Interpolation/Décimation 1

Interpolation/Décimation
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Rappels
• suite d’échantillons réels : xe (n) = x(nTe )
• reconstruction parfaite si Fe =
1
≥ 2B
Te
∀Fe le dispositif d’échantillonnage fournit une suite xe (n) dont la
TFtd se construit à partir de la TFtc de xa (t) selon le schéma S
suivant :
1. on divise l’axe des fréquences par Fe ,
2. on périodise avec la période 1,
3. on multiplie l’amplitude par Fe .
Si Fe > 2B, la TFtd est nulle pour B/Fe < |f | < 1/2 (modulo 1).
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Interpolation
Construire la suite des échantillons obtenus par interpolation de la
suite xe (n) avec le facteur M .
(M )
(M )
On note xe (n) la suite interpolée et Xe (e2jπf ) sa TFtd. D’après le
schéma S et notant que Te /Te0 = M , on obtient la relation :

M X (e2jπM f ) si f ∈ (−1/2M, +1/2M )
e
Xe(M ) (e2jπf ) =

0
si
1/2M < |f | < 1/2
(1)
3
Partant de la suite xe (n) considérons la suite :

x (n/M ) si n = 0
e
ye (n) =

0
si n 6= 0
mod M
mod M
où on a intercalé (M − 1) zéros. On a alors :
X
X
−2jπnf
2jπf
ye (n)e
=
xe (k)e−2jπkM f = Xe (e2jπM f )
Ye (e
)=
n
k
Partant de (1), on en déduit que :
Xe(M ) (e2jπf ) = M Ye (e2jπf )rect(−1/2M,+1/2M ) (f )
(M )
Pour obtenir la suite xe (n), il suffit donc de filtrer la suite ye (n) par le filtre
numérique de gain complexe :
H(e2jπf ) = M rect(−1/2M,+1/2M ) (f ) (périodique de période 1)
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passe-bas
M
insertion
-1/2M
1/2M
Figure 1: Interpolation d’ordre M : on insère M − 1 zéros et on filtre par H(e2jπf ) =
M rect(−1/2M,+1/2M ) (f ).
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Décimation
Construire la suite des échantillons que l’on aurait obtenue si on
avait échantillonné M fois moins vite.
(M )
On note xe
(M )
(n) cette suite et Xe
(n)(e2jπf ) sa TFtd.
D’après la règle de passage :
Xe(M ) (e2jπf ) =
1
Xe (e2jπf /M ) si
M
f ∈ (−1/2, +1/2)
(2)
Rappelons que, par définition, la TFtd est périodique de période 1.
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Evidemment, à cause du repliement de spectre, il ne suffit pas de supprimer
brutalement (M − 1) points sur M . Rappelons que l’échantillonnage à la
fréquence Fe /M nécessite un préfiltrage dans la bande (−Fe /2M, Fe /2M ).
Etudions toutefois cette opération. Pour cela, partant d’une suite ye (n),
considérons la suite :
te (n) = ye (M n)
Déterminons la relation qui lie leurs TFtd. Il vient :
Te (e2jπf )
=
+∞
X
n=−∞
te (n)e−2jπnf =
+∞
X
ye (M n)e−2jπnf
n=−∞
!
ÃM −1
X 1
e2jπpr/M e−2jπpf /M
=
ye (p)
M
p=−∞
r=0
+∞
X
=
M −1 +∞
M
−1
X
−r
1 X X
1
−2jπp(f −r)/M
2jπ fM
ye (p)e
Ye (e
)
=
M r=0 p=−∞
M r=0
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Nous avons représenté figure 2 pour M = 4 les TFtd de la suite ye (n) et celle
de la suite “décimée”. On observe l’effet du repliement.
Ye(f)
f
1/8
1/2
1
Te(f)
XedM(f)
résultat souhaité
f
1/8
1/2
1
Figure 2: La décimation pour M = 4.
(M )
Toutefois on constate que, pour que Te (e2jπf ) = Xe (e2jπf ), il suffit que
Ye (e2jπf ) = Xe (e2jπf )rect(−1/2M,+1/2M ) (f ). Il faut donc avant décimation
filtrer numériquement le signal xe (n). On aboutit au schéma de la figure 3.
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passe-bas
décimation
M
-1/2M
1/2M
Figure 3: Décimation d’ordre M : on filtre par H(e2jπf ) = rect(−1/2M,+1/2M ) (f )
puis on décime (M − 1) points sur M .
Démo:
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Réalisation du filtre passe-bas
Le filtre passe-bas idéal de gain complexe H(e2jπf ) = M rect(−1/2M,+1/2M ) (f )
filtre peut être approché par un filtre RIF en utilisant la méthode de la
fenêtre. Soit :
he (n) = w(n)
sin(πn/M )
pour n ∈ {−K, . . . , 0, . . . , K}
(πn/M )
où w(n) est une fenêtre de pondération, par exemple la fenêtre de Hamming :
w(n) = 0.54 + 0.46 cos(
renormalisation éventuelle
P
nπ
)
K
hn = 1.
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