1 Références 2 Rendements
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1 Références Références • CLM 1.3, 1.4 • CLM Intro 10, 10.1 2 Rendements 2.1 Prix et rendements Prix des actifs • Il y a n actifs et T périodes. • Le prix de l’actif i à moment t est Pit . • On suprime l’indice i si n = 1. • Le log-prix est pt ≡ log Pt . • L’indice t indique le moment où la quantité est connue. • Une lettre minuscule indique un logarithme (naturel). • L’unité de temps est souvent l’année, le mois ou le jour. • L’unité de prix est le dollar ou une autre devise. Rendements simples • Rendement net simple : Rt ≡ • Rendement brut simple : Pt − Pt−1 Pt−1 1 + Rt = Pt Pt−1 • Le rendement est une quantité sans dimension. • La stationnarité est plus plausible pour des rendements que pour les prix. Rendements composés • Rendement net composé (k périodes) : • Rendement brut composé : • Notez que 1 + Rt (k) = Rt (k) ≡ Pt − Pt−k Pt−k 1 + Rt (k) = Pt Pt−k Pt−1 Pt Pt−k+1 ··· · = Pt−k Pt−2 Pt−1 t Y τ =t−k+1 (1 + Rτ ). 2.2 Log-rendements Log-rendements I • Si on réalise le rendement net r/n à chacune de n sous-périodes le rendement brut pour la période entière est de (1 + r/n)n . • À la limite, le rendement brut pour la période entière est de lim (1 + r/n)n = er . n→∞ • Si 1 + R est le rendement brut pour la période entière, (1 + R) = er et r = log(1 + R). Log-rendements II • Log-rendement (ou rendement continument composé) : rt = log(1 + Rt ) = log • Log-rendement composé : Pt Pt−1 = pt − pt−1 rt (k) = log(1 + Rt (k)) = pt − pt−k • Pour R petit, r ≈ R 2.3 Portefeuilles Portefeuilles • Prix de n actifs à t : P1t , . . . , Pnt • À t − 1, le portefeuille q comprend ωi dollars (ou ωi /Pi,t−1 unités) de l’actif i, • ωi < 0 est possible (vente à découvert) Pn • Normalisation : i=1 ωi = 1 • Prix de q à t − 1 : Pq,t−1 = n X i=1 • Prix de q à t : Pqt = n X i=1 ωi Pi,t−1 ωi · Pi,t−1 = 1 Pi,t−1 · Pit = 2 n X i=1 ωi (1 + Rit ) 2.4 Rendements versus log-rendements Avantages de R • Soit q un portefeuille avec poids ω = (ω1 , . . . , ωn ) des actifs. • Le rendement brut 1 + Rqt de q est de n 1 + Rqt = X Pqt = Pqt = ωi (1 + Rit ). Pq,t−1 i=1 • Le rendement net Rqt est ainsi Rqt = n X ωi Rit . i=1 • La linéarité et simplicité de Rqt est pratique là où on étudie des portfeuilles. Avantages de r I • On peut décomposer un log-rendement composé comme somme des log-rendements simples : rt (k) = = log(1 + Rt (k)) = pt − pt−k k−1 X j=0 (pt−j − pt−j−1 ) = k−1 X rt−j j=0 • La linéarité et simplicité de rt (k) est pratique là où on étudie des rendements composés. Avantages de r II • Annualiser un rendement est calculer le rendement par année. • Si l’unité de temps est l’année, le rendement annualisé de Rt (k) est de 1/k k−1 Y (1 + Rt−j ) − 1. j=0 • Le log-rendement annualisé rt (k) est plus simple : rt (k)/k 2.5 Dividendes Dividendes I • Un dividende est un versement d’une entreprise à ses actionnaires. • Soit Dt le dividende recu à t. • Si Pt est avec dividende (cum dividend), le versement du dividende est apr ès la transaction à t et Rt = Pt − 1. Pt−1 − Dt−1 • Si Pt est ex dividende (ex dividend), le versement est avant la transation et Rt = Pt + D t − 1. Pt−1 3 Dividendes II • Souvent un entreprise verse un dividende régulier, habituellement 1, 2, ou 4 fois par année. • Souvent un entreprise ne verse pas de dividende ou verse des dividendes extraordinaires. • Le log-rendement est une fonction non-linéaire des log-prix et des log-dividendes : ( log(Pt + Dt ) − log(Pt−1 ) rt = . log(Pt ) − log(Pt−1 + Dt−1 ). • Il faut inclure les dividendes pour calculer les rendements. 3 Obligations 3.1 Obligations et leur rendements Obligations • Une obligation est un contrat entre un émetteur et un détenteur. • L’émmeteur verse un paiement, la valeur nominale (face value), au d étenteur à l’échéance. • Habituellement l’émetteur verse des coupons réguliers au détenteur jusqu’à l’échéance (inclusif). • Pour les obligations zéro coupon il n’y a pas de coupon. • Pnt est le prix à t d’un obligation zéro coupon (ou obligation à escompte) qui paie un dollar dans n périodes, et pnt ≡ log(Pnt ). Rendements des Obligations • Le rendement à l’échéance (yield) Ynt de cette obligation vérifie Pnt = 1 . (1 + Ynt )n • Le log-rendement ynt ≡ log(1 + Ynt ) vérifie ynt = − pnt . n Rendements “Holding Period” • On calcule un rendement pendant la période de détention (holding period return) pour une obligation : (1 + Rn,t+1 ) = • En logs, Pn−1,t+1 . Pnt rn,t+1 = pn−1,t+1 − pnt . • Le rendement à l’échéance (connu à t) est la moyenne de rendements connu à l’avenir : ynt n−1 1X rn−i,t+1+i . = −pt /n = n i=0 4 3.2 Structure à terme Structure à terme • La structure à terme est l’ensemble de rendements à l’échéance pour des obligations zéro coupon de maturités différentes. • La courbe de rendement (yield curve) est la graphique de Y nt ou ynt contre n. • L’écart de rendement (yield spread) à t est Snt ≡ Ynt − Y1t ou snt ≡ ynt − y1t . Cours à terme (Forward rates) • Voici une façon de garantir à t un taux d’intérêt entre t + n et t + n + 1. – Acheter une obligation qui paie un dollar à t + n + 1. (Payer Pn+1,t pour une obligation à échéance n + 1.) – Vendre assez de l’obligation qui paie un dollar à t + n pour financer cet achat. (Vendre Pn+1,t /Pnt de l’obligation à échéance n.) • Le cours à terme (forward rate) est le taux garanti : 1 + Fnt = Pnt Pn+1,t 4 Moments 4.1 Stationnarité Stationnarité I • Un processus {rt } est stationnaire si pour chaque K, chaque (t 1 , t2 , . . . , tK ), et chaque τ , les lois de (rt1 , rt2 , . . . , rtK ) et de (rt1 −τ , rt2 −τ , . . . , rtK −τ ) sont identiques. • Un processus {rt } est faiblement stationnaire (ou covariance-stationnaire) si pour chaque t et τ , – E[rt ] existe et ne dépend pas de t. – cov[rt , rt−τ ] existe et ne depend pas de t. Stationnarité II • Ces hypothèses simplifient le monde en disant que l’avenir ressemble le pass é. • C’est souvent une hypothèse raisonnable. • Un processus stationnaire avec moyenne et variance fini est covariance stationnaire. • En générale, un processus covariance stationnaire n’est pas stationnaire. • Exception importante : un processus gaussian covariance stationnaire est stationnaire. • Covariance stationnarité est utile pour les modèles linéaires. 5 4.2 Moments Conditionnels et Inconditionnels Moments conditionnels et inconditionnels I • “Conditionnel” veut dire conditionnel sur toutes les variables pertinentes observ ées en t − 1, t − 2, . . .. • “Inconditionnel” veut dire marginal. • Les moyennes conditionnelle et inconditionnelle d’une séries stationnaire rt sont µt−1 ≡ Et−1 [rt ] et µ ≡ E[rt ]. • Variances conditionnelle et inconditionnelles de r t : 2 σt−1 ≡ Et−1 [(rt − µt−1 )2 ] et σ 2 ≡ E[(rt − µ)2 ]. • La stationnarité est suffisante pour la constance des moments inconditionnels. Moments conditionnels et inconditionnels II • Les “variables pertinentes” comprennent, au minimum, les valeurs pass ées de rt . • L’indice t indique que la quantité est connue en t. • Il existe une convention alternative où µt est la moyenne conditionnelle de rt • souvent volatilité veut dire variance conditionnelle. 4.3 Moments Statiques Moments de la population et de l’échantillon • Mettons que la série temporelle {rt } est stationnaire avec au moins quatre moments. • On observe l’échantillon r1 , . . . , rT . • Les moyennes de la population et de l’échantillon sont µ = E[rt ] et µ̂ = T −1 T X rt . t=1 • Les variances de la population et de l’échantillon sont 2 2 2 σ = E[(rt − µ) ] et σ̂ = T −1 T X t=1 (rt − µ̂)2 . Asymétrie et Aplatissement • L’asymétrie (skewness) de la population et de l’échantillon sont S[rt ] = E[(rt − µ)3 ]/σ 3 et Ŝ = (T σ̂ 3 )−1 T X (rt − µ̂)3 . t=1 • aplatissement (kurtosis) K[rt ] = E[(rt − µ)4 ]/σ 4 et K̂ = (T σ̂ 4 )−1 T X t=1 (rt − µ̂)4 . • L’asymétrie et l’aplatissement sont normalisé pour ne pas dépendre de la location et l’échelle de la distribution. 6 4.4 Moments Dynamiques Moments Dynamiques • Mettons que {rt } est covariance stationnaire. • La fonction d’autocovariance est γ(k) = cov[rt , rt+k ] = E[(rt − µ)(rt+k − µ)] γ̂(k) = T −1 T −k X t=1 (rt − µ̂)(rt+k − µ̂) • La fonction d’autocorrelation est ρ(k) = 4.5 γ(k) γ(k) = 2 γ(0) σ ρ̂(k) = γ̂(k) γ̂(0) Espérances Itérées Espérances Itérées • Soit X et Y des variables aléatoires. E[E[X|Y ]] = = = = Z Z Z Z Z Z xf (x|y) dx f (y) dy xf (x|y)f (y) dx dy Z x f (x, y) dy dx xf (x) dx = E[X] • En général, si B comprend plus d’information que A, E[X|A] = E[E[X|B]|A]. Espérances Itérées, Exemple Temporelle • Exemple temporel: E[rT +2 |rT , rT −1 , . . .] = E[E[rT +2 |rT +1 , rT , rT −1 , . . .]|rT , rT −1 , . . .] • Autrement dit, Et [rt+2 ] = Et [Et+1 [rt+2 ]]. 7