sujet et correction

Brevet Blanc de Mathématiques
avril 2012
Le soin, l’orthographe et la clarté des raisonnements seront notés sur 4 points
Les calculatrices sont autorisées
ACTIVITES NUMERIQUES
(12 points)
Exercice n°1 :
1. Un achat de 1542€ est payé de la façon suivante :
1
du prix sera versé à la commande ;
3
- 25% de ce qui reste à payer sera versé à la livraison ;
- Le solde sera payé à crédit.
a. Quel est le montant versé à la commande ?
b. Quel est le montant versé à la livraison ?
c. La somme restant à payer est de 771€. Elle est augmentée de 8% et payée en quatre mensualités
équivalentes. Calculer le montant d’une mensualité.
2. Un article qui valait 200€ il y a deux mois, a subi il y a un mois une hausse de 20% et dernièrement une
baisse de 20%. Quel est son prix actuel ?
Exercice n° 2 :
1. Eric dit à Zoé : « Choisis un nombre x ; ajoute 1 au triple de x ; calcule le carré du nombre obtenu et
retranche-lui le nombre 4. »
Quel résultat trouvera Zoé si elle choisit : x = 5 ?
2. Eric propose à Zoé quatre expressions dont l’une correspond au calcul qu’il lui a fait faire.
Voici ces quatre expressions : A = 3 ( x + 1 )² − 4
B = 4 – ( 3x + 1 ) ²
C = ( 3x + 1 ) ² − 4
D=(x+3)²−4
Quelle expression Zoé doit-elle choisir ?
3. a. Factoriser ( 3x + 1 ) ² − 4.
b. Résoudre ( 3x − 1 )( 3x + 3 ) = 0.
c. Zoé rejoue, elle choisit un nombre négatif et elle trouve zéro. Quel nombre a-t-elle choisi ?
Vérifier alors le calcul.
Exercice n°3 :
4
On considère la fraction .
5
1. Quelle fraction obtient-on si on enlève 2 au numérateur et au dénominateur de cette fraction ?
4
2. Pierre, en enlevant le nombre x au numérateur et au dénominateur de la fraction , a obtenu la
5
5
fraction . Quel est ce nombre x ?
4
ACTIVITES GEOMETRIQUES
(12 points)
Exercice n°1 :
Tracer un triangle OAC isocèle en O et tel que CO = 5,5cm et 
COA = 54°.
Construire B le symétrique du point C par rapport à O.
1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
2. Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ? tracer ce cercle.
Exercice n°2 :
Le dessin ci-contre représente la coupe d’une maison.
Le triangle MAI est isocèle, de sommet principal M.
La droite perpendiculaire à la droite (AI), passant par M, coupe (AI) en S.
L’unité de longueur est le mètre.
On sait que : MS = 2,5 et AI = 11.
1. a. Justifier que AS = 5,5.
b. Calculer la valeur arrondie à 0,1 degré près de la mesure de l’angle 
AMS .
2. Dans le toit, il y a une fuite en N qui fait une tache en O, sur le plafond.
La droite (NO) est perpendiculaire à la droite (AI). AO = 4,5.
Pour effectuer les calculs, on prendra : 
OAN = 24°.
Calculer AN. On donnera la valeur arrondie à 0,1 près.
Exercice n°3 :
1. Construire un triangle RAS tel que :
RA = 8 cm, RS = 6,4 cm et AS = 4,8 cm.
2. Prouver que le triangle RAS est rectangle.
3. a. Placer le point M du segment [RS] tel que RM = 4,8 cm
et le point N du segment [RA] tel que RN = 6 cm.
b. Prouver que les droites (MN) et (AS) sont parallèles.
c. Calculer MN.
PROBLEME
(12 points)
Partie A
Une compagnie de transport maritime met à disposition deux bateaux appelés CatamaranExpress et
FerryVogue pour une traversée inter-îles de 17 kilomètres.
1. Le premier départ de CatamaranExpress est à 5 h 45 min pour une arrivée à 6 h 15 min.
Calculer sa vitesse moyenne en km/h.
2. La vitesse moyenne de FerryVogue est de 20 km/h.
A quelle heure est prévue son arrivée s’il quitte le quai à 6 h ?
Partie B
On donne en document annexe les représentations graphiques C1 et C2 de deux fonctions.
L’une d’entre elles est la représentation graphique de la fonction affine g définie par :
g(x) = 10x + 60
A l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes en faisant apparaître les tracés nécessaires à la
lecture graphique :
1. Lire les coordonnées du point E.
2. Quelles sont les abscisses des points d’intersection des deux représentations graphiques ?
3. Laquelle de ces représentations graphiques est celle de g ? Justifier.
4. Quelle est l’image de 12 par la fonction g ? Vérifier la réponse par un calcul.
5. Quel est l’antécédent de 150 par la fonction g ? Retrouver ce résultat en résolvant une équation.
Partie C
La compagnie de transport maritime propose trois tarifs pour un voyage, quel que soit le bateau choisi :



Tarif M : on paie 25 euros à chaque voyage.
Tarif N : on paie une carte mensuelle à 60 euros auxquels s’ajoute 10 euros pour chaque voyage.
Tarif P : on paie 30 euros par voyage jusqu’au septième voyage puis on effectue gratuitement les
autres traversées jusqu’à la fin du mois.
1. Les prix à payer en fonction du nombre de voyages, avec deux de ces tarifs, sont représentés par les
courbes C1 et C2. Indiquer sur votre copie pour chaque courbe le tarif associé. (Aucune justification
n’est attendue)
2. Sur le document annexe (à rendre avec la copie) où figurent C1 et C2, construire la représentation
graphique de la fonction f définie par : f : x
25x.
3. Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles sur le document annexe, trouver pour
combien de voyages le tarif N est plus avantageux que les deux autres.
Nom : ………………………………………………………………
N° de candidat : ……………………………………………….
Annexe à rendre avec la copie.
Prix à
payer
260
C2
240
220
E
200
C1
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Nombre de
voyages
Corrigé du brevet blanc 2012.
Partie numérique.
Exercice 1 : (4pts)
1
1
a. Je paie du prix à la commande soit × 1542 , soit 514€.
3
3
b. Je paie 25% de ce qui reste à payer à la livraison soit 25% des deux tiers du prix soit
25 2
1
× × 1542 = × 1542, soit 257€.
100 3
6
c. Il me reste à payer en quatre mensualités le solde augmenté de 8% soit 771 × 1,08
soit 832,68€. Chaque mensualité sera donc de 832,68 ÷ 4, soit 208,17€.
1.
2.
le prix de l’article est donc de 200 × 1.20 × 0.80, soit 200 × 0,96, soit192€.
La baisse effective est de 4% (non demandé).
Exercice 2 : (5pts)
1.
Si Zoé choisit 5 et lui applique le programme de calcul d’Eric, elle obtient 252.
En effet j’ajoute 1 au triple de 5, j’obtiens 1 + 3 × 5 = 1 + 15 = 16 ;
Je calcule le carré du nombre obtenu soit 16² = 256 ;
Je lui retranche 4, j’obtiens donc 256 – 4 = 252.
2.
Zoé doit choisir l’expression C.
En effet si je choisis un nombre x, le triple de x augmenté de 1 est 3x + 1,
le carré de ce nombre est ( 3x + 1 ) ² et si je retranche 4 à ce résultat j’obtiens C
avec C = ( 3x + 1 ) ² − 4.
3.
a.
C = ( 3x + 1 ) ² − 4 // C = ( 3x + 1 ) ² − 2² // C = [ ( 3x + 1 ) + 2 ][ ( 3x + 1 ) − 2 ]
C =( 3x + 3 )( 3x − 1 )
b. ( 3x + 3 )( 3x − 1 ) = 0
si un produit est nul alors l’un au moins de ses facteurs est nul
donc 3x + 3 = 0
ou
3x − 1 = 0
3x = − 3
3x = 1
1
x = -1
x=
3
1
(-1) et sont donc solutions de l’équation.
3
c.
Si Zoé a trouvé 0 pour résultat, C = 0 et dans ce cas la solution négative est (-1).
En effet ( 3 × (-1) + 1 )² - 4 = ( - 3 + 1 )² - 4 = ( - 2 )² -4 = 4 – 4 = 0
Exercice 3 : (3pts)
42 2
2
 . J’obtiens donc .
1.
3
52 3
2.
4−x 5
= d’où ( 4 - x) × 4 = 5 ×( 5 - x)
5−x 4
D’où 16 - 4x = 25 - 5x // 5x − 4x = 25 – 16 // x = 9
4-9 -5 5
Vérification
= = . Le nombre x est 9.
5-9 -4 4
Je cherche un nombre x tel que
PARTIE GEOMETRIQUE.
Exercice 1 : (2pts)
1. Le triangle ACO est isocèle en O donc OA = OC.
B est le symétrique de C par rapport à O
donc O est le milieu de [BC] et OB = OC.
Finalement OA = OC = OB.
Dans le triangle ABC, le milieu O de [BC] est
équidistant des trois sommets du triangle
d’où le triangle ABC est rectangle en A.
ou
ABC est un triangle O est le milieu de [BC]
et OA = OC = AB/2.
Si dans un triangle la médiane issue d’un sommet
mesure la moitié du côté opposé alors le triangle
est rectangle en ce sommet.
Donc ABC est un triangle rectangle en A.
2. ABC est un triangle rectangle en A
et O est le milieu de [BC].
Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle
est le milieu de son hypoténuse.
Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est O, milieu de [BC].
ou
OA = OB = OC donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Exercice 2 : (4pts)
1. a. La droite (MS) passe par le sommet M du triangle MAI et coupe le côté opposé [AI] perpendiculairement,
(MS) est la hauteur issue de M du triangle MAI.
Dans tout triangle isocèle la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane d’où S milieu de [AI] dans le
1
triangle MAI isocèle en M donc AS = AI.
AS = 5,5m.
2
 = MS // tan AMS
 = 5,5 = 55 = 11 donc AMS
 ≈ 65,6°.
b. Dans le triangle MAS rectangle en S, on a : tan AMS
AS
2,5 25 5
 = AO // AN × cos 
2. Dans le triangle ANO rectangle en O, on a : cosNAO
NAO = AO
AN
AO
4,5
AN =
// AN =
// AN ≈ 4,9m.
cosNAO
cos24°
Exercice 3 : (6pts)
1. et 3.a.
2. Dans le triangle RAS on a :
RS² + RA² = 6,4² + 4,8² = 64 et AS² = 8² = 64 On remarque
que RS² + RA² = AS² d’où d’après la réciproque du théorème
de Pythagore le triangle RAS est rectangle en R.
RM 4,8 48 6 3
RN 6 3
=
=
= = et
= =
RS 6,4 64 8 4
RA 8 4
Les droites (MS) et (NA) sont sécantes en R, de plus les
points R, M et S sont alignés dans le même ordre que les
RM RN
points R, N et A, de plus on a
=
d’où d‘après la
RS RA
réciproque du théorème de Thalès
les droites (MN) et (AS) sont parallèles.
3.b. On a :
c. Les droites (MS) et (NA) sont sécantes en R telles que (MN)//(SA) d’où d’après le théorème de Thalès, on a :
RM RN MN
MN 3
MN 3
3
=
=
d’où
= //
= // MN = 4,8 ×
MN = 3,6cm.
RS RA SA
SA 4
4,8 4
4
PROBLÈME
Partie A
Une compagnie de transport maritime met à disposition deux bateaux appelés CatamaranExpress et FerryVogue
pour une traversée inter-îles de 17 kilomètres.
1. 6 h 15 min  5 h 45 min = 30 min ou 0,5 h.
Vitesse moyenne en km/h : 17 km en une demi-heure donc 34 km/h.
17 km
= 0,85 h = 0,85  60 min = 51 min.
20 km/h
ou 20km/h correspond à 20km parcourus en 1 heure c'est-à-dire 1 km en 3 minutes.
Donc 17 km en 17×3=51 minutes.
Heure d’arrivée prévue : 6 h + 51 min = 6 h 51 min.
2. Durée de la traversée :
Partie B
On donne en document annexe les représentations graphiques C1 et C2 de deux fonctions.
L’une d’entre elles est la représentation graphique de la fonction affine g définie par :
g(x) = 10x + 60
Lectures graphiques : voir les tracés.
1. Coordonnées du point E : (7 ; 210 ).
2. Les coordonnées des points d’intersection des deux représentations graphiques sont (3 ; 90) et (15 ; 210),
donc les abscisses sont 3 et 15.
3. La représentation graphique de g est C2 car g est une fonction affine dont l’ordonnée à l’origine est 60.
4. L’image de 12 par la fonction g est 180.
Vérification par un calcul : g(12) = 10  12 + 60 = 120 + 60 = 180.
5. L’antécédent de 150 par la fonction g est 9.
Equation à résoudre pour vérifier par calcul : 150 = 10x + 60.
150  60 = 10x
10x = 90
x=
90
10
x=9
Partie C
La compagnie de transport maritime propose trois tarifs pour un voyage, quel que soit le bateau choisi :



Tarif M : on paie 25 euros à chaque voyage.
Tarif N : on paie une carte mensuelle à 60 euros auxquels s’ajoute 10 euros pour chaque voyage.
Tarif P : on paie 30 euros par voyage jusqu’au septième voyage puis on effectue gratuitement les autres
traversées jusqu’à la fin du mois.
1. C1 correspond au tarif P et C2 correspond au tarif N.
2. Soit C3 la représentation graphique de la fonction f définie par : f : x
25x.
(Fonction linéaire donc droite passant par l’origine et par exemple par le point de coordonnées (10 ; 250) : voir le
graphique)
3. Sur le graphique, on constate que le tarif N est plus avantageux que les deux autres au-delà de 4 voyages et
moins de 15 voyages. (Voir page suivante sous le graphique)
Prix à
payer
C3
260
C2
240
220
E
210
200
C1
180
160
150
140
120
100
90
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tarif le plus avantageux
0
17
Nombre de
voyages
15
4
M
C3 est « sous » C2 et C1
16
N
C2 est « sous » C1 et C3
P
C1 est « sous » C2 et
C3