on veut savoir si il y a une différence à
α = 0, 05.
On regarde dans la table pour α = 0, 05 et N1 = 11, N2 = 13 et on voit 2
nombres :
w0,025 = 103
w0,975 = 172
Si r1 ≤ w0,025 ou r1 ≥ w0,975 ⇒ On rejette H0
Si w0,025 < r1 < w0,975 ⇒ On ne rejette pas H0
Ici :
w0,025 = 103 < r1 = 121 < w0,975 = 172
⇒ On ne rejette pas H0
Caroline Verhoeven
STAT-I301
9 / 39
1. Test de Mann-Whitney
Valeur attendue pour R1 I
On sait que
n
X
i = 1 + 2 + ··· + n =
i=1
n(n + 1)
2
Si on additionne tous le classements, on a
1 + 2 + · · · + (N1 + N2 ) =
(N1 + N2 )(N1 + N2 + 1)
2
La moyenne des classements est donnée par
N1 + N2 + 1
1
(1 + 2 + · · · + (N1 + N2 )) =
N1 + N2
2
Caroline Verhoeven
STAT-I301
10 / 39
1. Test de Mann-Whitney
Valeur attendue pour R1 II
La valeur attendue E(R1 ), si H0 est vraie, est proportionnelle :
au nombre de sujets dans le groupe 1 : N1
N1 + N2 + 1
à la moyenne des classements
2
Et donc :
E(R1 ) = N1
Caroline Verhoeven
N1 + N2 + 1
2
STAT-I301
11 / 39
1. Test de Mann-Whitney
Si les échantillons sont grands ?
Si N1 et N2 sont trop grands, ils ne sont plus dans les tables.
Alors, on calcule
r
r1 − E(R1 )
N1 N2 (N1 + N2 + 1)
z=
, s(R1 ) =
s(R1 )
12
Z ∼ N (0, 1)
Si on regarde un test bilatéral à un taux α = 0, 05 :
On rejette H0 si z < −1, 96 ou z > 1, 96
On ne rejette pas H0 si −1, 96 < z < 1, 96
Caroline Verhoeven
STAT-I301
12 / 39
1. Test de Mann-Whitney
Classement avec mesures égales
Comment classe-t-on si on a plusieurs fois la même mesure ?
Exemple 2
Considérons les mesures fictives
groupe
2
2
1
1
2
1
2
1
xi
12
14
17
19
19
24
27
28
classement
1
2
3
4,5
4,5
6
7
8
Classement des mesures égales : moyenne des places qu’elles
prennent
Caroline Verhoeven
STAT-I301
13 / 39
1. Test de Mann-Whitney
Test de Mann-Whitney : conditions
Il n’y a pas de conditions sur la distribution de la population
Les distributions de 2 populations doivent avoir la même forme
Les 2 échantillons sont aléatoires simples
Les 2 échantillons sont indépendants
Caroline Verhoeven
STAT-I301
14 / 39
2. Test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés
Wilcoxon pour 2 échantillons appariés : Exemple I
Exemple 3
En 2002, Haguenauer a étudié le pas de
base de la danse sur glace. Il a étudié
l’impact de la position de la jambe d’appui en phase de repositionnement après
une poussée. La jambe peut être en
flexion ou en extension.
La différence des position a-t-elle un impact sur la vitesse du patineur ?
On a demandé de faire le même pas, 1
fois avec la jambe en extension et 1 fois
avec la jambe en flexion à N = 7 patineurs. La vélocité de poussée a été enregistrée.
Caroline Verhoeven
STAT-I301
15 / 39
2. Test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés
Wilcoxon pour 2 échantillons appariés : Exemple II
Exemple 3
patineur
1
2
3
4
5
6
7
Caroline Verhoeven
E
2,13
1,77
1,68
2,04
2,12
1,92
2,08
F
1,90
1,55
1,62
1,89
2,01
1,91
2,10
STAT-I301
16 / 39
2. Test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés
Wilcoxon pour 2 échantillons appariés : Principes
Egalement appelé test de Wilcoxon des rangs signés
Equivalent non-paramétrique du test t pour 2 échantillons appariés
Hypothèse sur la médiane δ̃ des différence entre les 2 mesures d’1
paire
Formulation des hypothèses
H0 : δ̃ = 0
Ha : δ̃ 6= 0
Caroline Verhoeven
STAT-I301
17 / 39
2. Test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés
Wilcoxon pour 2 échantillons appariés : Calcul et
résolution de l’exemple I
1
Calcul des différences di = xi1 − xi2 entre les 2 mesures
2
Calcul des valeurs absolues |di |
Exemple 3
i
1
2
3
4
5
6
7
xi1
2,13
1,77
1,68
2,04
2,12
1,92
2,08
xi2
1,90
1,55
1,62
1,89
2,01
1,91
2,10
Caroline Verhoeven
di
0,23
0,22
0,06
0,15
0,11
0,01
-0,02
STAT-I301
|di |
0,23
0,22
0,06
0,15
0,11
0,01
0,02
18 / 39
2. Test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés
Wilcoxon pour 2 échantillons appariés : Calcul et
résolution de l’exemple II
3
Classement des |di | de la plus petite à la plus grande.
Si di = 0, on élimine la donnée de l’analyse. (Il nous reste n données)
Si 2 différences sont identiques, on prend la moyenne de leur place
Exemple 3
i
1
2
3
4
5
6
7
xi1
2,13
1,77
1,68
2,04
2,12
1,92
2,08
xi2
1,90
1,55
1,62
1,89
2,01
1,91
2,10
di
0,23
0,22
0,06
0,15
0,11
0,01
-0,02
Caroline Verhoeven
|di |
0,23
0,22
0,06
0,15
0,11
0,01
0,02
STAT-I301
classement
7
6
3
5
4
1
2
19 / 39
2. Test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés
Wilcoxon pour 2 échantillons appariés : Calcul et
résolution de l’exemple II
4
On regarde les classement des différences positives et négatives
5
On prend la somme des c+ et la somme des c-
Exemple 3
i
1
2
3
4
5
6
7
xi1
2,13
1,77
1,68
2,04
2,12
1,92
2,08
xi2
1,90
1,55
1,62
1,89
2,01
1,91
2,10
di
0,23
0,22
0,06
0,15
0,11
0,01
-0,02
|di |
0,23
0,22
0,06
0,15
0,11
0,01
0,02
classement
7
6
3
5
4
1
2
c+
7
6
3
5
4
1
t + = 26
Caroline Verhoeven
STAT-I301
c-
2
t− = 2
20 / 39
2. Test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés
Wilcoxon pour 2 échantillons appariés : Calcul et
résolution de l’exemple II
6
Prendre le plus petit entre les t + et t − , on le nomme t
Exemple 3
Dans notre example, on a t = t − = 2
Caroline Verhoeven
STAT-I301
21 / 39
2. Test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés
Wilcoxon pour 2 échantillons appariés : Calcul et
résolution de l’exemple III
6
On compare t avec la table de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés
Exemple 3
Ici on regarde un test bilatéral et on veut savoir si il y a une différence à
α = 0, 05.
On regarde dans la table pour α = 0, 05 et n = 7 et on voit le nombres :
t0,025 = 3
Caroline Verhoeven
STAT-I301
22 / 39
2. Test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés
Wilcoxon pour 2 échantillons appariés : Calcul et
résolution de l’exemple IV
Exemple 3
Si t ≤ t0,025 ou t ≥ t0,975 ⇒ On rejette H0
Si t0,025 < t < t0,975 ⇒ On ne rejette pas H0
Ici :
t = 2 < t0,025 = 3
⇒ On rejette H0
Caroline Verhoeven
STAT-I301
23 / 39
2. Test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés
Valeur attendue pour T
Si H0 est vrai, on s’attend à ce que la somme des classements de
différence négative soit la même que celle des classements des
différences positives :
E(T − ) = E(T + )
On sait que la somme totale des classements est :
t+ + t− = 1 + 2 + · · · + n =
n(n + 1)
2
En combinant les 2 infos, on obtient :
E(T − ) = E(T + ) =
1 n(n + 1)
n(n + 1)
=
2
2
4
La distribution T de Wilcoxon est symétrique autour de n(n + 1)/4
Caroline Verhoeven
STAT-I301
24 / 39
2. Test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés
Si les échantillons sont grands
Si n est trop grand pour le trouver dans les tables, on calcule
r
n(n + 1)(2n + 1)
t − E(T )
s(T ) =
z=
s(T )
24
Z ∼ N (0, 1) Si on regarde un test bilatéral à un taux α = 0, 05 :
On rejette H0 si z < −1, 96 ou z > 1, 96
On ne rejette pas H0 si −1, 96 < z < 1, 96
Caroline Verhoeven
STAT-I301
25 / 39
2. Test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés
Test de rangs de Wilcoxon pour 2 échantillons
appariés : conditions
La distribution ne doit pas être trop asymétrique
Les données ne peuvent pas être biaisées
Les sujets doivent être indépendants
Caroline Verhoeven
STAT-I301
26 / 39
3. Coefficient de corrélation de rangs de Spearman
1. Calcul du coefficient de corrélation
Coefficient de corrélation de Spearman : Exemple I
Exemple 4
En 1986, Woloschuk a étudié le lien entre la
performance d’une équipe de basket-ball et
sa volonté de gagner.
Durant un tournoi, il a donné un questionnaire mesurant la volonté de gagner aux
joueuses de 18 équipes,
On a enregistré le score moyen pour la volonté de vaincre par équipe et le nombre de
points moyen de cette équipe pour le tournoi ?
Le score pour la volonté de vaincre est-il
relié au nombre de points moyen obtenus
par l’équipe ?
Les données se trouvent sur le slide suivant
Caroline Verhoeven
STAT-I301
27 / 39
3. Coefficient de corrélation de rangs de Spearman
1. Calcul du coefficient de corrélation
Coefficient de corrélation de Spearman : Exemple II
Exemple 4
équipe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
vaincre
9,50
9,46
9,00
8,90
8,55
8,22
8,18
8,09
7,80
points
46,25
40,50
41,20
48,75
45,00
43,00
28,50
46,20
27,66
Caroline Verhoeven
équipe
10
11
12
13
14
15
16
17
18
STAT-I301
vaincre
7,71
7,64
7,56
7,17
7,00
7,00
6,50
6,29
5,75
points
30,33
22,00
40,75
39,50
42,75
28,50
42,50
25,33
41,00
28 / 39
3. Coefficient de corrélation de rangs de Spearman
1. Calcul du coefficient de corrélation
Coefficient de corrélation de Spearman : Exemple II
Exemple 4
points
Nuage de points pour cet exemple
50
45
40
35
30
25
20
6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5
volonté de vaincre
Caroline Verhoeven
STAT-I301
29 / 39
3. Coefficient de corrélation de rangs de Spearman
1. Calcul du coefficient de corrélation
Coefficient de corrélation de Spearman : Calcul et
résolution de l’exemple I
1
Déterminer le classement des mesures x et des mesures y. Si 2
mesures sont identiques, on prend la moyenne de leur place.
Exemple 4
i
1
2
3
4
5
6
7
8
..
.
xi
9,50
9,46
9,00
8,90
8,55
8,22
8,18
8,09
..
.
yi
46,25
40,50
41,20
48,75
45,00
43,00
28,50
46,20
..
.
cx,i
18
17
16
15
14
13
12
11
..
.
cy,i
17
8
11
18
15
14
4
16
..
.
18
5,75
41,00
1
10
Caroline Verhoeven
STAT-I301
30 / 39
3. Coefficient de corrélation de rangs de Spearman
1. Calcul du coefficient de corrélation
Coefficient de corrélation de Spearman : Calcul et
résolution de l’exemple II
2
3
Prendre la différence entre les 2 classements di = cx,i − cyi
Calculer di2
Exemple 4
i
1
2
3
4
5
6
7
8
..
.
xi
9,50
9,46
9,00
8,90
8,55
8,22
8,18
8,09
..
.
yi
46,25
40,50
41,20
48,75
45,00
43,00
28,50
46,20
..
.
cx,i
18
17
16
15
14
13
12
11
..
.
cy,i
17
8
11
18
15
14
4
16
..
.
di
1
9
5
-3
-1
-1
8
-5
di2
1
81
25
9
1
1
64
25
18
5,75
41,00
1
10
-9
81
Caroline Verhoeven
STAT-I301
31 / 39
3. Coefficient de corrélation de rangs de Spearman
1. Calcul du coefficient de corrélation
Coefficient de corrélation de Spearman : Calcul et
résolution de l’exemple II
4
Calculer le total des di2
Exemple 4
i
1
2
3
4
5
6
7
8
..
.
xi
9,50
9,46
9,00
8,90
8,55
8,22
8,18
8,09
..
.
yi
46,25
40,50
41,20
48,75
45,00
43,00
28,50
46,20
..
.
cx,i
18
17
16
15
14
13
12
11
..
.
cy,i
17
8
11
18
15
14
4
16
..
.
di
1
9
5
-3
-1
-1
8
-5
di2
1
81
25
9
1
1
64
25
18
5,75
41,00
1
10
-9
81
663,5
Caroline Verhoeven
STAT-I301
32 / 39
3. Coefficient de corrélation de rangs de Spearman
1. Calcul du coefficient de corrélation
Coefficient de corrélation de Spearman : Calcul et
résolution de l’exemple III
5
Calculer le coefficient de corrélation de Spearman rs
P
2
6 N
i=1 di
rs = 1 −
N(N 2 − 1)
Exemple 4
Dans notre exemple :
rs = 1 −
6 · 663, 5
= 0, 315
18(182 − 1)
Remarque 5
−1 ≤ rs ≤ 1
Caroline Verhoeven
STAT-I301
33 / 39
3. Coefficient de corrélation de rangs de Spearman
1. Calcul du coefficient de corrélation
Formule et ex aequo
La formule
P
2
6 N
i=1 di
rs = 1 −
N(N 2 − 1)
n’est exacte que si il n’y a pas d’ex aequos dans les mesures !
Si il y a des ex aequos, on utilise la formule
c x et c y : moyenne des classePN
ments pour x et y :
i=1 (cx,i − c x )(cy ,i − c y )
qP
rs = qP
N
N
N +1
2
2
cx = cy =
i=1 (cx,i − c x )
i=1 (cy ,i − c y )
2
Caroline Verhoeven
STAT-I301
34 / 39
3. Coefficient de corrélation de rangs de Spearman
2. Test de significativité pour rs
Test de significativité pour rs : Exemple
Exemple 4
Dans l’exemple de basket, nous avons obtenu un coefficient de
corrélation de rangs de Spearman
rs = 0, 315.
Peut-on conclure à partir de cet exemple, que la performance d’une
équipe est relié à sa volonté de vaincre, avec un taux α = 0, 05 ?
Caroline Verhoeven
STAT-I301
35 / 39
3. Coefficient de corrélation de rangs de Spearman
2. Test de significativité pour rs
Test de significativité pour rs : Principe
ρs : Coefficient de corrélation de Spearman pour la population
Formulation d’hypothèses
H0 : ρs = 0
Ha : ρs 6= 0
Calcul de la statistique : rs
On regarde dans la table de distribution du coefficient de corrélation
du Spearman le nombre rN,1−α/2
rs ≤ −rN;1−α/2 ou rs ≥ rN;1−α/2 ⇒ on rejette H0
−rN;1−α/2 < rs < rN;1−α/2 ⇒ on ne rejette pas H0
Caroline Verhoeven
STAT-I301
36 / 39
3. Coefficient de corrélation de rangs de Spearman
2. Test de significativité pour rs
Test de significativité pour rs : Résolution de l’exemple
Exemple 4
Formulation d’hypothèses
H0 : ρs = 0
Ha : ρs 6= 0
Calcul de la statistique : rs = 0, 315
On regarde dans la table de distribution du coefficient de corrélation
du Spearman : r18;0,975 = 0, 472
rs = 0, 315 < r18;0,975 = 0, 472
⇒ On ne rejette pas H0
Caroline Verhoeven
STAT-I301
37 / 39
3. Coefficient de corrélation de rangs de Spearman
2. Test de significativité pour rs
Si les échantillons sont grands
Si N est trop grand pour le trouver dans les tables, on calcule
s
1 − rs2
rs
t=
,
srs =
srs
N −2
T ∼ t(df = N − 2)
Caroline Verhoeven
STAT-I301
38 / 39
3. Coefficient de corrélation de rangs de Spearman
2. Test de significativité pour rs
Corrélation de Spearman : Conditions
Les échantillons sont aléatoires simples
La relation entre les 2 classements doit être linéaire
Caroline Verhoeven
STAT-I301
39 / 39