1 Rappels de cours 2 Méthodes et exemples

Niveau : 1e
Fiche méthode : comment montrer qu’une suite est arithmétique
F. Demoulin
1 Rappels de cours
Définition 1.1 Une suite (un ) est dite arithmétique s’il existe un réel r tel que, pour tout n de N,
on ait :
un+1 = un + r.
Le réel r est appelé la raison de la suite (un ).
Le mode de génération des termes d’une suite arithmétique est simple : on passe d’un terme au
terme de rang suivant en ajoutant toujours r .
+r
•
u0
+r
•
u1
+r
•
u2
+r
•
u3
+r
•
u4
+r
•
u5
•
u6
...
Propriété 1.1 Toute suite (un ) de terme général un = an + b où a et b sont deux réels est une suite
arithmétique de raison a et de premier terme u0 = b.
2 Méthodes et exemples
Point méthode 1 Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on peut montrer que la différence
un+1 − un est toujours constante.
On revient à la
définition 1.1.
Exemple. Soit (un ) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout n de N, par un+1 = un − 2.
Montrer que (un ) est arithmétique.
Pour tout n de N, un+1 − un = −2.
De plus, u0 = 1.
La suite (un ) est donc la suite arithmétique de raison −2 et de premier terme u0 = 1.
Point méthode 2 Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on exprime un+1 en fonction de un
et on vérifie que un+1 se met sous la forme un + r .
On revient à nouveau à la
définition 1.1.
Exemple. Soit (un ) la suite définie, pour tout n de N, par un = 2n + 4.
Montrer que (un ) est arithmétique.
Pour tout n de N, un+1 = 2(n + 1) + 4 = 2n + 4 + 2 = un + 2.
De plus, u0 = 2 × 0 + 4 = 4.
La suite (un ) est donc la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u0 = 4.
Point méthode 3 Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on cherche deux réels a et b tels
que un = an + b.
On s’appuie sur la
propriété 1.1.
Exemple. Soit (un ) la suite définie, pour tout n de N, par un = 2n − 1.
Montrer que (un ) est arithmétique.
Pour tout n de N, un est de la forme an + b avec a = 2 et b = −1.
D’après la propriété 1.1, (un ) est la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u0 = −1.
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Niveau : 1e
Fiche méthode : comment montrer qu’une suite est arithmétique
3 Exercice
Montrer que la suite (un )n∈N est arithmétique.
a) un = −n − 1.
b) un = 5n + 4.
c) u0 = 0 et, pour tout n de N, un+1 = un + 7.
d) un = 3n.
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