Leçon 1

&RQVHUYDWLRQGHO·pQHUJLH
HWGHODTXDQWLWpGHPRXYHPHQW
I. Quand est l’énergie mécanique pas conservée ?
Loi de conservation d’énergie
Forces non-conservatives
Equilibres stables et instables
II. Quels quantités sont conservées lors des collisions d’objets ?
Conservation de la quantité de mouvement
Préparation au cours et aux exos
Chapitres du Giancoli à lire avant le cours (2 p):
8-5 Law of conservation of energy
9-1 Momentum and its relation to force
Exercices simples (4) à faire avant la séance d’exos:
Giancoli 8-39
9-3, 9, 10
Giancoli chapitres 8-1; 8-5 à 8-9; 9-1, 9-2, 9-4, 9-5, 9-7
8-1
Phys I SV 2013
8-/RLGH&RQVHUYDWLRQG·pQHUJLH
L’énergie totale d’un
système isolé est
constante.
L’énergie peut être transformée d’une
forme à une autre, mais la somme reste
constante.
Basé sur des observations expérimentales,
universellement validées
K
L’état d’un système au début défini les
états possibles.
Exemple: Quelle vitesse (i.e. énergie cinétique) est nécessaire pour échapper à la Terre ?
E=K+U>0 : K
mv0
2
2
G
mM T
RT
U ( RT )
v0
2
v0
2GM T
RT
2 gRT
v0 = —(2·9.8·6.4 106) m/s = 11 km/s
RT=6.4 106 m
NB. Trou noir - quand la lumière ne peut s’échapper d’une étoile:
Quel est le rayon RTN pour un trou noir d’une masse = MS
Â30kg) ?
Phys I SV 2013
2GM T
RT
Vitesse de la lumière c=3Â108 m/s
c
2GM TN
RTN
RTN
2G
MS
c2
RTN = 3km = 0.05% du rayon terrestre
8-2
([HPSOH6DXWjO·pODVWLTXH
Résolution d·un problème en appliquant E=constante
Situation: Un assistant fait un saut à l’élastique (masse et frottements négligés) depuis un
pont. L'élastique se tend dès que la chute dépasse une distance verticale correspondant à
sa longueur L. Après, l’élastique se comporte comme un ressort de constante k.
Question: De quelle distance 'y l’assistant va-t-il encore descendre avant d’être arrêté
par l’élastique?
Ea=mg(L+'y)
Eb = mg'y+mv2/2
Les forces
Ec = k'y2/2
Ea= Ec ĺk'y2/2=mg(L+'y)
=L
k
'y 2 'y L
2mg
b
a
c
mg §
kL
¨1 1 2
k ¨©
mg
Ÿ 'y
0
A réfléchir: Le résultat, dépend-t-il du choix de
l’endroit où l’énergie potentielle est nulle ?
Phys I SV 2013
·
¸
¸
¹
8-3
4XLVDXWHOHSOXVKDXW"
Situation: Alice saute avec l’aide d’une barre après avoir acquis une
vitesse de 7m/s. Bénédicte fait de même, mais elle saute avec l’aide
d’un trampoline qui est 2m en-dessous.
i. Laquelle saute le plus haut, si on néglige tout frottements ?
ii. Quelle est la situation avec un frottement de l’air ?
i
ii
A
B
A=B
A
Phys I SV 2013
B
8-4
8-2. Quand est O·pQHUJLHPpFDQLTXH( .8SDVFRQVHUYpH"
Forces non-conservatives
Nous avons vu que 'K=Wnet (Principe TravailEnergie)
Ffr (non conservative)
' différence entre état initial et état final
Wnet = travail de toutes les forces entre les deux
états
'K = Wnet = WC+WNC
mg
(conservative)
T
où WC = -'U (différence d’énergie potentielle)
Ÿ'K=-'U+WNC ĺ 'K+'U-WNC=0
Forces de frottement: FNμs, FNμk, Fv
Frottement cinétique:
Frottement visqueux:
'E
&
&
& &
v &
v &
P
F
˜ v dt
dW F f ˜ dr P k FN dr
k N
v
v
& &
& &
& &
dW F f ˜ dr bv ˜ dr
bv ˜ v dt
Chemin aller-retour:
dW
&
P k FN v dt < 0
dW
bv 2 dt
<0
NB. Frottement statique: dW = ?
8-5
Phys I SV 2013
Ex. le WUDYDLOGHVIRUFHVQRQ-FRQVHUYDWLYHV
Définissons l’énergie totale par Etot=K+U-WNC
'K+'U-WNC=0 œ Etot= constante Ÿ L’énergie totale est TOUJOURS conservée
On peut associer à 'WNC une énergie tel que 'ENC = -WNC
Ÿ 'K+'U+'ENC=0
Les forces non-conservatives transforment l’énergie mécanique en
1.
chaleur
2.
déformation (voir accidents …)
Phys I SV 2013
3.
d’autres forces NC en son, électricité …
8-6
8-3. &RPPHQWGpWHUPLQHUVLXQpTXLOLEUHHVWVWDEOH"
Un système conservateur est spécifié par la fonction
U(x) et l’énergie mécanique (constante du
mouvement); donnée par les conditions initiales.
(Dessinez Fx en quelques points)
E4
Equilibre: dU(x0)/dx{0
stable: d2U(x0)/dx2 > 0
instable: d2U(x4)/dx2 < 0
1. Si E=E1 ... l’objet peut aller de
à
(K=
Le mouvement autour d’un équilibre
) stable est toujours oscillatoire.
2. Si E=E0 ... L’objet
(Pourquoi ?)
3. Si E=E2 …
4. Si E=E3 …
5. E = E4 …
8-7
Phys I SV 2013
&RPELHQVG·HUUHXUV"
Situation: Des employées des CFF s’amusent en
manœuvrant une locomotive de triage de masse M =
72 tonnes à vitesse de v0 = 4.5 km/h. Elles
provoquent une collision avec un vieux wagon de
marchandise de masse m = 18 tonnes au repos. Le
wagon se meut ensuite sur un rail complètement plat
qui se termine à une distance de xt=150 m avec un
ressort d’arrêt (i.e. un tampon). (Les frottements du
wagon avec les rails sont μk=0.001, μs=0.4)
v0
M
Question A) Le wagon est capable de
comprimer le ressort jusqu’à 'x = 0.3 m quand
il a une vitesse de 1.0 m/s. Donnez la raideur
du ressort.
m
k
- 2
2
m
810000
Mv P k Mg'x
808044 [N/m]
'x 2
Phys I SV 2013
m
xt
1.
Lire l’énoncé avec prudence
2.
Résultat avec unités
3.
Dimensions !
4.
Comportement de la solution
5.
Faute de frappe
6.
Chiffres significatifs
Combien
d’erreurs dans
cette réponse ?
0
1
2
3
4
5
6
8-8
/·pQHUJLHHQEUHI
³
Travail d’une force: Wa b
Forces conservatives
b
a
& &
F ˜ dl
W1A2
dW
W1B2
& &
F ˜ dl
(travail aller-retour est nul)
Forces non-conservatives (frottements): WNC dépend de la trajectoire
Principe travail-énergie
Energie cinétique K {
Wnet
'K
mv 2
Energie mécanique E
2
K U
&
Energie potentielle d’une force conservative F& dU &(r )
Energie du ressort U ressort
k 2
x
2
dr
&
Energie gravitationnelle U g (r )
Loi de conservation d’énergie
Etot = K+U-WNC = constante
G
mM T
r
Puissance: P=dW/dt=dE/dt
8-9
Phys I SV 2013
8-4XDQWLWpGHPRXYHPHQW
La loi universelle de conservation d’énergie
nous permet de calculer le changement de
l’énergie cinétique amenant la célérité
» Mais: aucune information sur la direction,
i.e. vitesse!
La 2ème loi de Newton nous donne
information vectorielle, i.e. directionnelle:
&
Fnet
&
F
¦
&
ma
» Avec la définition de a=dv/dt on peut
reformuler
&
Fnet
&
d (mv )
dt
La masse n’est pas constante ?
Quantité de mouvement («linear
momentum »)
&
&
p { mv
m v
p
Unité: kgm/s
La 2ème loi de Newton reformulée:
Le changement de quantité de mouvement
d’un objet par temps est égal à la force
nette appliquée à cet objet
&
Fnet
&
dp
dt
» propulsion chimique et relativité
restreinte
Phys I SV 2013
8-10
Exemples: poussée et propulsion
Force nette sur l’air sortant de la turbine:
p=0
Force nette sur l’engin:
'p1
pgas
- Fnet
Fnet
pfusée
actio=reactio
'p2
8-11
Phys I SV 2013
4XHOHVWO·HQMHXG·XQHFROOLVLRQHQWUHGHX[REMHWV"
Quantité de mouvement et collision
3ème loi Newton (actio=reactio): F1=-F2
Force nette sur 1 est F1, sur 2 est F2
Avant
Pendant
F1
F2
2ème loi (voir précédant):
& dp&1
&
F2
F1
dt
&
&
dp1 dp2
dt
dt
Après
Question: Quelle est la relation entre p1, p2,
p1’, p2’ ?
Ÿ
&
dp2
dt
0
p1 + p2 = constant
Définition:
Collision élastique: Ki=Kf
Inélastique ? (leçon 9)
Deux objets avec masses égales, mais vitesses égales et opposées
1. élastique
2. complètement inélastique
(objets restent collés après)
Phys I SV 2013
8-12
8-&RQVHUYDWLRQGHOD4XDQWLWpGH0RXYHPHQW
Loi de conservation:
Pour un système isolé (sans forces extérieures nettes)
la quantité de mouvement totale est constante
» E.g. pour N objets:
N
&
¦ p (t )
k
const.
k 1
« sans forces extérieures nettes »
» On néglige les forces de frottement
» On néglige des forces extérieures faibles (e.g. g dans une
collision forte)
— Possible si on mesure p juste avant et après la
collision
Forces extérieures = mg+FN=0
8-13
Phys I SV 2013
4XDQGHVWXQV\VWqPHLVROp"
=système sans forces extérieures nettes
FN
1) humain en chute libre
mg
mg
3) Boule de billard sur table
2) Système Terre-humain
4) 2 boules de billard sur table avec collision
mg
Phys I SV 2013
8-14
([HPSOHVFROOLVLRQVUHFWLOLJQHV
Supernova!
Question: Comment le système sait-il
combien de boules à mettre en mouvement
après la collision ?
1. Conservation de p:
pi=mv=pf=m4v/2 + m5v/2 est possible …
Dans 1 s, l’étoile subit une contraction durant
laquelle les couches rebondissent sur le noyau
et créent des collisions avec les couches
extérieures produisant de la matière éjectée
avec des vitesses relativistes (0.1-0.2c).
Cet effet est modélisé par
l’expérience des 4 balles.
m
Ce qui se passe pendant
chaque collision:
M
2. Conservation de K:
1. Conservation de p et K:
Impossible dans ce cas (mi = m)!
2. Quel référentiel, A ou B ?
A. L’objet M en repos
B. L’objet M avec vitesse opposée
8-15
Phys I SV 2013
&RPPHQWDQDO\VHUXQHFROOLVLRQpODVWLTXHHQ'"
1. Conservation de la quantité de
mouvement:
T
Composantes x et y:
m1v1´cosT1+ m2v2´cosT2=m1v1
m1v1´sinT1+ m2v2´sinT2=0
2. Elastique = Conservation de l’énergie
cinétique:
m1v12/2= m1v1´2/2+ m2v2´2/2
Deux masses égales:
3 équations, 7 inconnues (voir algèbre linéaire):
Conservation d’énergie cinétique:
m 2
v1
2
m '2 m ' 2
v1 v2
2
2
2
1
v
'2
1
v v
'2
2
Conservation de la quantité de mouvement:
&
mv1
&
v1
&'
&'
mv1 mv2
& &
v12 { v1 ˜ v1
v&
1
'
&'
v2
et il s’en suit alors
Phys I SV 2013
2
&' & '
v1 v2
Si on connait m1, m2, v1 et T (=T1+ T2), on peut
calculer v1´ et v2´
1. soit T S/2
2. Ou un des objets (lequel ?) se trouve
immobile après le choc.
2
2
& &
v1' v2' 2v1' ˜ v2'
& &
v1' ˜ v2'
0
8-16
Ex. le WUDYDLOG·XQGpSODFHPHQWGURLWDYHFIURWWHPHQWV
WV
Mais, moi
je
travaille!
Rappel: Le travail net Wnet sur un
corps en déplacement est la somme
des travaux des différentes forces
agissant sur ce corps.
F
Wnet
&
Fnet
F
N
¦W
T
k
k
&
¦F
Ffr
k
d
k
mg
Exemple: Wnet = FNdcos90+mgdcos90 +FdcosT+ Ffrdcos180 = 0·d =0
0
0
(FcosT– Ffr)d
(v=constĺFcosT= Ffr)
Les forces normales au déplacement (mg, FN sont A à d) ne travaillent pas. Les
forces de traction F et de frottement Ffr travaillent
Phys I SV 2013
Phys I SV 2013
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8-18
Phys I SV 2013
8-19