EXERCICE 2 : Une personne place, à intérêt simple au taux i, au

EXERCICE 2 :
Une personne place, à intérêt simple au taux i, au début de chaque mois, et à partir du 1er Janvier,
une somme constante s.
NB : les calculs seront effectués proportionnellement au nombre de mois de placement
a) De quelle somme totale, capitaux et intérêt réunis, disposera-t-elle le 31 Décembre de cette même
année ?
On se trouve dans le cas où des placements sont effectués tous les mois. Il faut donc calculer
l’intérêt généré par chaque placement. Les intérêts sont alors calculés à l’aide de la formule
Intérêt = Capital × Taux d’intérêt annuel × Durée du placement en années.
Le premier mois, la personne place la somme s pendant 12 mois au taux annuel i, elle génère donc
un intérêt sur l’année de
12
s×i× .
12
Le second mois, la somme s est de nouveau placée au taux annuel i mais pour une période de 11
mois cette fois, elle génère donc un intérêt sur l’année de
s×i×
11
.
12
Le troisième mois. . . , etc etc. . . , le dernier mois, la somme s est placée pour une durée de 1 mois au
taux i et génère alors un intérêt égal à
1
s×i× .
12
L’intérêt total est alors la somme de tous ces intérêts
s×i×
12
11
1
s×i
78s × i
13s × i
+s×i×
+ ··· + s × i ×
=
(12 + 11 + · · · + 1) =
=
.
12
12
12
12
12
2
De plus, à la fin du placement, la personne aura placé la même somme s durant 12 mois, son
capital est donc de 12 fois cette somme, i.e., 12s. La somme totale dont la personne disposera au 31
Décembre étant égale au capital de départ plus les intérêts générés, elle possédera donc
12s +
13s × i
.
2
b) De quelle somme totale disposerait-elle à la fin du nième mois (donc après n versement) ?
De la même manière, au nième mois, la personne aura placé n fois la somme s, i.e., n × s. Cette
fois-ci la durée du placement est de n mois, ce qui équivaut à n/12 années ; l’intérêt généré par le
premier placement de s euros vaut alors s×i×n/12, l’intérêt généré par le second : s×i×(n−1)/12,
etc, et le dernier placement génère un intérêt égal à s × i × 1/12. L’intérêt total vaut alors
s×i×
n−1
1
s×i
n
+s×i×
+ ··· + s × i ×
=
(n + (n − 1) + · · · + 1) .
12
12
12
12
Rappelons que la somme des entiers de 1 à n vaut
n + (n − 1) + · · · + 1 =
n(n + 1)
.
2
La somme totale que possède la personne à la fin du nième mois est donc
n×s+
s × i × n(n + 1)
.
24
c) Pour s = 2000 euros et i = 9%, répondre aux deux questions précédentes.
Avec ces données, la somme totale pour la question a) est alors
12s +
13s × i
13 × 2000 × 0.09
= 12 × 2000 +
= 25 170e,
2
2
et pour la question b)
2000n +
2000 × 0.09
× n(n + 1) = 2000n + 7, 5n(n + 1) = 7, 5n2 + 2007, 5n.
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d)En conservant ces mêmes données numériques, calculer la durée de l’opération qui conduirait à
une valeur acquise totale égale à 66 975 euros.
On cherche le nombre de mois qu’il faut attendre avant d’obtenir une valeur acquise V aq de
66975 euros. En revenant à la question b), la somme totale dont dispose la personne à la fin du
nième mois est 7, 5n2 + 2007, 5n, on cherche donc à résoudre l’équation
66975 = 2007, 5n + 7, 5n2 ;
que l’on peut réécrire sous la forme de l’équation du second degré suivante
7, 5n2 + 2007, 5n − 66975 = 0.
Pour la résoudre, on calcule son discriminant ∆ = (2007, 5)2 − 4 × 7, 5 × (−66975) = 6039306.25 et
les solutions sont alors
√
√
−2007, 5 − 6039306.25
−2007, 5 + 6039306.25
n1 =
≈ −297, 67 et n2 =
= 30.
2 × 7, 5
2 × 7, 5
Puisque qu’on cherche un nombre de mois, on ne garde que la solution positive, i.e., n2 . On peut
alors conclure que l’opération a duré 30 mois (i.e. 2 ans et demi).