Chapitre 1 - Mathématiques au lycée Bellepierre

Transcription

TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 1 – Suites
Table des matières
I
Exercices
I-1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
6
Suites arithmétiques, géométriques, et autres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
7
Utilisation du tableur (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
8
Utilisation du tableur (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-6
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-6
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-6
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-6
II Cours
1
2
II-1
Rappels de
1re
sur pourcentages et évolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1a
Pourcentage, fraction et nombre décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1b
Appliquer ou calculer un pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1c
Taux d’évolution, coefficient multiplicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1d
Évolutions successives de même taux, suites géométriques . . . . . . . . . . . . II-1
Rappels de 1re sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
2a
Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
2b
Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3
2c
Suites géométriques de raison positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3
3
Somme des termes d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4
4
Limite d’une suite géométrique de raison strictement positive . . . . . . . . . . . . . . II-4
5
Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-5
Terminale ES – Mathématiques
TDM
http://www.maths.lyceebellepierre.fr
I EXERCICES – page I-1
I
Exercices
1
La suite u est définie, pour tout nombre entier naturel 1 n, par un = n2 + 3.
1. Calculer u0 , u1 , u2 , u3 , u4 , u5 .
2. Tracer la représentation graphique de cette suite.
20
10
0
0
1
2
3
4
5
3. Quel semble être le sens de variation de cette suite ?
4. Justifier la réponse précédente en étudiant le signe de un+1 − un . Indications :
– justifier d’abord que, pour tout nombre entier naturel n, on a : un+1 − un = 2n + 1 ;
– justifier quel est le signe de un+1 − un quand n est un entier naturel ?
5. Écrire un algorithme permettant de calculer un terme de rang donné.
2
Nous allons reprendre les questions 1, 2, 3 de l’exercice 1 à la calculatrice.
Les indications données sont valables pour la
TI 82.
1. Choix du mode « suite ».
– Appuyer sur mode ;
– sur la 4e ligne, sélectionner Suit (suite)
au lieu de Fct (fonction) ;
– sur la 5e ligne, sélectionner NonRelié au
lieu de Relié ;
– quitter en appuyant sur 2nde [quitter].
2. Saisie de l’expression un = f (n)
– Appuyer sur f (x) ou Y=
– Compléter l’écran pour obtenir ceci :
nMin=0
u(n)=n2+3
u(nMin)=
3. Réglage de la table et tableau de
valeurs
– Appuyer sur 2nde [déf table]
DébTable=0
PasTable=1
– Pour voir le tableau de valeurs de la suite,
appuyer sur 2nde [table]
4. Réglage de la fenêtre et représentation graphique
– Appuyer sur fenêtre
– Compléter le haut de l’écran pour obtenir
ceci :
nMin=0
nMax=5
PremPoint=1
Pas=1
– Compléter ensuite les autres valeurs
– Pour voir la représentation graphique de
la suite, appuyer sur graphe
1. Un nombre entier naturel est un nombre entier positif ou nul.
TDM
3
On considère à nouveau la suite de l’exercice 1, définie par : un = n2 + 3.
Nous allons calculer u999 à la calculatrice de différentes manières.
1. 1re manière : effectuer tout simplement le calcul : 9992 + 3
2. 2e manière : on peut aussi utiliser la commande table de la calculatrice, mais pour cela, il faut
d’abord la régler sur « Valeurs à la demande ». Procéder ainsi :
– Appuyer sur 2nde [déf table]
DébTable=0
PasTable=1
Valeurs : Auto Dem
– Appuyer sur 2nde [table]
– saisir le nombre 999, et la valeur de u999 apparaît après dix à quinze secondes.
3. 3e manière : on peut enfin utiliser un programme de la calculatrice
(a) Appuyer sur les touches prgm , → , → , entrer .
(b) Compléter ce qui est à l’écran pour obtenir ceci :
PROGRAMME
Nom=SUITE1
Sur la calculatrice, les lettres A, B, C, etc. sont au dessus des touches.
(c) Appuyer sur la touche entrer
(d) Compléter ce qui est à l’écran pour obtenir ceci :
PROGRAM:SUITE1
:Prompt N
:N∧ 2+3→U
:Disp U
– Pour obtenir Prompt, appuyer sur les touches prgm , → , 2
–
–
–
–
Pour obtenir les lettres, appuyer sur la touche alpha avant chaque lettre.
À la fin de chaque ligne, appuyer sur la touche entrer
Pour obtenir la flèche à droite, appuyer sur la touche sto→
Pour obtenir Disp, appuyer sur les touches prgm , → , 3
(e) Pour revenir à l’écran « normal », appuyer sur les touches 2nde [quitter]
Nous allons maintenant exécuter ce programme.
(f) Appuyer sur la touche prgm , aller sur le nom du programme, puis appuyer deux fois sur
la touche entrer
(g) Compléter ce qui est à l’écran pour obtenir ce qui est en dessous (à la fin de chaque ligne,
appuyer sur la touche entrer ).
prgmSUITE1
N=?999
On retrouve le résultat précédent : le mot Fait veut dire que l’exécution du programme
est terminée.
TDM
4
On considère la suite v définie par récurrence par :
v0 = 3 et pour tout nombre entier naturel n, vn+1 = 2vn − 1.
On pourra utiliser la calculatrice pour répondre aux questions ci-dessous. Pour définir cette suite
définie par récurrence, appuyer sur f (x) ou Y= , puis compléter ainsi :
nMin=0
u(n)=2*u(n-1)-1
u(nMin)=3
un
Pour obtenir u, appuyer sur 2nde 7
1. Calculer v1 , v2 , v3 , v4 , v5 .
2. Observer la représentation graphique de cette suite sur l’écran de la calculatrice.
3. Quel semble être le sens de variation de cette suite ?
4. Écrire un algorithme permettant de calculer de calculer v5 .
5
Même exercice que l’exercice 4 pour les suites définies ci-dessous.
(1) un = 5 + 8n
(2) un = 64 × 0, 5n
(3) u0 = 70 et un+1 = un − 12
(4) u0 = 1, 5 et un+1 = 2 × un
6
Suites arithmétiques, géométriques, et autres.
Pour les six suites étudiées dans les exercices précédents, lesquelles sont arithmétiques, géométriques,
ou ni l’un ni l’autre ? Justifier chaque fois par des calculs.
Rappel :
– une suite arithmétique de raison a est une suite telle que l’on passe d’un terme au suivant en
ajoutant toujours le même nombre a ;
– une suite géométrique de raison q est une suite telle que l’on passe d’un terme au suivant en
multipliant toujours par le même nombre q.
7
Utilisation du tableur (1)
Le tableau ci-contre représente une feuille de
calcul dans un tableur.
1
2
3
4
5
6
A
n
0
1
2
3
4
B
Un
0
C
Vn
10
1. Dans la cellule B2, on saisit la formule =A2*5 et on la recopie vers le bas, jusqu’à la cellule B6.
(a) Quels résultats seront affichés de B2 à B6 ? Compléter dans le tableau.
(b) Donner la formule qui se trouve dans la cellule B4 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(c) Donner la définition de la suite Un de la colonne B en fonction de n ou par récurrence.
2. Dans la cellule C3, on saisit la formule =C2*3 et on la recopie vers le bas, jusqu’à la cellule C6.
(a) Quels résultats seront affichés de C3 à C6 ? Compléter dans le tableau.
(b) Donner la formule qui se trouve dans la cellule C6 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(c) Donner la définition de la suite Vn de la colonne C en fonction de n ou par récurrence.
TDM
8
Utilisation du tableur (2)
Le tableau ci-contre représente une feuille de
calcul dans un tableur.
1
2
3
4
5
A
n
0
1
2
3
B
Un
5
C
Vn
4
1. Pour obtenir les nombres 1, 2, 3 dans les cellules A3, A4, A5, on saisit une formule en A3 et
on la recopie vers le bas jusqu’à A5. Quelle est cette formule ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Dans la colonne B, on veut afficher les termes de la suite définie par : u0 = 5 et un+1 = 2un + 3
(a) Compléter les cellules B3, B4, B5 (écrire simplement les résultats affichés dans le tableau
ci-dessus).
(b) Quelle est la formule à saisir en B3 et à recopier vers le bas ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3. Dans la colonne C, on veut afficher les termes de la suite définie par : un =
n+1
(a) Compléter les cellules C3, C4, C5 dans le tableau ci-dessus (résultats). Arrondir au centième si nécessaire.
(b) Quelle est la formule à saisir en C3 et à recopier vers le bas ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Une entreprise a vendu 1000 exemplaires d’un nouvel article pendant le mois de janvier 2010, en
espérant une progression des ventes de 0,6 % par mois. On pose V0 = 1000 et Vn le nombre de ventes
pendant le nième mois (V1 février 2010, V2 mars 2010, etc.)
1. En utilisant le coefficient multiplicateur, calculer le nombre de ventes estimé en février 2010,
mars 2010, avril 2010, décembre 2010.
2. Écrire en fonction de n le nombre Vn de ventes estimé pendant le nième mois.
3. Si la progression des ventes continuait de la même façon pendant 5 ans, calculer le nombre
total de ventes en 10 ans (de janvier 2010 à décembre 2014 inclus).
10
Calculer les sommes suivantes :
1.
1 + 5 + 52 + · · · + 510
3.
1 + 1, 2 + 1, 22 + · · · + 1, 28
2.
1 + 0, 3 + 0, 32 + · · · + 0, 314
4.
10 + 11 + 12 + · · · + 130
11
Un appartement est loué 8400 euros par an, et le loyer est augmenté de 2 % par an.
1. Calculer le loyer après 5 ans.
2. Calculer le total des loyers payés après 12 ans.
12
La production d’un aérosol s’élève à 40 000 unités. On veut arrêter progressivement la production,
en diminuant la production de 10 % par mois et en arrêtant lorsque la production mensuelle est
inférieure à 1000 unités.
1. Calculer le nombre d’unités produite le 40e mois.
2. Après quelle durée la production sera-t-elle arretée ? Donner la réponse en années et mois.
3. Calculer le nombre total d’unités produites.
TDM
13
Une entreprise achète début 2010 une machine outil neuve pour 220 000 e. Cette machine se déprécie
de 15 % par an. On appelle vn la valeur estimée de la machine au bout de n années de fonctionnement
à partir de 2010.
1. Écrire vn en fonction de n.
2. Calculer la valeur estimée début 2015.
3. Déterminer le sens de variation de la suite (vn ) et interpréter le résultat.
4. Comment évolue la valeur de cette machine à très long terme ? On pourra utiliser un tableur
et une représentation graphique pour observer l’évolution du prix.
14
1. Écrire un algorithme permettant, dans l’exercice 13 de déterminer à partir de combien d’années
la valeur estimée sera inférieure à 1 e.
2. Quel est ce nombre d’années ?
15
Une légende raconte que l’empereur Shiram aimait beaucoup le jeu d’échec, et qu’il voulut remercier
son inventeur Sissa en lui faisant le cadeau suivant :
« Sur la première case, je déposerai un grain de riz, puis le double sur la 2e case, et ainsi de suite, en
doublant chaque fois le nombre de grains de riz. »
Le jeu d’échec comporte 64 cases.
1. Déterminer le nombre de grains de riz à poser sur la 5e case.
2. Déterminer le nombre de grains de riz à poser sur la 64e case, écrire le résultat en notation
scientifique (a × 10n ), en arrondissant à l’unité près le nombre a. Donner aussi le résultat en
langage parlé.
3. Sachant que dans un kg de riz, il y a environ 3 000 grains, calculer le nombre de tonnes de riz
à placer dans la 64e case (1 t = 1 000 kg).
4. Sachant que la production annuelle est de 6 × 108 tonnes de riz, comparer le nombre de tonnes
de riz à placer dans la 64e case à cette production.
5. La suite des nombres de grains de riz dans les cases successives est une suite (cn ).
(a) Quelle est la nature de la suite (cn ) ?
(b) Écrire (cn ) en fonction de n.
(c) Comment évolue cn lorsque n augmente indéfiniment ?
16
1. Déterminer chaque fois le sens de variation de la suite (un ) et sa limite lorsque n tend vers
+∞. On pourra utiliser la calculatrice ou le tableur.
(a) un = 0, 9n
(b) un =
1
2
n
(c) un = 3n
(d) un = 1, 2n
2. Pour un nombre q strictement positif, la suite (un ) est définie par : un = q n . Selon les valeurs
de q, quels sont apparemment
– le sens de variation de la suite (un ) ?
– la limite de (un ) lorsque n tend vers +∞ ?
TDM
17
On considère la suite définie par :
Autrement dit :
S0 = 1
Sn = 1 + 0, 5 + 0, 52 + · · · + 0, 5n
S1 = 1 + 0, 5
S2 = 1 + 0, 5 + 0, 52
etc.
1. Cette suite est-elle géométrique ? Justifier par des calculs.
2. On pourra utiliser la calculatrice ou le tableur pour répondre aux deux questions ci-dessous.
(a) Quel est le sens de variation de la suite (Sn ) ?
(b) Quelle semble être la limite de cette suite ?
18
1. On dispose d’un capital initial de 10 000 e. Ce capital est placé à intérêts composés annuels
de 5 % et on retire 400 e chaque année. On pourra utiliser la calculatrice ou le tableur pour
répondre aux deux questions ci-dessous.
(a) Comment évolue la valeur de ce capital ?
(b) Comment évolue-t-elle à très long terme ?
2. Mêmes questions pour la situation suivante : on dispose d’un capital initial de 10 000 e, on
dépense 4 % de ce capital par an, et on retire 500 e à la fin de l’année.
19
Une ville compte initialement 10 000 habitants. Chaque année, elle saccroit naturellement de 5 %,
mais 2000 personnes la quittent et 300 personnes arrivent.
1. Comment évolue la population de cette ville ?
2. Comment évolue-t-elle à très long terme ?
20
Un stock de nourriture de 60 tonnes au départ diminue chaque mois : 3 % sont perdus pour cause
de pourriture, 15 % sont consommés et on achète 4,3 tonnes par mois.
1. Comment évolue ce stock de nourriture ?
2. Comment évolue-t-il à très long terme ?
TDM
II COURS – page II-1
II
1
Cours
Rappels de 1re sur pourcentages et évolutions
1a
Pourcentage, fraction et nombre décimal
247
13
= 0, 13
247 % =
= 2, 47
Exemples : 13 % =
100
100
1b Appliquer ou calculer un pourcentage
Exemple
Les bénéfices d’un opérateur téléphonique sont de 145 millions d’euros.
1. Appliquer un pourcentage à une quantité : calculer le bénéfice réalisé sur les textos
sachant qu’il représente 6 % du bénéfice total.
6
= 8, 7
Réponse : le bénéfice est de 8,7 millions d’euros.
Calcul : 145 ×
100
2. Calculer le pourcentage qu’une quantité Q1 représente par rapport à une autre Q2 :
le bénéfice réalisé sur les abonnements est de 84,1 millions d’euros. Calculer le pourcentage que
cela représente par rapport au bénéfice total.
Q1
84, 1
Calcul :
=
= 0, 58 = 58 %
Réponse : le pourcentage cherché est égal à 58 %.
Q2
145
1c
Taux d’évolution, coefficient multiplicateur
Vocabulaire : une évolution désigne une augmentation ou une diminution d’un taux t.
Exemple : un prix de 346 e augmente de 8 %.
La valeur initiale est VI = 346e
Calcul de la valeur finale après l’augmentation :
8
= 346 + 346 × 0, 08 = 346 × (1 + 0, 08) = 346 × 1, 08 = 373, 68
VF = 346 + 346 ×
100
Le calcul détaillé ci-dessus montre que pour calculer la valeur finale on multiplie la valeur initiale
par 1,08 qui est le coefficient multiplicateur.
À retenir
t est le taux d’évolution,
1 + t est le coefficient multipicateur.
VI est la valeur initiale (avant évolution), VF est la valeur finale, (après évolution).
×(1 + t)
VF − VI
VF
Formules :
VI × (1 + t) = VF
Schéma : VI
t=
VI
Exemples
– Une population de 15700 habitant a augmenté de 13 %.
Calcul de la population après augmentation : 15700 × (1 + 0, 13) = 15700 × 1, 13 = 17741
– Une population de 9300 habitant a baissé de 6 %.
Calcul de la population après la baisse : 9300 × (1 − 0, 06) = 9300 × 0, 94 = 17741
– De 2001 à 2002, le nombre de participants à une course est passé de 142 à 162.
162 − 142
≈ 0, 14 = + 14 %
Calcul du taux d’évolution : t =
142
1d Évolutions successives de même taux, suites géométriques
La définition d’une suite géométrique est rappelée plus loin au paragraphe 2c.
n est un entier positif. Si une valeur u0 subit n évolutions successives de même taux t, alors la valeur
finale est donnée par la formule : un = u0 × (1 + t)n .
La suite (un ) est alors une suite géométrique de premier terme u0 et de raison 1 + t
TDM
Exemple : une population de bactéries s’élève à 90 000 et diminue de 4 % par jour, calculons le
nombre de bactéries après 10 jours.
90000 × (1 − 0, 04)10 = 90000 × 0, 9610 ≈ 59 835
2
Rappels de 1re sur les suites
2a
Généralités sur les suites
Définition
Une suite u est une fonction définie sur l’ensemble IN des nombres entiers naturels. L’image d’un
entier naturel n par u est noté u(n) ou un .
Différentes façons de définir une suite
Exemple 1 (relation explicite) :
u 0 = 02 + 3 = 3
u(n) = n2 + 3
u 1 = 12 + 3 = 4
Exemple 2 (relation de récurrence) :
v0 = 3
ou
un = n2 + 3
u 2 = 22 + 3 = 7
v0 = 3
v1 = 2 × v0 − 1 = 2 × 3 − 1 = 5
et
u3 = 32 + 3 = 12
vn+1 = 2vn − 1
v2 = 2 × v1 − 1 = 2 × 5 − 1 = 9
v3 = 2 × v2 − 1 = 2 × 9 − 1 = 17
Une suite où, pour tout entier naturel n, chaque terme un est écrit en fonction de n, c’est à dire
un = f (n), est une suite définie par une relation explicite.
Une suite où chaque terme est défini en fonction du précédent, est une suite définie par une relation
de récurrence.
Sens de variation d’une suite numérique.
– Dire qu’une suite u est croissante signifie que pour tout entier naturel n, un+1 > un ;
– Dire qu’une suite u est décroissante signifie que pour tout entier naturel n, un+1 6 un ;
– Dire qu’une suite u est constante signifie que pour tout entier naturel n, un+1 = un ;
Exemple : reprenons la suite u de l’exemple 1. On étudie le signe l’expression un+1 − un .
un+1 − un = (n + 1)2 + 3 − (n2 + 3) = n2 + 2n + 1 + 3 − n2 − 3 = 2n + 1
Or, pour n ∈ IN, 2n + 1 > 0, donc la suite u est croissante.
Exemples d’algorithmes permettant de calculer un terme de rang donné.
Exemple 1 : un = n2 + 3
Exemple 2 : v0 = 3 et vn+1 = 2vn − 1
Saisir n
Pour des valeurs de k allant de 0 à n de 1 en 1
Saisir n
2
v prend la valeur 2v − 1
u prend la valeur n + 3
Fin de la boucle « pour »
Afficher n et u.
Afficher n et v.
Utilisation du tableur pour afficher les termes d’une suite
Exemple 2 : v0 = 3
A
A
B
1
n
1
n
Un
2
0
2
0
3
3
1
3
1
4
4
2
4
2
7
Formule dans la cellule B2 : =A2∧2+3
Formule dans la cellule
TDM
et vn+1 = 2vn − 1
B
Vn
3
5
9
B2 : =2*B2-1
Représentation graphique des termes d’une suite.
70
60
50
40
30
20
10
0
2b
Exemple 2 :
70
60
50
40
30
20
10
0
b
b
b
b
b
b
v0 = 3
0 1 2 3 4 5
et
vn+1 = 2vn − 1
b
b
b
b
b
b
0 1 2 3 4 5
Suites arithmétiques
Définition
Une suite telle que l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre a, s’appelle
une suite arithmétique de raison a .
Relation de récurrence pour une suite arithmétique :
Pour tout n ∈ IN, un+1 = un + a
Relation explicite pour une suite arithmétique
– Si u0 est le premier terme de la suite, pour tout n ∈ IN,
un = u0 + na ;
un = up + (n − p)a .
– si up est le premier terme de la suite, pour tout n > p,
Sens de variation d’une suite arithmétique
– Si la raison d’une suite arithmétique est positive, cette suite est croissante ;
– si la raison d’une suite arithmétique est négative, cette suite est décroissante.
Exemples de représentation graphiques de suites arithmétiques
un = 5 + 8n
un = 70 − 12n
70
60
50
40
30
20
10
0
2c
b
b
b
b
b
b
0 1 2 3 4 5
70
60
50
40
30
20
10
0
b
b
b
b
b
b
0 1 2 3 4 5
Suites géométriques de raison positive.
Définition
Une suite telle que l’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q,
s’appelle une suite géométrique de raison q .
Relation de récurrence pour une suite géométrique :
Pour tout n ∈ IN, vn+1 = q × vn
Relation explicite pour une suite géométrique
– si v0 est le premier terme de la suite : vn = v0 × q n ;
– si vp est le premier terme de la suite : vn = vp × q n−p .
TDM
Sens de variation de la suite géométrique (q n ) où q est posif
– Si 0 < q < 1, la suite (q n ) est décroissante ;
– si q = 1, la suite (q n ) est constante ;
– si q > 1, la suite (q n ) est croissante.
Exemples de représentation graphiques de suites géométriques
vn = 1, 5 × 2n , puis un = 64 × 0, 5n
70
60
50
40
30
20
10
0
3
70
60
50
40
30
20
10
0
b
b
b
b
b
b
0 1 2 3 4 5
b
b
b
b
b
b
0 1 2 3 4 5
Somme des termes d’une suite géométrique
Propriété
Pour tout nombre q 6= 1 et pour tout entier naturel n,
1 + q + q2 + · · · + qn =
1 − q n+1
1−q
Exemple 1
1 + 5 + 52 + · · · + q 10 =
−48 828 124
1 − 511
=
= 12 207 031
1−5
−4
Exemple 2
1000 + 1000 × 1, 06 + 1000 × 1, 062 + · · · + 1000 × 1, 0659
= 1000 × (1 + 1, 06 + 1, 062 + · · · + 1, 0659 )
1 − 1, 0660
= 1000 ×
≈ 34 029
1 − 1, 06
4
Limite d’une suite géométrique de raison strictement positive
Propriété
– Si 0 < q < 1, alors la limite de q n lorsque n tend vers +∞ est 0 ;
– Si q > 1, alors la limite de q n lorsque n tend vers +∞ est +∞.
Exemple 1 : 0 < 0, 9 < 1
Exemple 2 : 1, 2 > 1
donc la limite de 0, 9n lorsque n tend vers +∞ est 0.
donc la limite de 1, 2n lorsque n tend vers +∞ est +∞.
Exemple 3 : vn = 220 000 × 0, 85n
0 < 0, 85 < 1 donc la limite de 0, 85n lorsque n tend vers +∞ est 0,
donc la limite de 220 000 × 0, 85n lorsque n tend vers +∞ est aussi 0.
Algorithme
Dans l’exemple 3 ci-dessus, on indique que la limite de 220 000 × 0, 85n est 0 quand n tend vers +∞.
Voici un algorithme permettant de déterminer à partir de quel rang n, le nombre 220 000 × 0, 85n
est inférieur à 1.
TDM
Le programme indique qu’un élève de terminale ES doit savoir mettre en œuvre un algorithme de ce
type.
Initialisation
n prend la valeur 0
v prend la valeur 220 000
Traitement
Tant que v > 1
n prend la valeur n + 1
v prend la valeur 220 000 × 0, 85n
Fin de la boucle “tant que”
Sortie
Afficher n
5
Suites arithmético-géométriques
Définition
Une suite arithmético-géométrique est une suite définie sous la forme
où a et b sont deux nombres réels fixés.
un+1 = aun + b,
Exemples : voir les exercices sur fiche no 18, 19, 20.
TDM

Chapitre 1 - Mathématiques au lycée Bellepierre

Transcription

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