Programmation mathematique pour un probleme a
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Programmation mathematique pour un probleme a
3e Conférence Francophone de MOdélisation et SIMulation “Conception, Analyse et Gestion des Systèmes Industriels” MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France) PROGRAMMATION MATHEMATIQUE POUR UN PROBLEME A MACHINES A VITESSES RELATIVES ET USAGES MULTIPLES E. NERON , A. ELOUNDOU et F. TERCINET Laboratoire d'Informatique - Equipe OC, Université de Tours, E3I - 64 av J. Portalis, F-37200 Tours Mél : [email protected] RESUME : Le problème abordé concerne l'ordonnancement de travaux agricoles dans des champs communautaires. Un champ est découpé en parcelles de tailles identiques, chaque parcelle devant subir trois opérations : le défrichage, le labourage et le semis. Nous montrons dans un premier temps que ce problème peut être appréhendé comme un problème d'ordonnancement à machines à vitesses relatives et à usages multiples. Pour ce problème nous proposons un modèle mathématique en nombres entiers, pour déterminer un ordonnancement réalisable de durée minimale. Puis nous présentons un modèle mathématique concernant une extension possible du problème. Enfin deux évaluation par défaut de la durée minimale de l'exécution des opérations ainsi que trois heuristiques sont proposées. Des résultats expérimentaux sur des jeux de tests tirés aléatoirement nous aiderons à déterminer les limites de cette approche, en particulier en la comparant à une méthode exacte de type Procédure par Séparation et Evaluation développée par ailleurs. MOTS-CLES : Machines à usages multiples, Vitesses relatives, Modèle mathématique. 1. INTRODUCTION Le problème abordé dans cet article est tiré d'un problème réel d'ordonnancement et d'affectation de travaux agricoles. Nous insistons ici sur le fait que ce problème comporte certaines suppositions quant à la répartition des travaux qui pourraient être discutées. Cependant, nous avons choisi de traiter le problème tel qu'il nous a été décrit par A. Eloundou (ingénieur E3I). Notre démarche consiste à proposer : • une formalisation mathématique du problème, et son identification comme un problème d'ordonnancement ; • un modèle mathématique pour ce problème initial. Il est à noter que ce modèle mathématique s'inspire largement du modèle de Manne (Manne, 1960) proposé pour le job-shop ; • un modèle mathématique pour les problèmes connexes que sont la minimisation du nombre de personnes employées et la mise en culture de plusieurs champs successivement ; • deux évaluations par défaut et trois heuristiques pour le problèmes initial. • une comparaison entre la résolution exacte de notre modèle mathématique et la résolution du problème par une méthode de type Procédure par Séparation et Evaluation développé par ailleurs (Néron et Tercinet, 2000). Dans le paragraphe 2, nous revenons sur la description formelle du problème du cultivateur et de ses extensions possibles. Nous proposons ensuite (cf. Section 3) un modèle mathématique pour la résolution exacte du problème initial. Chacune des extensions envisagées sera l'objet d'une modification du modèle initial. La section 4 est consacrée à la présentation des évaluations par défaut et des heuristiques mises en place pour le problème initial. Enfin nous présenterons brièvement (cf. Section 5) quelques résultats expérimentaux nous permettant de comparer notre modèle à une autre méthode exacte. 2. DESCRIPTION DU PROBLEME Le problème auquel nous nous intéressons nous a été soumis par A. Eloundou, à partir d'un problème réel d'ordonnancement de travaux agricoles dans des champs communautaires. Il s'agit de trouver une séquence et une affectation pour chacune des trois opérations que doivent subir les parcelles d'un même champs. Ces parcelles sont à priori identiques. Chacune de ces parcelles doit subir un défrichage, puis un labourage et enfin être semée. Nous considérons, qu'une seule personne effectue une opération sur une parcelle, que cette personne sera en charge de la totalité de l'opération et que cette opération ne devra pas être interrompue. De plus les ressources sont de deux types, i.e., des hommes et des femmes, et disponibles en nombres limités. Pour diverses raisons nous considérons que les opérations de défrichage ne peuvent être effectuées que par les hommes, nous considérons également que les opérations de semis sont entièrement exécutées par les femmes, seul le labourage peut être exécuté sans distinction par un homme ou par une femme. A chaque personne est associée une vitesse MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France) pour chaque type de tâche, i.e, le défrichage, le labourage et le semis. Aucune supposition sur les vitesses respectives des personnes n'est prise en compte. Nous présentons ci-dessous de manière formelle, les données de notre problème : • {Ji, i∈[1..n]} : l'ensemble des travaux, i.e, l'ensemble des parcelles ; • Oi,j : l'opération j∈[1..3] du travail i∈[1..n] ; • nH : le nombre d'hommes ; • nF : le nombre de femmes ; • pj : la durée de l'opération Oi,j, ∀ i∈[1..n] ; • Vl,j : la vitesse de la ressource l lorsqu'elle exécute l'opération Oi,j, ∀ i∈[1..n], ∀ l∈[1..nH+nF]. Défrichage Labourage Semis i-ème parcelle Hommes Femmes Avec des vitesses propres pour chacun des deux étages Avec des vitesses propres pour chacun des deux étages Figure 1. Exemple à 4 travaux Défrichage Labourage Semi Homme 1: t Vitesse : Défr. = 1; Lab = 1 Homme 2: Vitesse : Défr. = 2 ; Lab = 1 Femme 1: Vitesse : Lab. = 2 ; Semi = 1 Figure2. Exemple de solution (2 hommes, 1, femme) Ce problème a priori simple est fortement lié à un problème abordé par Dessouky et al. (Dessouky et al, 1998) et Verma et Dessouky (Verma et Dessouky, 1999) : le Flowshop Hybride à trois étages dont les pools de machines à chaque étage sont composés de machines à vitesses relatives, et dont les opérations d'un même étage ont toutes la même durée. Les auteurs ont démontré que ce problème est NP-difficile au sens fort, puis après avoir présenté des heuristiques basées principalement sur la règle Earliest Completion Time, ils proposent une méthode exacte de résolution de type Procédure par Séparation et Evaluation. Notons que notre problème bien que très proche du FH3(Qm)|pi,j= pj|Cmax, semble sensiblement plus dur à résoudre puisque les ressources sont utilisées à plusieurs étages. Dès lors, la relaxation du problème à l'un de ses étages en vue d'obtenir un problème à machines à vitesses relatives sera de moins bonne qualité. En effet dans notre cas il se peut que les ressources soit partiellement indisponibles en fonction des opérations des autres étages qui leur auront été affectées. Pour modéliser notre problème nous avons utilisé la notion de machines à usages multiples, présentée en particulier par Jurish (Jurish, 1992) et Brucker (Brucker, 1998). Leurs travaux ont pour une large part portés sur des problèmes d'atelier comportant des machines à usage multiples. Les auteurs considèrent qu'à un même étage plusieurs types de machines sont disponibles pour effectuer les opérations. Ils ne prennent pas en compte le cas où ces machines peuvent intervenir à plusieurs étages. De fait pour définir notre problème la notion d'étage même, correspondant à un sous-ensemble de machines propres, nous semble peu adaptée. Nous avons choisi de modéliser ce problème comme un problème à machines à usages multiples et à vitesses relatives, dont les opérations de durée identique à un même ``étage'', sont reliées par des contraintes de précédence de type chaîne. QMPM | chains, pi,j = pj |Cmax Ce problème initial peut être complété par : • des contraintes liant les opérations à effectuer sur une même parcelle. Les opérations de labourage ne peuvent pas commencer trop longtemps après la fin du défrichage sous peine de voir une partie du défrichage remis en cause. La même contrainte peut être définie entre le labourage et le semis. Ces contraintes dites de "non repousse'' peuvent être modélisées sous la forme de time-lags maximaux entre les opérations successives d'un même job ; • outre la minimisation du temps de travail, nous pouvons être intéressés une fois le Cmax fixé par la minimisation du nombre de personnes employées ; • nous envisageons également le cas où plusieurs champs doivent être mis en culture successivement par la même équipe de personnes. Il est intéressant de noter que le problème initial rentre dans le cadre théorique proposé par Dauzère-Pérès et al., (Dauzère-Pérès et al., 1998), pour la résolution de problème d'atelier à ressource flexible. Pour cette formulation les auteurs proposent une formulation basée sur un graphe disjonctif. Ils proposent une méthode de recherche locale de type taboue., dont les résultats expérimentaux prouvent qu'elle est globalement performante sur ce type de problème. Notre intérêt pour la résolution exacte de ce problème se justifie par de la taille des instances que nous aurons à traiter. En effet, d'un point de vue pratique, le nombre de personnes impliquées (de l'ordre de 5 personnes) dans la culture d'un champs ainsi que le nombre de parcelles issues du découpage d'un champ (de 8 à 10 parcelles), nous laissent espérer la possibilité de résoudre exactement le problème soit par des techniques de programmation mathématique classiques (cf. Section 3), soit par une méthode exacte de type Procédure par MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France) Séparation et Evaluation proposée par ailleurs (Néron et Tercinet, 2000) • une opération n'est exécutée que sur une seule ressource parmi celles possibles : N Suite à cette présentation du problème, nous exposons les modèles mathématiques utilisés. 3. Formulation pour le problème initial Nous utilisons ici une forme légèrement modifiée des données initiales, permettant d'exprimer simplement la restriction concernant les affectations du défrichage au premier type de ressource, i.e. les hommes et l'affectation du semis uniquement sur les ressources de second type, i.e, les femmes. De plus nous utilisons ici directement la durée d'une opération qui est connue a priori pour une affectation donnée. • pj : la durée de l'opération Oi,j, ∀ i∈[1..n] ; • Mj : le sous-ensemble de ressources pouvant exécuter Oi,j, ∀ i∈[1..n] ; • Vl,j : la vitesse de la ressource l, ∀ l∈[1..nbH+nbF] pour exécuter Oi,j, ∀ i∈[1..n] ; • pi,j,l : la durée de l'opération Oi,j, ∀ i∈[1..n] si elle est exécutée par la ressource l, ∀ l∈ [1..nbH+nbF] : pi,j,l = pj / Vl,j. Notons que l'utilisation de pi,j,l, permet d'étendre ce modèle au cas où les parcelles ne sont plus toutes identiques : la définition de pi,j,l sera différente mais son rôle dans les contraintes exprimées ci-dessous sera le même. Les variables de notre programme linéaire sont de trois types : • des variables bivalentes d'affectation xi,j,l : ∀ i∈[1..n], ∀ j∈[1..3], ∀ l∈[1.. nH + nF], xi,j,l = 1 si Oi,j est exécutée par la personne l ; • des variables bivalentes de précédence yac,,bd : ∀ a,c ∈ [1..n], ∀ b,d ∈ [1..3] yac,,bd = 1 si Oa,b est exécutée • avant Oc,d ; des variables réelles de date début ti,j : ∀ i∈[1..n], ∀ j∈[1..3], ti,j est la date de début de l'opération Oi,j. Notons que dans le cas général ces dates de début peuvent être rationnelles si les durées initiales et les vitesses sont entières. Dans ce cas, sans perte de généralité, nous pouvons nous ramener à des durées d'exécution des opérations entières. Nous définissons maintenant les contraintes de notre modèle mathématique : ∀i ∈ [1..n], ∀j ∈ [1..3] (1) l∈M j • FORMULATION MATHEMATIQUE Nous présentons dans un premier temps le modèle associé au problème tel qu'il vient d'être exposé (paragraphe 3.1). Dans un second temps nous proposons un modèle pour chacune de ses extensions (paragraphe 3.2). Signalons dès à présent que nos résultats expérimentaux portent principalement sur la résolution du problème initial. 3.1 ∑ xi, j,l = 1, une opération ne peut pas être effectuée par une ressource "interdite". Notons que si les xi,j,l ne sont définis que pour l∈Mj, cette contrainte n'a lors plus lieu d'être : N ∑ xi, j,l = 0, ∀i ∈ [1..n], ∀j ∈ [1..3] (2) l∉M j • une opération ne peut débuter que si son prédécesseur est terminé : ta,b +1 ≥ ta,b + ∑ xa,b,l × pa,b,l, ∀a ∈ [1..n], b ∈ [1..2] (3) l∈M b • une ressource ne peut exécuter qu'une seule opération à la fois : Soit HV une constante arbitrairement grande ta,b ≥ tc, d + pc, d,l − HV × yca,,db − HV × ∑ xa,b, l' + ∑ xc, d,l' l'∈M b, l' ≠ l l'∈M b,l'≠ l ∀a ∈ [1..n], ∀b ∈ [1..2] (4) tc,d ≥ ta,b + pa,b,l − HV × ( yca,,db −1)− HV × ∑ xa,b,l' + ∑ xc,d,l' l'∈Mb,l'≠l l'∈Mb,l'≠l ∀a ∈ [1..n], ∀b ∈ [1..2] (5) • une opération ne peut se succéder : yaa,,bb = 0, ∀a ∈ [1..n], ∀b ∈ [1..3] (6) • tout couple d'opérations est "ordonné" : yac,,bd + yca,,db = 1, ∀a, c ∈ [1..n], ∀b, d ∈ [1..3] (7) • Notre fonction objectif consiste en la minimisation de la date de fin de la dernière opération effectuée : (8) Min Cmax t.q. Cmax ≥ ti,3 + ∑ xi,3, l × pi,3,l l ∈M 3 3.2 Extensions possibles L'extension la plus simple du problème consiste à prendre en compte les contraintes de "non repousse" : après le défrichage, la parcelle doit être mise en labourage "assez rapidement". Cette contrainte s'applique également entre le labourage et le semis. Le temps autorisé au maximum entre le défrichage et le labourage d'une même parcelle nous est donné (δ1,2), ainsi que le temps autorisé au maximum entre le labourage et le semis d'une même parcelle (δ2,3) ta,b +1 ≤ ta,b + ∑ xa,b,l × pa,b,l + δ b,b +1, l∈M b (9) ∀a ∈ [1..n], ∀b ∈ [1..2] Ce modèle peut également être étendu à la résolution d'un problème connexe de minimisation du nombre de ressources utilisées. Nous considérons ici que la durée allouée pour la mise en culture d'un champ est fixée : Cmax*. Nous cherchons dans ce cas à minimiser le nombre de personnes travaillant à la mise en culture du champ tout en respectant la durée imposée. Des poids sur les ressources utilisées symbolisant la préférence du MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France) décideur à laisser une personne au repos par rapport à une autre, peuvent être introduits. Les données à ajouter pour la résolution de ce nouveau problème sont : • Cmax* : la date de fin au plus tard imposée, • wl le poids associé à la ressource l, ∀l∈[1..nH +nF] Les variables du programme initial sont gardées. Une variable bivalente supplémentaire est utilisée : zl, ∀ l∈[1..nH+nF] vaut 1 si la ressource l a au moins une tâche à effectuer. Les contraintes (1) à (7) sont conservées. Deux nouvelles contraintes doivent être ajoutées. La première (équation 10) est relative au variables zl, pour que celles-ci valent 1 si au moins une opération est effectuée par la ressource l. La seconde (équation 11) force les opérations à finir avant la date de fin au plus tard imposée. zl ≥ xi, j,l , ∀i ∈ [1..n], ∀j ∈ [1..3], ∀l ∈ [1..nH + nF] (10) Cmax* ≥ ti,3 + ∑ xi,3,l × pi,3,l (11) l ∈M 3 La nouvelle fonction objectif est : min ∑ wl × zl l∈[1..nH + nF] (12) La dernière extension que nous présentons concerne la résolution d'un problème où K champs doivent être mis en culture successivement, par la même équipe de personnes. Sous l'hypothèse assez forte, mais réaliste, qu'une personne une fois affectée au champs k+1 n'est plus disponible pour le champs k alors ce problème peut être réduit à des résolutions successives du modèle initial, en introduisant pour chaque personne une date de disponibilité, notée Rl. Cette date correspond à l'instant à partir duquel la personne peut intervenir dans le champ considéré. Des temps de transport d'un champs à l'autre éventuellement dépendants des personnes peuvent alors être pris en considération (βk,l, ∀ l∈[1..nH+nF], ∀k∈[1..K-1]). La contrainte (13) doit être ajoutée au problème initial (1 à 8). ti,1 ≥ ∑ xi,1,l × Rl , ∀i ∈ [1..n] (13) l∈M 1 La démarche pour résoudre les k champs en séquence est succinctement présentée ci-dessous. Ci,j est la date de fin de Oi,j : 1. Rl ←0 ∀ l∈[1..nH+nF], k ←0 2. k ← k + 1 3. résoudre le problème donné par les équations (1-8) et (13) 4. Calculer pour chaque ressource l la date de fin de la dernière tâche qui lui a été affectée. Ajouter à cette date éventuellement le temps de transport nécessaire pour aller du champ k au champ k+1. Poser cette nouvelle date comme date de disponibilité machine (R l←max(i,j)(Ci,j xi,j,l) + βk,l). 5. si k ≤ K Aller en 2. Le principal avantage de cette approche réside dans le fait que les champs étant traités en séquence, le programme linéaire permettant la résolution d'un champ est quasiment identique à celui présenté précédemment. Le temps de recherche d'une solution pour un problème à plusieurs champs sera alors la somme des temps de résolution du problème issu de chaque champ. 4. HEURISTIQUES ET BORNES INFERIEURES Les méthodes que nous décrivons ici sont utilisées pour fournir un encadrement de la valeur optimale de la date de fin de l'ordonnancement. Ces méthodes nous permettront également (cf. Section 5) d'estimer la difficulté des instances générées . 4.1 Trois heuristiques pour le QMPM|pi,j=pj|Cmax Les heuristiques que nous présentons sont des adaptations de celles utilisées par Dessouky et al (Dessouky et al, 1999) pour la résolution du Flowshop Hybride à machines à vitesses relatives. Les deux premières sont basées sur la règle d'affectation Earliest Completion Time qui affecte l'opération à ordonnancer sur la machine permettant de la finir au plus tôt. Deux variantes sont proposées, la première affecte les opérations d'un même étage les unes après les autres en respectant la règle ECT, avant de passer à l'étage suivant (ECT-Etage). Dans l'algorithme suivant Rl désigne la date de disponibilité de la machine l, celle-ci est mise à jour à chaque fois qu'une opération est placée sur cette machine. mi,j désigne la machine sur laquelle est affectée l'opération Oi,j. ri,j, désigne la date de début au plus tôt de Oi,j. Algorithme ECT-Etage Pour j = 1..3 Pour i = 1..n m ← argminh∈Mj(max(Rh, ri,j) + pj / Vl,j) mi,k ← m ti,j ← max(Rm, ri,k) Rm ← ti,k + pk / Vm,k Si j < 3 ri,j+1 ← ti,j + pk / Vm,k Fin Si Fin Pour Fin Pour La seconde variante utilisant la règle d'affectation ECT parcourt les opérations travail par travail en les affectant sur la machine déterminée par le règle ECT (ECTTravail). Par rapport à l'algorithme ECT-Etage seul l'ordre des deux boucles principales est inversé. La troisième heuristique utilisée repose sur la règle Latest Starting Time. Les étages sont parcourus du dernier au premier, les tâches sont affectées sur la machine qui permet de les commencer au plus tard. Une MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France) fois toutes les opérations affectées, celles-ci sont décalées à gauche de telle sorte que l'affectation sur chacune des machines et l'ordre établi sur les machines soient respectés. Comme nous le verrons par la suite (cf. section 5.2) ces heuristiques "simplistes" permettent dans certains cas d'obtenir de très bons résultats. Cependant leur comportement "moyen" reste à établir. 4.2 Deux évaluations par défaut Cette seconde évaluation par défaut est constructive, c'est à dire qu'elle est basée sur un algorithme de placement d'opération, en lieu et place d'une fonction analytique. Les tâches du premier étage sont ordonnancées en respectant la règle ECT. Les opérations donnant la date de fin de l'ordonnancement à cet étage sont ordonnancées sur le deuxième étage en respectant leur date de disponibilité sur la machine donnée par ECT. Il en est de même pour le dernier étage. La figure ci-dessous (figure 3) illustre cette construction, pour un problème à 6 travaux et 3 personnes. Le première évaluation par défaut que nous utilisons est une adaptation du critère G'(J) (Carlier, 1984), également appelé Sub-Set Bound, au cas où les machines ont des vitesses relatives. Cette borne se base sur un problème à m machines uniformes, qui est construit à partir de la relaxation du problème initial à chacun de ses centres. Dans les expressions suivantes qi,j est la durée de latence associée à l'opération Oi,j. En fait nous supposons successivement qu'exactement m'<m machines sont chargées dans ce cas, les m' plus petites dates de disponibilité (notées ri1,j ,…rim',j ) et les m' plus petites durées de latence (notées qk1,j ,…qkm',j ) peuvent être utilisées. Défrichage Homme 1: Vitesse : Défr. = 1; Homme 2: Vitesse : Défr. = 2 ; Labourage Homme 1: Vitesse : Lab = 1 Homme 2: Vitesse : Lab = 1 Femme 1: LB = max j∈[1..3] LBj Vitesse : Lab. = 2 LBj = min m'∈[1..m] LBj[m'] Semis ∑ (qk , j + ri , j )× Vh, j + n × pk LB j[m' ] = h =1..m' ∑ Vh, j h Femme 1: Vitesse : Semi = 1 t h Evaluation par défaut h =1..m' Figure 3. Construction de la seconde borne inférieure Un des inconvénients de cette évaluation par défaut est qu'elle est calculée à partir des dates de début au plus tôt et des durées de latence des opérations, qui dans le cas de machines à vitesses relatives peuvent être estimées en supposant que les opérations sont exécutées sur la machine la plus rapide. Nous proposons une seconde évaluation par défaut pour pallier cet inconvénient, c'està-dire pour estimer plus précisément les durées de latence des opérations. 5. RESULTATS EXPERIMENTAUX Comme nous l'avons précisé précédemment seul le modèle initial a fait l'objet d'une évaluation précise de ses performances. Les tests présentés ci-dessous (Tableau 1) ont été effectués sur des jeux de données générés aléatoirement Mod. Math Nb parcelles Nb Ressources Vitesse Nb opt Tps Heuristiques – LB Nb opt PSE Nb opt Tps 5 3 [1..3] 6 98 s 3 9 130 s 5 5 [1..3] 8 19 s 4 4 0s 8 3 [1..3] 1 340 s 5 5 0s 8 5 [1..3] 2 300 s 3 Tableau 1. Résultats comparés sur 40 jeux de données 3 0s MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France) Le tableau 1 présente les résultats que nous avons obtenus sur 40 jeux de données. Les trois méthodes citées sont : • le modèle mathématique initial tel qu'il est présenté Section 3, dont le temps de recherche a été limité à 600s • les heuristiques et les bornes inférieures présentées Section 5, • une méthode exacte de type Procédure par Séparation et Evaluation, reprenant les heuristiques et les évaluations par défaut décrites, (Néron et Tercinet, 2000), dont le temps de recherche a été limité à 600s. Les résultats que nous présentons ont été tous été obtenus sur un PII500 avec CPLEX 6.0. Les instances comportent 5 ou 8 travaux et 3 ou 5 personnes. Les résultats que nous présentons ont été obtenus pour des vitesses variant entre 1 et 3. Chaque famille comporte 10 instances. Sont reportés dans ce tableau : • la taille des jeux de tests (Nb parcelles et Nb ressources) ; • L'intervalle dans lequel les vitesses sont tirées selon une loi uniforme ; • Pour le modèle mathématique : le nombre d'instances résolues optimalement (sur 10) et le temps moyen nécessaire à la résolution de ces instance ; • Pour les heuristiques et les bornes inférieures : le nombre de fois ou le problème est résolu de manière optimale (max (LB) = min (UB)) ; • Pour la PSE : le nombre d'instances résolues optimalement (sur 10) et le temps moyen nécessaire à la résolution de ces instances. Ces résultats ont été obtenus sur un nombre d'instances limité (40) . Cependant les instances de plus grande taille n'ont pu être résolues optimalement par l'une ou l'autre des méthodes. Certaine conclusions préliminaires peuvent être tirées : • seules des instances de petites taille peuvent être résolues optimalement par nos méthodes en un temps raisonnable. (maximum 8 travaux) • sur les petites instances la PSE semble plus efficace que le modèle mathématique surtout si le nombre de ressources à considérer est faible, • le fonctionnement de la PSE est largement conditionné par les résultats des heuristiques, • Les heuristiques et les bornes inférieures permettent de trouver la valeur optimale de l'ordonnancement dans un nombre de cas significatifs, • Il est intéressant de constater que PSE et modèle mathématique se complètent : le modèle mathématique semble plus performant sur les instances où le nombre de ressources est important (le problème est alors moins contraint). Pour la PSE le nombre de fils crées dépend directement du nombre de ressources du problème (Néron et Tercinet, 2000), ce qui la rend moins efficace lorsque le nombre de personnes à considérer augmente. Ces résultats pourront être complétés ultérieurement par une analyse plus fine du comportement de chacune des méthodes. Nous pouvons même envisager l'utilisation directe du modèle mathématique au cours de l'exécution de la PSE, pour permettre le calcul d'une évaluation par excès lorsqu'un certain nombre de tâches sont placées. En revanche la structure même du programme linéaire (Présence des HV) nous laisse penser que sa relaxation en programme linéaire simple donnera des résultats assez médiocres en comparaison des évaluations par défauts que nous avons présentées. 5. CONCLUSION Le but de cet article est d'une part de présenter le problème du cultivateur et ses extensions, et d'autre part de proposer pour ce problème un modèle mathématique pour sa résolution exacte. Dans un premier temps, nous nous sommes attachés à la description de ce problème d'ordonnancement, issu d'un problème réel. Nous avons extrait un problème initial, autour duquel nous avons envisagé quelques extensions. Par la suite, nous avons proposé un modèle mathématique pour le problème initial, et pour certaines de ses extensions, e.g., la minimisation du nombre de personnes employées, l'enchaînement en séquence de plusieurs champs. Nous avons également proposé des heuristiques simples et deux évaluations par défaut pour ce problème. Les premiers résultats expérimentaux que nous avons obtenus sur des jeux de données tirés aléatoirement, ainsi que la comparaison avec une autre méthode de résolution exacte, nous permettent d'évaluer le comportement de chacune des méthodes : ces méthodes peuvent être utiles pour des instances de petite taille, d'autre méthodes devront être utilisées si le nombre de parcelles à considérer est plus important. Il est cependant intéressant de constater que les deux méthodes exactes employées semblent complémentaires lorsque le nombre de personnes impliquées dans le problème augmente. REMERCIEMENTS Nous tenons à remercier les relecteurs pour leur remarques constructives, et pour les références bibliographiques qu'ils nous ont fournies. MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France) REFERENCES Dessouky M., Dessouky M. and Verma S., 1999. Flowshop scheduling with identical jobs and uniform parallel machines. European Journal of Operational Research (109), p. 620-631. Dauzère-Pérès A., Roux W. et Lasserre J.B. 1998. Multiresource shop scheduling with resource flexibility, European Journal of Operational Research (107) p. 289-305. Brucker P., 1998. Scheduling algorithms. Springer. Calier J., 1984. Problème d'Ordonnancement à contraintes de ressources : algorithmes et complexité, Thèse d'Etat. Jurisch B., 1992. Scheduling jobs in shops with multipurpose machines. PhD Dissertation, Osnabrueck. Manne A.S., 1960. On the job-shop scheduling problem. Operations Research, (8). Néron E. et Tercinet F., 2000. An exact method for a farming problem. 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