Etude de Circuits avec les lois de Kirchhoff Ponts diviseurs de

Supplément EXERCICES – EC1 – Circuit Electrique en Régime Stationnaire – Part1
Etude de Circuits avec les lois de Kirchhoff
d) Déterminer U2 et U3 en fonction de E1, E2, R1, R2, R3 et R4
(Attention, peut-on utiliser le pont diviseur de tension ?)
R1
Exercice 1 : Loi des noeuds
Déterminer la valeur de I4 sur tous les schémas suivants :
I1 = 2A
I1 = 2A
I0 = 5A
Exercice 4 : Ponts Diviseurs de Tension
I3 = 4A
E
I3 = 4A
Exprimer U1 et U2 en fonction de e et des résistances :
I4
F
I1 = 2A
I4
E2
Ponts diviseurs de tension et de courant
I4
D
I2 = -1A
R3
E1
I2 = 1A C
I4
I1 = 3A
U3
I3 = 2A
B
I2 = 1A
U2
I1 = 2A
I3 = 4A
I4
I2 = 1A A
R4
R2
I2=-3A
R1
U1
R2
U2
R1
U1
R2
U2
e
R1
U1
e
R2
R
U2
Exercice 2 : Loi des mailles
Calculer les valeurs des tensions U2 :
U2
D2
U1 =
7V
r
U2
e
D2
U1 =
7V
D1
D3
D1
D4
U5 = 1V
D3
D5
D2
U2
D1
Montage à vide
U1 = 3V
E
R
R
E
RS
Us
b) Déterminer I et U
R1
I1
R
U2
Montage en charge
Us
Exercice 3 : Etude de quelques circuits
a) Déterminer I et I1
R2
Æ Exprimer la valeur de Us sur le montage à vide en fonction
de E, R et de α, la position du potentiomètre
Æ Tracer la courbe de Us en fonction de α. Que dire ?
Æ Faire de même sur le montage en charge (avec RS en plus)
Æ Tracer la nouvelle courbe de Us en fonction de α. Qu’est-ce
qui a changé ?
U3 = -2V
D4
e
U1
Exercice 5 : Montage potentiométrique
U4 = 2V
U4 = 2V
R1
U3 =
-1V
D3
U3=4V
r
U
R1
Exercice 6 : Pont de Wheatstone
R3
R2
I
I
Æ Déterminer la tension U en fonction de E, R1, R2, R3 et R4
Æ En déduire une condition sur R1, R2, R3 et R4 pour que U = 0
R2
R1
R3
E
I
20R
E
R2
E
c) Déterminer les expressions de I, U, I1 et I2
R
U
2R
I1
4R
R4
I2
12R
U
R3
E
Exercice 7 : Pont diviseur de Courant
Exercice 11 : Caractéristiques de résistance
Æ Exprimer d’abord I1 et I2 en fonction de I et des résistances,
puis en fonction de e et des résistances :
I
I1
I
I2
I1
I2
R1
R2
U (en V)
I (en mA)
e
e
R1
R2
On mesure la caractéristique d’un résistor de résistance R
inconnue (tension U et intensité I) :
R3
0
0
3,24
0,5
4,09
0,7
5,35
1
5,97
1,1
7,19
1,4
9,46
1,8
Æ Représenter la caractéristique U=f(I) de la résistance
Æ Calculer la valeur de R à partir de la courbe tracée
Exercice 12 : Caractéristiques d’un générateur
I
r
e
I1
I2
R1
R2
I
r
e
I1
I2
R1
R2
On mesure la caractéristique d’un générateur :
I (en mA)
U (en V)
R3
0
24
5
23,5
10
23
15
22.5
20
22
25
21.5
30
21
Æ Représenter la caractéristique U=f(I) du générateur
Æ Trouver l’équation du générateur et le modéliser
Exercice 13 : Caractéristiques de résistances
Résistances équivalentes
On dispose d’une résistance R1 de 1kΩ et d’une résistance R2
de 2kΩ, que l’on peut disposer en série ou en parallèle.
Exercice 8 : Résistances équivalentes
Æ Tracer la caractéristique de ces deux résistances (pour U
variant entre 0 et 10V)
Æ Trouver les expressions des résistances équivalentes
R1
R1
R2
R1
R1
R
Æ Comment obtient-on graphiquement la caractéristique de
l’association en série R1+ R2 ? Vérifier la pente de la courbe.
R2
R
Æ Comment obtient-on graphiquement la caractéristique de
l’association parallèle R1//R2 ? Vérifier la pente de la courbe.
R3
R1
R2
R4
R1
R3
R2
Petites questions de bon sens
R4
R2
Exercice 14 : Luminosité de lampes
R4
R
Dans les montages suivants, composés de lampes
identiques, comparez leur luminosité à l’intérieur de chacun
des circuits.
Indications :
Æ la luminosité d’une lampe est d’autant plus importante que
l’intensité du courant qui la traverse est grande
Æ On pourra considérer en première approximation que les
lampes se comportent comme des résistances.
R4
12Ω
R
4Ω
10Ω
6Ω
15Ω
R
R
Exercice 9 : Résistances équivalentes
On dispose de 6 résistances identiques de 200Ω. Comment
faut-il les brancher pour obtenir une résistance équivalente :
Æ 1,2kΩ
Æ 300Ω
Æ 150Ω
A1
R
E
Caractéristiques de Résistances
5
2.2
10
4.5
15
7.0
20
9.0
A2
A2
A1 A2
A5
E
On mesure la caractéristique d’un résistor de résistance R
inconnue (tension U et intensité I) :
0
0.0
E2
E1
E
Exercice 10 : Caractéristiques de résistance
U (en V)
I (en mA)
A1
25
11.4
30
13.7
Æ Représenter la caractéristique U=f(I) de la résistance
Æ Calculer la valeur de R à partir de la courbe tracée
A1
E
A2
A3
A1
A4
A3
A2
SOLUTION des EXERCICES – EC1
Exercice 3.1 : Caractéristique d’une résistance
TD EC1 – Régime Permanent
Exercice 1.1 : Loi des Nœuds
⎧I 0 = I 1 + I 2
⎧I 2 = 3 A
⎧I 6 = I 0
⎪
⎪
⎪
Loi des nœuds :
,
et
⎨I 4 = I 2 + I 5 ⇒ ⎨I 5 = −1A ⎨I 7 = I 5
⎪I = I + I
⎪I = −2A ⎪I = −I
1
⎩5 1 3
⎩ 8
⎩ 3
L’indication I 4 = 2 A signifie qu’à chaque seconde, il y a
N=
2 ×1
Q I 4 ⋅T
=
=
= 1,25.10+19 électrons qui traversent D4.
e
e
1,6.10−19
Exercice 1.2 : Loi des Mailles
⎧U 1 +U 2 = U 5
⎧U 4 = − 6V
Loi des mailles : ⎪U +U = U , ⇒ ⎪U = − 1V
⎨ 3
⎨ 5
4
5
⎪U = U +U
⎪U = − 5V
4
6
⎩ 2
⎩ 1
L’indication
U 6 = 10V
signifie qu’il y a une différence de
Exercice 1.3 : Etude de Circuits
E
E
⎧
(Req à l'ensemble)
⎪I = R + R / /R =
R1R2
(
3
1
2)
⎪
+
R
a) ⎪
3
R1 + R2
⎨
⎪
R2
R2
I=
E (Diviseur de Courant)
⎪I 1 =
R
R
R
R
+
+
⎪⎩
1
2
3 ( 1 R2 ) + R1R2
b) Avec un double pont diviseur de tension :
r3
r3 + r 2
×
( r3 + r2 ) / / r1 E
( ( r3 + r2 ) / / r1 ) + r4
E1 + E 2
6R
et
I1 =
2E 1 − E 2
6R
Exercice 2 : Ponts Diviseurs
R1
⎧
U1 =
E
a) Diviseurs de tension en n’oubliant pas r : ⎪
R1 + R2 + r
⎪
⎨
R2
⎪U =
E
⎪⎩ 2 R1 + R2 + r
R2
⎧
b) Æ Avec I ' =I1 +I2, Diviseurs de courant : (1) ⎪⎪I 1 = R + R I '
1
2
⎨
R
1
I'
(2) ⎪I 2 =
⎪⎩
R1 + R2
On divise (1) , ce qui donne I = R2 I
1
2
R1
On aurait pu directement trouver R1I 1 = R2I 2 = U R = U R …
(2)
1
2
R3
Æ Soit I = R2 I ' = R2 ×
I (2 ponts diviseurs)
1
R1 + R2
R1 + R2 R3 + ( R1 / /R2 )
Soit directement I =
1
Æ Tracer la courbe / Prendre 2 points SUR LA COURBE
Æ Calculer l’équation de la droite passant par ces 2 points
Æ Ordonnée à l’origine =12V=fém du générateur
Æ Coefficient directeur r ≈ 200Ω
( R2 / /R3 ) I , ce qui revient au même
R1 + ( R2 / /R3 )
Exercice 1 : Loi des Nœuds
⎧I 4 = I 2 − I 1 = −1A
⎪
⎪I 4 = I 1 + I 2 − I 3 = −1A
Toutes les lois des nœuds : ⎪I = −I − I − I = −5A
⎨4
1
2
3
⎪I = I + I − I = 8A
⎪4 1 3 2
⎪⎩I 4 = I 3 − I 2 + ( I 1 − I 0 ) = 4A
Exercice 2 : Loi des Mailles
⎧U 2 = −U 1 −U 3 = −11V
Toutes les lois des mailles : ⎪
⎨U 2 =U 1 +U 3 −U 4 = 4V
⎪U =U +U +U −U = 2V
1
3
4
5
⎩ 2
Exercice 3 : Etude de quelques circuits
E
E
⎧
(Req à l'ensemble)
⎪I = R + R / /R =
R1R2
(
)
3
1
2
⎪
R3 +
a) ⎪
R1 + R2
⎨
⎪
R2
R2
I=
E (Diviseur de Courant)
⎪I 1 =
R1 + R2
R3 ( R1 + R2 ) + R1R2
⎪⎩
⎧E 1 − 2RI 1 = 2RI 2
c) Lois de Kirchhoff : ⎪E − 2RI = 2RI (3 éq, 3 inconnues)
⎨ 2
3
2
⎪I + I = I
2
⎩ 1 3
⇒ I2 =
Exercice 3.2 : Caractéristique d’un générateur linéaire
Supplément EXERCICES – EC1
potentiel de 10V entre les deux bornes du dipôle.
U =
Æ Tracer la courbe / Prendre 2 points SUR LA COURBE
Æ Calculer l’équation de la droite passant par ces 2 points
Æ Ordonnée à l’origine ≈ 0 et Coef directeur R ≈ 2,2kΩ
E
E
⎧
(Req à l'ensemble)
⎪I = R / / R + R = R R + R
(
2( 1
3)
2
1
3)
⎪
b) ⎪
R2 + ( R1 + R3 )
⎨
⎪
R3
⎪U =
E (Diviseur de Tension - R2 n'influe pas)
R1 + R3
⎪⎩
E
E
⎧
⎪I = R + ⎡20R / / 2R + 4R / /12R ⎤ = 5R (Req à l'ensemble)
(
)⎦
⎣
⎪
⎪
⎡20R / / ( 2R + 4R / /12R ) ⎤⎦
4R / /12R
⎪U = ⎣
×
E
⎪
c)
R + ⎡⎣20R / / ( 2R + 4R / /12R ) ⎤⎦ 2R + 4R / /12R
⎪
4R 3R
12
⎪
⇒U =
× E = E = 0,48E (Double Diviseur)
⎨
5
5
25
R
R
⎪
1 12
3E 0,12E
U
⎪
⎪I 1 = 4R = 4R × 25 E = 25R = R
⎪
⎪I = U = 1 × 12 E = E = 0,04E
⎪ 2 12R 12R 25
R
25R
⎪
⎩
d) On note I le courant dans la branche du milieu. On a
nécessairement I = 0 d’après la loi des nœuds, puisque le
courant qui sort est égal au courant qui rentre dans chacun des
générateurs. Les deux circuits sont donc indépendants et on
peut appliquer le pont diviseur de tension (comme si les
résistances étaient en série…)
Ainsi : U =
2
R2
E
R1 + R2 1
et U =
3
Exercice 9 : Résistances équivalentes
R3
E
R3 + R4 2
R
⎧
U1 = 1 e
b) ⎪
R1 + R2
⎪
⎨
⎪U = R2 e
⎪⎩ 2 R1 + R2
R1
⎧
⎪U 1 = R + R + r e
c) ⎪
1
2
⎨
R2
⎪U =
e
⎪⎩ 2 R1 + R 2 + r
R1
⎧
U1 =
e
d) ⎪
R1 + R 2 + r , idem…
⎪
⎨
R2
⎪U =
e
⎪⎩ 2 R1 + R 2 + r
= ... =
Æ Association série : on a U=U1+U2, donc on additionne les droites
point par point suivant les ordonnées (U). Par exemple pour I
= 5mA, U=U1+U2=5V+10V=15V et ainsi de suite, La droite
obtenue est plus pentue, ce qui correspond à un coefficient
directeur R=R1+R2= Req. C’est logique !!!
Æ Association parallèle : on a I=I1+I2, donc on additionne les
droites point par point suivant les abscisses (I). Par exemple
pour U = 5V, I=I1+I2=5mA+2,5mA=7,5mA et ainsi de suite, La
droite obtenue est moins pentue, ce qui correspond à un
coefficient directeur R = R / / R = R1R 2 = 2 Ω . C’est
1
2
eq
⎧
( R2 / / R3 ) I
⎪I =
b) ⎪ 1 R1 + ( R 2 / / R 3 ) (Attention)
⎨
⎪ I = ( R1 / / R 3 ) I
⎪ 2 R + (R / /R )
2
1
3
⎩
c) et d) L’ajout de r ne change pas les expressions, mais juste la
valeur de I, qui n’intervient pas ici…
R1 + R 2
R2 ( R3 + R 4 )
R 2 + R3 + R 4
R
R
2
g)
= R
Req = 2R / / =
= R1 + R 4 +
2
1
2+
2
5
⎝
Exercice 14 : Luminosité de lampes
a) I égal dans la branche
Î Même luminosité
⎠
R2R4
R
2R 2 + 4
2
h)
Req = 10Ω
3
encore tout à fait logique !!!
Exercice 8 : Résistances équivalentes
R
R1R2
a) Req = R1 + R2
b) R = R / / R =
c) R =
eq
1
2
eq
2
R1 + R2
R1R3
R
d) R = 1 / / R =
R ⎞
⎛
3
eq
R eq = R1 + ⎜ 2 R 2 / / 4 ⎟
2
R1 + 2R3
2
= R1 +
ou encore 200Ω + (200Ω // 200Ω)…
Î (200Ω + (200Ω // 200Ω)) // idem
Æ R est la pente des courbes U = RI
Par exemple pour U=10V, R=1kΩ, on a I=10mA
2
R2
⎧
I1 =
I
a) ⎪
R
⎪
1 + R2
⎨
⎪ I = R1 I
⎪⎩ 2 R1 + R 2
Req = R1 + R 4 + ( R 2 / / ( R 3 + R 4 ) )
Req = 150Ω
Exercice 13 : Caractéristiques de Résistances
Exercice 7 : Ponts diviseurs de courant
e)
c)
Æ Tracer la courbe / Prendre 2 points SUR LA COURBE
Æ Calculer l’équation de la droite passant par ces 2 points
Æ Ordonnée à l’origine =24V=fém du générateur
Æ Coefficient directeur r ≈ 100Ω
3
f)
Î (3×200Ω) // (3×200Ω)
Exercice 12 : Caractéristique d’un générateur
Exercice 6 : Pont de Wheatstone
Æ Additivité : U = U − U = R 2 E − R 3
E
R
R
R1 + R 2
R3 + R 4
R3
R2
Æ Condition : U = 0 ⇔
=
⇔ R2R4 = R1R3
R1 + R2 R3 + R4
2
Req = 300Ω
Æ Tracer la courbe / Prendre 2 points SUR LA COURBE
Æ Calculer l’équation de la droite passant par ces 2 points
Æ Ordonnée à l’origine ≈ 0 et Coef directeur R ≈ 5,6kΩ
αE
αR ⎛ αR ⎞
−⎜
1+
⎟
RS ⎝ RS ⎠
b)
Exercice 11 : Caractéristiques de Résistances
Æ En charge, la relation n’est plus linéaire (à tracer pt par pt) :
US
Î 6 résistances de 200Ω en série
Æ Tracer la courbe / Prendre 2 points SUR LA COURBE
Æ Calculer l’équation de la droite passant par ces 2 points
Æ Ordonnée à l’origine ≈ 0 et Coef directeur R ≈ 2,2kΩ
⎛R ne modifie pas
⎞
⎟
⎜
⎜la valeur de la tension ⎟
⎟
⎜e aux bornes de
⎜⎜l'association R1+R2 ⎟⎟
⎝
⎠
Exercice 5 : Montage Potentiométrique
αR
Æ A vide : U =
× E = α E Î Courbe linéaire
S
α R + (1 − α ) R
(α R / / R S )
=
×E
(α R / / RS ) + (1 − α ) R
Req = 1,2k Ω
Exercice 10 : Caractéristiques de Résistances
Exercice 4 : Ponts diviseurs de tension
R1
⎧
U1 =
e
a) ⎪
R
⎪
1 + R2
⎨
⎪U = R 2 e
⎪⎩ 2 R1 + R 2
a)
b) Idem, même courant
Î Même luminosité
c) Même tension. Si les lampes
sont identiques, il y aura
le même I dans les deux.
Î Même luminosité
d) U1=U2+U3, donc L1 éclaire plus
mais la tension se répartie
de manière égale dans L2 et L3
Î L1 > L2 = L3
e) Dans la branche, on a
même courant, qui se
divise ensuite en 3 :
I1 = I 5 = I 2 + I 3 + I 4
Donc puisque les lampes
sont identiques :
L1 = L5 > L2 = L3 = L4