1ES : Polynômes Corrigé. 1. Déterminer parmi les expressions

1ES : Polynômes
Corrigé.
1. Déterminer parmi les expressions suivantes lesquelles sont des polynômes et le degré de ceux-ci dans
les cas échéants.
¡(x 2+ 1)(2x
¢ ¡ −24)(4¢+ 5x) est un polynôme de degré 3.
x
−
7
¡ 2
¢ 2x 1− 4 est un polynôme de degré 4.
x
+
6x
¡ 2
¢+¡ 1x¢n’est pas 4un polynôme.
5
x + 8x
= x + 8x est un polynôme de degré 4.
x
¡ 2
¢41
x + 8x − 8
est un polynôme de degré 82.
¡ 3
¢−32
1
x + x2 + x + 1
=
32 n’est pas un polynôme.
3
2
(x + x + x + 1)
Produits de polynômes.
2.a. Refaire la multiplication donnée en exemple.
2.b. Développer les produits de polynômes en posant le calcul comme dans l’exemple précédent :
¡
¢
(x − 7) 2x2 − 4 ,
(x + 3) (x + 6) ,
¡
¢
(x − 7) −3x2 + 8x − 57 ,
¡
¡ 2
¢¡
¢
x + 8x − 8 x3 + x2 + 15 ,
¡
2x2 + 9x + 4
¢¡
¢
2x2 + 9x + 4 ,
x2 + 8x − 8
¢¡
¢
x2 + x − 14 ,
¡ 3
¢¡
¢
x + x2 + x + 1 x3 + x2 + x + 1 ,
¡ 3
¢¡
¢
6x − 6x2 + 4x + 17 −2x3 + x2 + 5x + 2 .
3. Factoriser en utilisant les identités remarquables classiques
(x − 1)2 − 3(x − 1),
(2x + 7)(x − 2) − (7 + 2x)(7 − 2x),
x4 + 2x3 + x2 ,
81 − (x + 5)2 .
4. Calculer et simplifier les sommes suivantes :
7
5
3+x
+
1
2−x
+
,
3−x
9 − x2
x+
x
1
2
+
5
2x + 7
− 2x
+ 7
,
3 + 2x
3+x
2−x
,
5x − 1
2
2
2 + 3,
x
x
3x2 + x + 1
x2 + 4
+ 1
,
2
5x − 7x + 3
3x + 1
3
9
+3
x+5
+
4x2 − 1
.
x+1
Soit Q = ax2 + bx + c un polynôme de degré 2 et R = dx + e un polynôme de degré 1 tels que
¡
¢
x4 + 7x3 + x2 − 3x + 1 = x2 − x + 2 · Q + R.
5.a. Calculer le produit de Q par P où P (x) = x2 − x + 2. Ce produit est, bien sûr, d’un polynôme
contenant les lettres x, a, b, c, d et e).
1
P (x)Q(x) =
=
¡ 2
¢¡
¢
x − x + 2 ax2 + bx + c
ax4 + (b − a)x3 + (2a − b + c)x2 + (2b − c)x + 2c
5.b. Ajouter le reste R(x) et en déduire quels sont les nombres a, b, c, d et e.
P (x)Q(x) + R(x) = ax4 + (b − a)x3 + (2a − b + c)x2 + (2b − c)x + 2c + dx + e
P (x)Q(x) + R(x) = ax4 + (b − a)x3 + (2a − b + c)x2 + (2b − c + d)x + 2c + e
Ceci sera égal à x4 + 7x3 + x2 − 3x + 1 si et seulement

ax4




 (b − a)x3
(2a − b + c)x2


(2b − c + d)x



2c + e
C’est à dire si et seulement si

a




b
−
a

2a − b + c


2b − c + d


2c + e
La résolution de ce système donne :
C’est à dire que

a




b
c


d



e
si
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
x4
7x3
x2
−3x
1
1
7
1
−3
1
=
1
=
8
=
7
= −12
= −13
¡
¢ ¡
¢
x4 + 7x3 + x2 − 3x + 1 = x2 − x + 2 · x2 + 8x + 7 + (−12x − 13).
6. Déterminer par la méthode des coefficients indéterminés, le polynôme Q de degré 5 et le polynôme
R de degré 1 tels que
¡ 7
¢ ¡
¢
x + x5 + x3 + x + 1 = x2 − 1 · Q + R.
Q doit être de degré 5 pour que son produit par x2 + 8x + 7 qui est de degré 2 donne un résultat de
degré 7. Le polynôme Q s’écrit a priori Q(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f , où a, b, c, d, e et f sont
des réels que l’on va déterminer.
Le reste R(x) doit être de degré inférieur au diviseur, donc il est au maximum de degré 1, de sorte que
R s’écrit apriori R(x) = gx + h où g et h sont aussi des réels à déterminer.
P (x)Q(x) + R(x)
=
¡
x2 + 8x + 7
¢¡
¢
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f + gx + h
= ax7 + (b + 8a)x6 + (c + 8b + 7a)x5 + (d + 8c + 7b)x4 + ...
... + (e + 8d + 7 ∗ c)x3 + (f + 8e + 7d)x2 + (g + 8f + 7e)x + h + 7f
Ceci sera égal à x7 + x5 + x3 + x + 1 si et seulement si

ax7




(b + 8a)x6




(c + 8b + 7a)x5



(d + 8c + 7b)x4
(e + 8d + 7c)x3




(f + 8e + 7d)x2




(g + 8f + 7e)x



h + 7f
2
= x7
= 0x6
= x5
= 0x4
= x3
= 0x2
= x
=
1
C’est à dire si et seulement si
En remplaçant a par sa valeur :

a




b + 8a




c + 8b + 7a



d + 8c + 7b
 e + 8d + 7c



f + 8e + 7d



g + 8f + 7e


h + 7f












a
b
c + 8b
d + 8c + 7b
e
+ 8d + 7c




f
+ 8e + 7d




g
+
8f + 7e



h + 7f
En remplaçant b par sa valeur :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=












a
b
c
d + 8c
e
+
8d + 7 ∗ c




f
+
8e + 7d




g
+
8f
+ 7e



h + 7f
En remplaçant c par sa valeur :












a
b
c
d
e
+
8d




f
+
8e
+ 7d




g
+
8f
+ 7e



h + 7f
En remplaçant d par sa valeur :












a
b
c
d
e




f
+
8e




g
+
8f
+ 7e



h + 7f
En remplaçant e par sa valeur :












a
b
c
d
e




f




g + 8f



h + 7f
1
0
1
0
1
0
1
1
1
−8
−6
0
1
0
1
1
= 1
= −8
= 58
= 56
= 1
= 0
= 1
= 1
=
=
=
=
=
=
=
=
1
−8
58
−408
−405
0
1
1
=
1
= −8
=
58
= −408
= 2859
= 2856
=
1
=
1
=
1
=
−8
=
58
= −408
=
2859
= −20016
= −20012
=
1
3
En remplaçant f par sa valeur on obtient finalement :

a =
1




b =
−8




c =
58



d =
−408
2859
e =



f = −20016



g = 140116



h = 140113
Autrement dit
¡
¢¡
¢
x7 + x5 + x3 + x + 1 = x2 + 8x + 7 x5 − 8x4 + 58x3 − 408x2 + 2859x − 20016 + 140116x + 140113.
Soit P (x) = ax3 + bx2 + cx + d un polynôme du troisième degré, a, b, c et d étant des réels fixés.
2
7.a. Calculer (P (x)) .
En posant la multiplication on obtient facilement :
2
(P (x)) = a2 x6 + 2abx5 + 2acx4 + b2 x4 + 2adx3 + 2bcx3 + 2bdx2 + c2 x2 + 2cdx + d2 .
2
7.b. Sachant que (P (x)) = x6 − 12x5 + 60x4 − 160x3 + 240x2 − 192x + 64, déterminer les valeurs des
réels a, b, c et d.
De
x6 −12x5 +60x4 −160x3 +240x2 −192x+64 = a2 x6 +2abx5 +2acx4 +b2 x4 +2adx3 +2bcx3 +2bdx2 +c2 x2 +2cdx+d2
on tire le système
C’est à dire

x6




−12x5




 60x4
−160x3


240x2




−192x



64

1




−12




 60
−160


 240



−192


64
=
a2 x6
=
2abx5
= 2acx4 + b2 x4
= 2adx3 + 2bcx3
= 2bdx2 + c2 x2
=
2cdx
=
d2
=
a2
=
2ab
= 2ac + b2
= 2ad + 2bc
= 2bd + c2
=
2cd
=
d2
Pour a on a deux possibilités a = 1 ou a = −1. Si a = 1 :

1
=
a




−12
=
2b




= 2c + b2
 60
−160 = 2d + 2bc


240 = 2bd + c2




−192 =
2cd



64
=
d2
4
Donc

1




−6




 24
−160


 240



−192


64
Et encore :
=
=
=
=
=
=
=
a
b
2c
2d − 12c
−12d + c2
2cd
d2

1




−6




 12
−16


96




−192



64

1




−6




 12
−8


−8




−8



−8
=
a
=
b
=
c
=
2d
= −12d
= 24d
=
d2
=
=
=
=
=
=
=
a
b
c
d
d
d
d
Cela amène donc une première solution a = 1, b = −6, c = 12 et d = −8, c’est à dire P (x) =
x3 − 6x2 + 12x − 8. Remarque : il faut vérifier toutes les équations.
Avec a = −1 on arrive à une autre solution, a = −1, b = 6, c = −12 et d = 8, c’est à dire P (x) =
−x3 + 6x2 − 12x + 8 qui est l’exacte opposée de la première solution, mais cela est-il étonnant qu’une
équation du type Y 2 = ... admette deux solutions opposées l’une de l’autre pour Y ?
8. Déterminer le réel a dans
Q(x) =
12 4 59 3 221 2
x − x +
x − ax + 34
7
14
14
de façon que Q(x) soit divisible par 4x2 − 21 x + 17.
On cherche un polynôme du deuxième degré. Notons le Ax2 + bx + c (la lettre a est déjà utilisée,
attention à ne pas confondre A et a dans la suite des calculs). On doit avoir
µ
¶
¡ 2
¢
1
12 4 59 3 221 2
Ax + bx + c 4x2 − x + 17 =
x − x +
x − ax + 34.
2
7
14
14
C’est à dire, en développant le membre de gauche :
4Ax4 + 4bx3 −
A 3
b
c
12 4 59 3 221 2
x + 4cx2 − x2 + 17Ax2 − x + 17bx + 17c =
x − x +
x − ax + 34.
2
2
2
7
14
14
Ce qui donne le système



















4Ax4
A 3
2x
4bx3 −
2
4cx −
b 2
2x
− 2c x
=
12 4
7 x
3
− 59
14 x
221 2
14 x
=
−ax
=
34
=
+ 17Ax
+ 17bx
17c
5
=
2
En simplifiant par x :










4A
4b −
A
2
4c − + 17A




− 2c + 17b





17c










A
4b
b
2
4c −




− 2c + 17b



 17c
Puis


A





b


c




a




c
=
−a
=
34
=
b
2
On en tire :
=
12
7
− 59
14
221
14
=
=
3
7
=
−4
=
119
14
=
−a
=
34
=
3
7
=
−1
=
2
=
18
=
2
Conclusion : il faut prendre a = 18.
9. On considère la fraction
F (x) =
3x3 + 7x2 − 27x − 63
.
9x3 + 27x2 − 49x − 147
Démontrer que
F (x) =
x−3
.
3x − 7
6