être ou paraître

Philippe Colliard
http:/www.mathemagique.com
2000
Etre ou paraître ?
L'expérience :
prends 2 feuilles de même apparence et un crayon bien taillé.
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Sur l'une des feuilles, trace un segment de 8 cm, sans le nommer. Sur l'autre feuille, et à peu près au même endroit,
trace un segment de 8,01 cm. Jette les 2 feuilles par terre, en fermant les yeux. Ramasse-les.
Lequel des 2 segments mesure 8 cm ? En es-tu certain(e) ?
Les limites de l'expérience :
en mesurant, tu as l'impression que…
Mais 3 raisons au moins t'empêchent d'affirmer que c'est vrai :
l'imprécision du dessin:
là, je te renvoie aux feuilles sur "ligne"et "trait". Même avec un crayon très fin, ce que tu appelles "segment"
n'est en fait qu'un trait dont l'irrégularité ferait mourir de rire n'importe quelle fourmi mathématicienne(*).
l'imprécision de la mesure :
admettons un instant que ton dessin soit "idéal", que tu aies réussi à tracer le segment parfait !
Malheureusement, ta règle n'est pas parfaite, elle !
D'une part, tu sais bien qu'elle n'est pas rectiligne: elle le paraît seulement
– ce sera évident si tu en observes le bord au microscope.
D'autre part, as-tu essayé de regarder avec une forte loupe les graduations de ta règle ?
Non seulement elles cessent de te paraître rectilignes, mais en plus elles deviennent très larges.
Alors… Où places-tu l'extrémité du segment ( idéal ) que tu veux mesurer ?
6
5
4
3
2
1
0
…Et même si ta règle était également idéalement parfaite, ni tes yeux ni ton cerveau ne sont équipés pour une
vision parfaite jusqu'à l'infiniment petit (les miens non plus, d'ailleurs). Ce n'est naturellement pas un défaut:
leur fonction est de te permettre de circuler dans un monde à ton échelle de mouvements !
les interactions entre le mesureur et le mesuré :
ça, c'est plus compliqué. Par exemple, il se peut que ta règle idéale soit à 37°, parce que tu la tiens en mains
depuis 5 mn. Et que la feuille de papier idéale avec ton segment idéal soit à 20°, la température de la pièce.
Alors, en posant la règle sur la feuille, tu réchauffes la feuille et elle se dilate… Et ton segment aussi !
Un autre exemple: tu veux mesurer le diamètre de ta pupille "au repos". Mais pour ça tu dois l'éclairer.
Et quand tu l'éclaires, elle se contracte !
Naturellement, cette interaction est en général très minime… A l'échelle humaine. Mais plus ce que tu
observes est petit, plus cette interaction est génante. Alors, tu imagines, pour observer des atomes !!!
Conclusion :
ce n'est pas parce qu'un trait représentant un segment semble mesurer 8 cm que le segment mesure 8 cm !
Un segment est un objet mathématique idéal, et tu ne peux affirmer qu'il mesure 8 cm que dans 2 cas :
lorsque
cette longueur t'est imposée dans un énoncé ( observe le triangle ABC, avec AB = 8 cm )
ou lorsque
- la situation de ce segment, dans une figure plus complexe,
- ta connaissance des mesures d'autres éléments de cette figure
- et…Ta culture mathématique
te permettent, par la raison, d'aboutir à la certitude qu'il mesure 8 cm.
[ si ABC est un triangle isocèle en B,
et si BA = 8 cm ( longueur imposée par un énoncé )
alors BC = 8 cm ( ta culture: c'est ce que tu as appris à propos des triangles isocèles) ]
L'un des buts de cette culture géométrique que tu es en train d'acquérir est de te permettre d'obtenir, par la réflexion et
l'observation, des certitudes. De ne plus te contenter d'expérimenter et de "conjecturer" …
Ce qui ne veut bien sûr pas dire que l'expérimentation et la conjecture sont inutiles :
elles sont un point de départ très utile, mais elles ne suffisent pas.
… Même pour déterminer la mesure d'un segment !
(*)
Ne te vexe pas:
le trait que la fourmi tracerait ferait à son tour mourir de rire tous les acariens mathématiciens… Etc…
Personne n'est parfait !