e Identidades Trigonom´etricas TABELA: Derivadas, Integrais

TABELA: Derivadas, Integrais
e Identidades Trigonométricas
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Derivadas
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Sejam u e v funções der i v ávei s de x e n constante.
1. y = un
y = n u n− 1 u .
2. y = uv
y = u v + v u.
u
v u
3. y = v
y = u v−
.
v2
y = a u (ln a) u , ( a > 0, a = 1).
4. y = a u
5. y = eu
y = eu u .
y = uu loga e.
6. y = log a u
7. y = ln u
y = u1 u .
v
8. y = u
y = v uv− 1 u + uv (ln u) v .
9. y = sen u
y = u cos u.
10. y = cos u
y = − u sen u.
11. y = tg u
y = u sec2 u.
12. y = cotg u
y = − u cosec2 u.
13. y = sec u
y = u sec u tg u.
14. y = cosec u
y = − u cosec u cotg u.
u
.
15. y = arc sen u
y = √ 1−
u2
16. y = arc cos u
y = √ −1−u u 2 .
= 1+uu 2 .
−u
.
1+ u 2
17. y = arc tg u
y
18. y = arc cot g u
19. y = arc sec u, |u| 1
y = |u| √ uu 2 − 1 , |u| > 1.
20. y = arc cosec u, |u| 1
y = |u| √− uu2 − 1 , |u| > 1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Identidades Trigonom´
etricas
1. sen2 x + cos 2 x = 1.
2. 1 + tg 2 x = sec 2 x .
3. 1 + cotg 2 x = cosec 2 x .
2x
.
4. sen2 x = 1− cos
2
1+cos 2 x
2
.
5. cos x =
2
6. sen 2x = 2 sen x cos x .
7. 2 sen x cos y = sen ( x − y) + sen ( x + y).
8. 2 sen x sen y = cos ( x − y) − cos (x + y).
9. 2 cos x cos y = cos ( x − y) + cos ( x + y).
10. 1 ± sen x = 1 ± cos π2 − x .
du = u + c.
n +1
un du = un+1 + c, n = − 1.
du
u = ln |u|u + c.
a u du = lna a + c, a > 0, a = 1.
eu du = eu + c.
sen u du = − cos u + c.
cos u du = sen u + c.
tg u du = ln |sec u| + c.
cotg u du = ln |sen u| + c.
sec u du = ln |sec u + tg u| + c.
cosec u du = ln |cosec u − cotg u| + c.
sec u tg u du = sec u + c.
cosec u cotg u du = − cosec u + c.
sec2 u du = tg u + c.
cosec2 u du = − cotg u + c.
du
= a1 arc tg ua + c.
u2 + a2
17.
du
u2 − a2
18.
√ du
= ln u + u2 + a 2 + c.
u2 + a 2
√
√ du
=
ln
u
+
u2 − a 2 + c.
2
2
u −a
√ du
= arc sen ua + c, u 2 < a 2 .
a2 − u2
√ du
= a1 arc sec ua + c.
u u2 − a2
19.
20.
21.
•
•
Integrais
1.
1
= 2a
ln
u− a
u+ a
√
+ c, u 2 > a 2 .
F´
ormulas de Recorrˆ
encia
sen n au du = − sen
n − 1 au
+
cos au
an
n− 1
sen n− 2 au
n
sen au cosn − 1 au
an
+ n−n 1
2.
cosn au du =
3.
tgn au du =
4.
au
cotgn au du = − cotg
a( n− 1) −
5.
secn au du =
6.
tg n − 1 au
a( n− 1)
n− 1
secn − 2 au tg au
a( n− 1)
2
+ n−
n− 1
+
cosn− 2 au du.
tgn− 2 au du.
−
cosecn au du = − cosec
du.
cotgn− 2 au du.
secn− 2 au du.
n − 2 au
cotg au
a( n− 1)
n− 2
cosecn− 2 au
n− 1
du.