RACINE DE PUISSANCE

RACINE DE PUISSANCE
Racine de puissance
Nous avons défini la racine mième d’un nombre algébrique A. Il peut se faire que
A soit lui-même la puissance pième d’un nombre a. On aura alors une écriture de
la forme :
m
A = map ,
qui peut être formé et même souvent simplifié, comme nous l’avons déjà montré
sur des cas particuliers :
a8 = a 4 ,
3
a6 = a 2 ……
Ces transformations résultent d’une propriété plus générale que nous allons
démontrer :
On ne modifie pas la valeur de la racine positive d’ordre m de la puissance
pième d’un nombre positif a, en multipliant ou en divisant l’indice m de la
racine et de l’exposant p de la puissance par un même entier n.
Appelons x la valeur de
m
a p et y la valeur de
x= map ,
nm
a np :
y = nm a np .
On en déduit x m = a p et y nm = a np, par application de la définition d’une racine.
On a aussi :
a np = (a p) n,
ce qui donne avec a p = x m :
a np = (a p) n = (x m) n = x nm.
Les deux nombres x nm et y nm, étant égaux à un même nombre a np, sont égaux.
Donc x et y sont égaux, ce qui permet de bien d’écrire :
m
a p = nm a np .
On passe bien de la première à la deuxième de ces deux expressions égales en
multipliant m et p par n, de la deuxième à la première en divisant nm et np par n.
Cas particulier.
Si p = 1, on a :
m
a=
nm
an .
Nota : On peut appliquer cette propriété aux nombres négatifs moyennant certaine
précaution. Ecrire par exemple :
4
a2 =
a , si
a < 0,
( a est dans ce cas imaginaire).
Réduction de radicaux au même indice
Considérons le rapport :
3 3 18
6
6 ,
Nous allons voir qu’il est avantageux de la mettre sous forme d’une seule racine.
Les indices des racines sont : 2, 3, et 6 ; le plus petit commun multiple étant 6, on
peut écrire :
3
3 = 6 33 ,
18 = 6 182 ,
et :
3 × 3 18
6
6
(
3
× 32 × 2
3
6
=
3× 2
)2
3
× 34 × 22
3
=
3× 2
6
= 6 33+ 4−1 × 2 = 6 36 × 2 = 6 36 ×
6
2 =3
6
2.
Puissance de racine
Elle se ramène à une racine de puissance. En effet, on peut écrire :
( a)
m
p
= m a ⋅ m a ⋅ m a ⋅⋅⋅⋅⋅ m a
= m a⋅a⋅a⋅⋅⋅⋅a = m a p .
Racine de racine
La racine pième d’un nombre A,
d’un nombre a :
pm
p
A , s’écrit, si A est lui-même la racine mième
a .
Propriété
La racine pième de la racine mième d’un nombre positif est égale à la racine
d’indice mp de ce nombre :
pm
a =
pm
a.
Pour démontrer ce théorème, désignons par x la valeur de
valeur de
pm
a et par y, la
pm
a . On a, par application de la définition d’une racine :
pm
a = x p , soit : a = (x p)m
On en déduit :
x pm = y pm,
ou :
pm
et :
a = y pm.
soit : x = y,
a =
pm
a
Si a est négatif, lorsque m et p sont des nombres impairs, cette formule est encore
valable.