TI-92 : exemples d`utilisation

TI-92 : exemples d’utilisation
1- Introduction et présentation
Il y aura toujours un danger à utiliser des tables d’intégrales oude façon plus
modernedes calculateurs symboliques afin de trouver la réponse à des intégrales indéfinies, par
exemple celles du type suivant :
x dx
x dx
et
.
2
x +1
x3 + 1
z
z
En effet, il y a une nette différence entre les intégrales précédentes puisque la première s’effectue
par simple changement de variables tandis que la seconde nécessite des fractions partielles
(précédées d’une factorisation du dénominateur) suivies d’une complétion de carré ! Jusqu’à tout
récemment, il n’y avait que les logiciels de calcul formel (les Computer Algebra System ou CAS)
tels DERIVE, Maple et Mathematica pour nous donner instantanément la réponse à de telles
intégrales. Maintenant, en classe, en restant assis à son pupitre, l’étudiant peut obtenir le résultat,
de façon simple et efficace ! En effet, la calculatrice TI-92, de Texas Instruments, fait du calcul
symbolique de façon assez pousséetellement que, dans certains cas (mais pas toujours et tout
dépend de ce qu’on veut faire), il serait plus profitable de rester en classe plutôt que d’aller visiter
les laboratoires d’ordinateurs ! Regardons les résultats que donne la TI-92 (nous avons
volontairement choisi le MODE format complexe rectangulaire, de sorte que les valeurs absolues
n’apparaissent pas dans les logarithmes) :
Mais qu’on se rassure. On peut comprendre d’où sort la dernière réponse, en scrutant de plus
x
près la fonction 3 . On a dit que des fractions partielles étaient nécessaires. Qu’aurions-nous
x +1
obtenu ? Et comment faire des fractions partielles si le dénominateur n’est pas factorisé (à
facteurs quadratiques irréductibles près) ?
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On s’aperçoit donc que les concepteurs de la TI-92 ont pensé avant tout à l’enseignement des
mathématiques dans l’élaboration de cette machine. Pour cette raison, des items chers aux
ingénieurs et physiciens (liste de constantes physiques et d’unités de conversion par exemple)
sont absents bien que des sites internet contiennent une multitude de librairies qu’on peut rajouter
à la calculatrice. Si, par contre, on doit recourir à son « résumé » de mathématiques pour certains
rappels, on peut maintenant le faire à partir de sa calculatrice : en effet, cette machine constitue
rien de moins qu’un livre de table pour les formules d’algèbre, de trigonométrie, pour les tables
de dérivées et intégrales, etc ...
Si l’on veut faire de la géométrie, il ne faut pas oublier que des concepteurs du logiciel Cabri
Géomètre ont collaboré au développement de la calculatrice :
Mais alors, que nous restera-t-il à enseigner ou à apprendre ... ? Peut-être pourrions-nous en
profiter pour faire plus de problèmes d’optimisation, de calculs de centres de masse, de volumes
de solides ; plus de transformées inverses et plus de convolutions afin de trouver des courants, des
positions, calculer et visualiser davantage des séries de Fourier ; faire de l’optimisation avec
contrainte, etc... C’est toujours nous qui devrons poser la fonction à optimiser ou l’intégrale
donnant le volume. Mais disposant d’une calculatrice faisant du calcul symbolique, rien ne nous
empêchera de vérifier les réponses de façon exacte. En y rajoutant un aspect graphique et une
approche numérique, nos mathématiques pour ingénieurs risquent d’être plus intéressantes et
palpitantes. Par exemple, un problème d’optimisation à une variable conduit à la fonction
f ( x ) = 8100 + x 2 + 3600 + (200 − x )2
que nous devons minimiser sur l’intervalle [0, 200]. Avec une simple calculatrice graphique, on
peut tracer le graphe de f sur [0, 200] pour voir ce qui se passe (qu’il y a effectivement un seul
minimum sur cet intervalle). Si l’on préfère que l’analyse mathématique précède l’analyse
graphique, la TI-92 a ce qu’il faut. Par conséquent, tous y gagnent : les « matheux » qui se
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plaignaient (non sans raison) que les calculatrices faisaient oublier le côté papier/crayon des
mathématiques ont maintenant la possibilité de « faire » des mathématiques à partir d’une
calculatrice ; les enseignants qui trouvaient exagéré de recourir aux logiciels spécialisés pour
résoudre de « simples » problèmes n’auront plus à s’embourber dans des calculs longs et pénibles
devant une classe trop souvent passive ; les étudiantsgagnés d’avance aux
calculatricess’ouvriront au Computer Algebra et seront dorénavant avertis que calculatrice peut
maintenant rimer avec présentations de sujets théoriques. Les 2 fenêtres suivantes viennent
confirmer l’état d’esprit des lignes précédentes et résoudre le problème d’optimisation :
quelqu’un qui ne sera pas satisfait de la solution (x = 120 semble procurer le minimum) pourra
toujours annuler la dérivée première, en éliminant les radicaux !
Quant aux utilisateurs du logiciel DERIVE, ils seront en terrain connu puisque la partie
symbolique de la TI-92 a été développée par David Stoutemyer de Soft Warehouse (les
producteurs de DFW). Les utilisateurs des autres logiciels de calcul formel apprécieront la
syntaxe mathématique et facile d’utilisation de la calculatrice, son catalogue complet, et ses
menus déroulants, style Windows.
Ce que nous nous proposons de faire dans les pages
suivantes, c’est de montrer combien il peut devenir intéressant de personnaliser la calculatrice, en
y rajoutant des fonctions et programmes qui servent fréquemment. En tant qu’enseignant, nous
avons insisté sur les cours de Mat 115, 135 et 235 (en ce qui concerne Mat 320, nous en sommes
à nos débuts, le plan de cours nous est peu familier, voire étranger !). De plus, une section sur les
mathématiques financières ouvre les différents menus tandis qu’une autre section est consacrée
aux problèmes de traitement de signal (suite à de nombreuses questions d’étudiants du cours ELE
263 ...).
Les différentes fonctions que nous serons heureux d’échanger et de distribuer sont placées
dans des tableaux (pages 8, 11, 20, 28 et 39). Mais un excellent exercice consistera à définir
soi-même des fonctions similaires ! La plupart du temps, il suffisait d’adapter des fonctions
semblables de DERIVE ; dans d’autres cas, il s’agissait de fonctions ou programmes qu’on
retrouve dans le DUG (DERIVE User Group) ou dans différents bouquins. Dans d’autres cas, il
s’agissait de fonctions de la TI-92 fréquemment utilisées et relocalisées à d’autres endroits. Nous
sommes loin d’avoir la prétention qu’il s’agit d’une collection complète. D’ailleurs, ces fonctions
et programmes sont en constante évolution et remaniement perpétuel ! Il va de soi que notre
objectif principal est toujours le même : utiliser le Computer Algebra pour rendre les
mathématiques plus intéressantes, plus vivantes. Faire les choses le plus simplement possible, de
façon efficace, mais pas de façon simpliste!
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Il nous fera plaisir de rajouter des exemples supplémentaires afin de répondre aux questions
d’étudiants utilisateurs de la TI-92, de quelque département qu’ils proviennent.
Voici à quoi ressemble la suite de ce document et la liste des exemples contenus à l’intérieur de
chacune des sections.
2- Remarques avant de commencer (page 5)
3- Les différents menus (page 6)
4- Le menu de FINANCES (page 7)
Exemple 1 : valeur future, valeur présente
Exemple 2 : remboursement/solde hypothécaire
Exemple 3 : quand on a oublié le taux d’intérêt
5- Le menu de Mat 115 (page 10)
Exemple 4 : une révision de Mat 115 !
• Racines et factorisation
• Graphe
• Méthode de Newton
• Méthode de la bisection
• Intégrale et fractions partielles
• Méthodes des trapèzes et de Simpson
• Test de la dérivée seconde
Exemple 5 : révision de trigonométrie, de nombres complexes
Exemple 6 : résoudre un système d’équations linéaires
Exemple 7 : intégrale impropre/éditeur de texte de la TI-92
Exemple 8 : développement en séries de puissances
6- Le menu de Mat 235 (page 18)
Exemple 9 : une É.D. linéaire et homogène
Exemple 10 : une É.D. séparable et de Bernoulli/croissance logistique
Exemple 11 : méthode des coefficients indéterminés/variation des paramètres
Exemple 12 : circuit RC
Exemple 13 : mouvement harmonique/régime permanent
Exemple 14 : transformée de Laplace et convolution
Exemple 15 : méthodes d’Euler et de Runge-Kutta
Exemple 16 : somme partielle de Fourier
7- Le menu de Mat 135 (page 27)
Exemple 17 : équation d’un plan, produits scalaire/vectoriel
Exemple 18 : courbes paramétriques
Exemple 19 : courbes en coordonnées polaires
Exemple 20 : surfaces dans l’espace
Exemple 21 : polynôme d’interpolation de Lagrange
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Exemple 22 :
Exemple 23 :
Exemple 24 :
Exemple 25 :
Exemple 26 :
Exemple 27 :
systèmes de coordonnées
gradient et laplacien d’un champ scalaire
potentiel d’un champ de vecteurs conservatif
l’algorithme de Gauss-Jordan pratiqué autant de fois qu’on le désire !
un problème d’optimisation/multiplicateurs de Lagrange
intégrales doubles, triples
8- Le menu de Mat 320 (en préparation ...) (page 36)
Exemple 28 : moyenne, variance, écart-type
Exemple 29 : statistiques à une et à deux variables
Exemple 30 : utiliser la « table » de la normale
Exemple 31 : trouver la probabilité numériquement
Exemple 32 : approximation d’une binomiale par une normale
Exemple 33 : aire sous la courbe de la normale
9- Signaux et transformées : quelques exemples (page 42)
Exemple 34 : fonctions signe, unité échelon et indicatrice d’un intervalle
Exemple 35 : modification de la variable
Exemple 36 : coefficients de Fourier sous forme complexe
Exemple 37 : la transformée de Fourier d’un signal exponentiel causal
Exemple 38 : la fonction sinc
Exemple 39 : fractions partielles, complétion de carré et utilisation de tables de
transformées de Laplace
2- Remarques avant de commencer
La majorité des fonctions ont été définies dans le « HOME » à l’aide de « Define » (menu
F4) ou de STO (sur le clavier). Cela signifie que nous connaissions ces formules ! En ouvrant la
TI-92, il est utile de faire F6 (pour effacer les variables/fonctions à un caractère). Pour cette
raison, employer au moins 2 caractères pour les fonctions à conserver. De plus, employer xx
plutôt que x comme variable pour ne pas avoir un message de « Circular definition ». Par
exemple, nous voulons définir la fonction f(x) = 1/(2x + 3). Voici comment on peut procéder.
La TI-92 ne veut pas faire f(2x) ! ! ! Elle fera f(2y) par contre ou toute autre composition. Par
conséquent, on aurait dû écrire (nous montrons, à la page suivante, le clavier des deuxièmes
fonctions, obtenu en faisant K) :
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