Table des matières Listings 1 Tests Algorithmique et Matlab

Energétique I
Sup'Galilée
Méthodes Numériques II
Année 2013-2014
Travaux pratiques - E.D.O.
Durée : 8h00
8h30-12h30 et 13h30-17h30
Travail individuel et personnel
Table des matières
1 Tests Algorithmique et Matlab
1
2 Résolution numérique d'équations diérentielles ordinaires
2.1
2.2
2.3
Rappels de schémas numériques usuels . .
2.1.1 Schéma d'Euler progressif . . . . .
2.1.2 Schéma de la tangente améliorée .
2.1.3 Schéma de Runge-Kutta d'ordre 4
2.1.4 Méthodes d'Adams-Bashforth . . .
2.1.5 Méthodes d'Adams-Moulton . . . .
Schéma prédicteur-correcteur . . . . . . .
Travail à eectuer . . . . . . . . . . . . .
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3 Le pendule pesant
3.1
3.2
3.3
Position du problème et équations diérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Portrait de phase du pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Annexes
4.1
4.2
listings . . . . . . . . . . . .
Quelques E.D.O. du premier
4.2.1 Exemple 1 . . . . . .
4.2.2 Exemple 2 . . . . . .
4.2.3 Exemple 3 . . . . . .
. . . .
ordre
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4
4
4
4
4
4
5
5
5
8
8
8
9
11
11
12
12
12
12
Listings
1
2
3
4
edo1d.m . . . . .
redEUL1d.m . . .
PenduleMovie.m
PlotPendule.m .
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11
11
11
12
1 Tests Algorithmique et Matlab
On dispose, entre autres, de la fonction black et du programme Quadrillagefigure fournis. Dans le programme Quadrillagefigure l'appel à la fonction Quadrillage a été mis en commentaire.
1
Q. 1
Quadrillage(imin,imax,jmin,jmax) permettant de générer un quadrillage
imin à imax et les colonnes jmin à jmax. Voici un exemple avec la commande Quadrillage(-5,6,-3,7)
Ecrire la fonction Matlab
pour les lignes
représentant uniquement les traits noirs sur la gure :
quadrillage(−5,6,−3,7) et black(1,2)
6
5
4
3
2
ligne
1
0
−1
−2
−3
point (−3,−5)
point (−2,−4)
point (7,6)
point (8,7)
−4
−5
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
colonne
On peut tester cette fonction avec le programme
Quadrillagefigure
fourni pour obtenir la gure précédante.
On dispose de la fonction black(i,j) qui dessine un pavé noir en ligne i et colonne j d'un quadrillage. Voici
le résultat de la commande black(1,2) sur le quadrillage précédant.
Q. 2
Damier(imin,imax,jmin,jmax) permettant d'obtenir un damier, sur le quadrillage asQuadrillage(imin,imax,jmin,jmax)), sachant que le carré en bas à gauche est noir. Voici
Ecrire la fonction
socié (commande
un exemple d'utilisation :
Damier(−3,9,−5,13)
9
6
3
0
−3
−5
−2
1
4
Q. 3
7
10
13
Ecrire la fonction mosaiqueB(n) permettant de créer la mosaïque représentée en Figure 3 sur le quadrillage
Quadrillage(-n,n,-n,n)
2
mosaiqueB(23)
mosaiqueB(24)
24
22
21
19
18
16
15
13
12
10
9
7
6
4
3
1
0
−2
−3
−5
−6
−8
−9
−11
−12
−14
−15
−17
−18
−20
−21
−23
−23 −20 −17 −14 −11 −8
−5
−2
1
4
7
10
13
16
19
22
−24
−24 −21 −18 −15 −12 −9
−6
−3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
Figure 1 Résultat des commandes mosaiqueB(23) et mosaiqueB(24)
Q. 4
Ecrire la fonction mosaiqueC(n) permettant de créer la mosaïque représentée en Figure 4 sur le quadrillage
Quadrillage(-n,n,-n,n)
mosaiqueC(23)
mosaiqueC(24)
24
22
21
19
18
16
15
13
12
10
9
7
6
4
3
1
0
−2
−3
−5
−6
−8
−9
−11
−12
−14
−15
−17
−18
−20
−21
−23
−23 −20 −17 −14 −11 −8
−5
−2
1
4
7
10
13
16
19
22
−24
−24 −21 −18 −15 −12 −9
−6
−3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
Figure 2 Résultat des commandes mosaiqueC(23) et mosaiqueC(24)
A faire avant 10h30
Créer une archive compressée (format zip ou tar.gz) nommée <NOM>-TP1-Q1a4 contenant les chiers
Quadrillage.m, black.m, Damier.m, mosaiqueB.m, mosaiqueC.m et tout autre chier permettant l'éxecution de Damier.m, mosaiqueB.m et mosaiqueC.m. Ici <NOM> correspond évidemment à votre nom.
Envoyer un mail à votre enseignant de TP ayant pour sujet "<NOM> TP1 Q1a4" et en chier joint
l'archive compressée créée précédement.
3
2 Résolution numérique d'équations diérentielles ordinaires
Pour une explication détaillée voir le polycopié fourni CoursEDO.pdf
2.1 Rappels de schémas numériques usuels
Dénition 2.1 (problème de Cauchy)
f
avec
T
f
Soit
l'application continue dénie par
rt0 , t0
pt, y q
:
T s Rd
ÝÑ
ÞÝÑ
Rd
f pt, y q
Ps0, 8s. Le problème de Cauchy revient à chercher une fonction y dénie par
y : rt0 , t0 T s ÝÑ Rd
t
ÞÝÑ y ptq
continue et dérivable, telle que
y 1 ptq
y pt0 q
f pt, y ptqq,
y r0s P Rd .
@t P rt0 , t0
On note tn , n P v0, N w, une discrétisation régulière de rt0 , t0
Ts
T s, y rns
(2.1)
y ptn q et f rns f ptn , y rns q
(2.2)
2.1.1 Schéma d'Euler progressif
" rn 1s
y
y r0s
y rns
y pt0 q
hff rns ,
@n P v0, N 1w
(2.3)
Ce schéma est d'ordre 1.
2.1.2 Schéma de la tangente améliorée
" rn 1s
y
y r0s
y rns
y pt0 q
hff ptn
r s
h
n
2,y
r s q, @n P v0, N 1w
h n
2f
(2.4)
Ce schéma est d'ordre 2.
2.1.3 Schéma de Runge-Kutta d'ordre 4
rns
k1
rns
k2
r
ns
k3
rns
k4
y rn
s
1
f ptn , y rns q
rns
f ptn h2 , y rns h2 k 1 q
rns
h
h
f ptn 2 , y rns 2 k 2 q
rns
f ptn h, y rns hkk 3 q
r
n
s
r
ns
rns
2kk 2
2kk 3
y rns h6 pk 1
(2.5)
rns
k 4 q.
2.1.4 Méthodes d'Adams-Bashforth
On note f rns
f ptn , y rns q
h rns
3ff f rn1s .
2
h r
n 1s
r
ns
y
y
23ff rns 16ff rn1s 5ff rn2s .
12
h r
n 1s
r
ns
y
y
55ff rns 59ff rn1s 37ff rn2s 9ff rn3s .
24
Ces schémas sont explicites et leur ordre correspond au nombre de pas.
y rn
s
1
y rns
4
(2.6)
(2.7)
(2.8)
2.1.5 Méthodes d'Adams-Moulton
y rn
1
y rn
1
y rn
Ces schémas sont
s
y rns
s
y rns
y rns
s
1
h rn 1s
f
f rns .
2
h rn 1s
5ff
8ff rns f rn1s .
12
h rn 1s
9ff
19ff rns 5ff rn1s
24
(2.9)
(2.10)
f rn2s .
(2.11)
implicites et leur ordre correspond au nombre de pas plus un.
2.2 Schéma prédicteur-correcteur
Il s'agit là d'une des méthodes les plus employées. Une méthode de prédiction-correction procède en deux
temps : on fournit explicitement une valeur approchée de la solution au nième pas (soit y rn 1s ), puis on calcule la
valeur correspondante de f (soit f
alors une valeur corrigée ).
rn 1s
) et enn, on subsitue cette valeur dans un schéma implicite (on obtient
pour n variant de 0 à N 1 faire
Calculer une valeur approchée y rn
rn 1s
s par un schéma explicite ;
1
Evaluer f
f ptn 1 , y rn 1s q;
r
n 1s
y
q à l'aide d'un schéma implicite en remplaçant l'inconnue par y rn
npour
s q;
1
2.3 Travail à eectuer
Le but est de représenter graphiquement les erreurs données par plusieurs schémas et de retouver numériquement leur ordre. Pour celà il faudra pouvoir connaitre explicitement la solution du problème de Cauchy étudié.
Voir l'annexe 4.2 pour plusieurs exemples de problèmes de Cauchy avec solutions.
Q. 5
1. Ecrire les cinq fonctions Matlab suivantes correspondant à la résolution d'un problème de Cauchy :
[t,Y]=redEUP(f,a,b,yo,N) :
[t,Y]=redTGA(f,a,b,yo,N):
[t,Y]=redRK4(f,a,b,yo,N):
[t,Y]=redAB4(f,a,b,yo,N):
[t,Y]=redPC3(f,a,b,yo,N):
redEUP.m).
redTGA.m).
de Runge et Kutta d'ordre 4 (chier redRK4.m).
d'Adams-Bashforth d'ordre 4 (chier redAB4.m).
schéma d'Euler progressif (chier
schéma de la tangente améliorée (chier
schéma
schéma
schéma de type prédiction-correction utilisant les schémas d'Adams-
redPC3.m).
0
0
Ici les paramètres f,a,b,yo correspondent respectivement aux f , t , t
T, y r0s du problème de Cauchy
r
ns
(2.1-2.2). Enn, Y est le tableau contenant les y
, n P t0, , N u et t est le tableau contenant les n+1
n
nombres t , n P t0, , N u
Bashforth et dAdams-Moulton d'ordre 3 (chier
2. Ecrire le programme principal (chier
erreur.m)
permettant le calcul et le tracé des erreurs. Pour une
n
yn y n
méthode donnée le tracé de l'erreur correspond au tracé de l'ensemble des points
t0, , N u.
pt
, abspy r
s y pt
qqq, n P
Voir la gure 3 pour un exemple de tracé.
3. Ecrire le programme principal (chier
ordre.m)
permettant de calculer numériquement l'ordre des 5 sché-
mas et de le représenter.
Voir la gure 4 pour un exemple de tracé.
5
−4
EUP
x 10
−6
TGA
x 10
0.07
6
0.06
5
0.03
Erreur
4
0.04
Erreur
Erreur
0.05
AB4
1
3
2
0.02
1
0.01
0
0
0
5
t
−9
x 10
10
0
0
5
t
−5
RK4
x 10
6
2.5
5
2
10
0
5
t
10
PC3
Erreur
Erreur
4
3
1.5
1
2
0.5
1
0
0
0
5
t
10
0
5
t
10
Figure 3 Valeurs absolues des erreurs des 5 schémas
Ordre numerique des schemas
0
10
EUP : 1
AB4 : 4.0394
TGA : 1.9996
RK4 : 3.9771
PC3 : 2.9973
−5
Erreur en norme L∞
10
−10
10
−15
10
−3
10
−2
−1
10
10
h
Figure 4 Ordres des 5 schémas
6
0
10
A faire avant 12h30
Créer une archive compressée nommée <NOM>-TP1-Q5 contenant les chiers redEUP.m, redTGA.m,
redAB4.m, redRK4.m, redPC3.m, erreur.m et ordre.m. Ici <NOM> correspond évidemment à votre nom.
Envoyer un mail à [email protected] ayant pour sujet "<NOM> TP1 Q5" et en chier
joint l'archive compressée créée précédement.
7
3
Le pendule pesant
3.1 Position du problème et équations diérentielles
On considère un pendule de masse M , xé à une tige rigide de longueur L et de masse négligeable, dans un
milieu visqueux dont le coecient de viscosité vaut k. On note θ l'angle formé par le pendule et l'axe verticale :
il vérie l'équation diérentielle suivante (principe fondamental de la dynamique) :
θ2 ptq avec les conditions initiales
k 1
g
θ ptq,
sinpθptqq L
M L2
@t ¥ 0
θp0q θ0 et θ1 p0q θ01 .
θ0 est l'angle initial en radian et θ01 la vitesse angulaire initiale en radian/seconde.
(3.1)
(3.2)
L
θ
M
Figure 5 Pendule pesant
On peut prendre, par exemple, M 1kg, L 1m, g 9.8m.s2 et k 0.5U SI.
L'E.D.O. (3.1-3.2) ne peut être résolue de manière exacte. On se propose d'utiliser la méthode de RungeKutta d'ordre 4 pour l'étude des diérents types de mouvements possibles, suivant les conditions de l'expérience
(dans le vide k 0, dans l'air k 0.1, dans l'eau k 0.5,...) et les conditions initiales imposées (pendule lancé,
laché, ...). On souhaite ensuite tracer les deux courbes discrètes θptq et θ1ptq.
3.2 Résolution numérique
Q. 6 (Sur feuille)
1. Ecrire de manière détaillée le problème de Cauchy associé à (3.1-3.2).
2. Quelles sont les données du problème de Cauchy obtenu ? (avec leur type détaillé : entier, réel, complexe,
vecteur, matrice, fonction, ...)
3. Quelles sont les inconnues du problème de Cauchy obtenu ? (avec leur type détaillé : entier, réel, complexe,
vecteur, matrice, fonction, ...)
4. Expliquer, en détaillant, comment résoudre numériquement (3.1-3.2) par la méthode de Runge-Kutta d'or-
dre 4.
8
Q. 7 (Matlab)
1. Ecrire la fonction Matlab
fCauchy
(chier
fCauchy.m)
correspondant à la fonction
f
du problème de Cauchy associé à (3.1-3.2). (On pourra utiliser des variables globales pour les paramètres
physiques
g. Voir l'aide sur global de Matlab.)
fonction redRK4.m (déjà écrite dans le cas 1d)
M, k, L
2. Reprendre le
et
et la modier si besoin pour l'adapter à la
résolution de problèmes de Cauchy correspondant à des systèmes de
3. Ecrire le programme
prg4
(chier
prg4.m)
d
E.D.O. du premier ordre,
d ¡ 1.
permettant de représenter la position et la vitesse du pendule
au cours du temps.
PenduleMovie.m et de la fonction PlotPendule.m (voir annexe 4.1), écrire le
PenduleVideo.m permettant de réaliser une vidéo représentant le pendule en mouvement au
temps.
4. En s'aidant du programme
programme
cours du
A faire avant 15h30
Rendre la réponse à la question 6. N'oubliez pas d'écrire votre nom sur les documents rendus!
Créer une archive compressée nommée <NOM>-TP1-Q7 contenant les chiers fCauchy.m, prg4.m,
redrk4.m et PenduleMovie.m, ainsi que tout autre code nécessaire à l'exécution de prg4 et
PenduleMovie. Ici <NOM> correspond évidemment à votre nom.
Envoyer un mail à [email protected] ayant pour sujet "<NOM> TP1 Q7" et en chier
joint l'archive compressée créée précédement.
3.3 Portrait de phase du pendule
Le portait de phase du pendule (M, k et L xé) est la représentation des courbes paramétrées pxptq, y ptqq pθptq, θ1 ptqq calculée avec un grand nombre de données initiales (voir les gures 6 et 7)
Q. 8 (Sur feuille)
Soit le portrait de phase d'un pendule sans viscosité représenté en gure 6. A partir de
celui-ci,
pθp0q; θ1 p0qq A p5; 0q,
1
décrire le mouvement du pendule lorsque pθ p0q; θ p0qq B pπ; 1q,
1
décrire le mouvement du pendule lorsque pθ p0q; θ p0qq C pπ; 1q.
1. décrire le mouvement du pendule lorsque
2.
3.
Q. 9 (Sur feuille)
Soit le portrait de phase d'un pendule avec viscosité représenté en gure 7. A partir de
celui-ci,
pθp0q; θ1 p0qq E p0; 11q,
1
décrire le mouvement du pendule lorsque pθ p0q; θ p0qq F p6π; 10q.
1. décrire le mouvement du pendule lorsque
2.
Q. 10 (Matlab)
PPSansViscosite.m permettant de représenter le portrait de phase
M L 1 et k 0 (gure 6).
Ecrire le programme PPAvecViscosite.m permettant de représenter le portrait de phase du pendule de
paramètres M L 1 et k 0.5 (gure 7).
1. Ecrire le programme
du pendule de paramètres
2.
A faire avant 17h30
Rendre les réponses aux questions 8 et 9. N'oubliez pas d'écrire votre nom sur les documents rendus!
Créer une archive compressée nommée <NOM>-TP1-Q10 contenant les chiers PPSansViscosite.m et
PPSansViscosite.m, ainsi que tout autre code nécessaire à leur exécution. Ici <NOM> correspond évidemment à votre nom.
Envoyer un mail à [email protected] ayant pour sujet "<NOM> TP1 Q10" et en chier
joint l'archive compressée créée précédement.
9
Représentation des courbes paramétrées (θ(t),θ’(t))
8
6
4
2
θ’
B
A
0
C
−2
−4
−6
−8
0
5
θ
10
15
20
Figure 6 Pendule pesant sans viscosité - Portrait de phase
Représentation des courbes paramétrées (θ(t),θ’(t))
15
E
10
θ’
5
0
−5
F
−10
−15
−5
0
5
10
θ
15
20
25
Figure 7 Pendule pesant avec viscosité - Portrait de phase
10
30
4 Annexes
4.1 listings
Listing 1 edo1d.m
% Resolution
%
Trouver
du
y
probleme
solution
%
y ' ( t )=f ( t , y ( t ) ) ,
%
y ( a )=ya
% Utilisation
un
du
reel
Cauchy
( s c a l a i r e , m=1)
de
pour
t
dans
[a,b]
donne .
schema
% representation
de
d ' Euler
graphique
de
pour
la
la
resolution
solution
exacte
numerique
et
de
la
et
solution
% approchee .
clear a l l
close a l l
f=@ ( t , y ) y * sin ( t ) ;
y e x=@ ( t ) exp ( cos ( t ) ) ;
a =0; b =6* pi ;
[ t , y ]= r e d E U L 1 d ( f , a , b , y e x ( a ) , 2 0 0 0 ) ;
y E x=y e x ( t ) ;
figure ( 1 )
plot ( t , y , ' b ' , t , yEx , ' r ' )
legend ( ' E u l e r ' , ' E x a c t e ' )
xlabel ( ' t ' )
print d e p s c 2 e d o 1 d . eps
Listing 2 redEUL1d.m
function
[ t , Y ]= r e d E U L 1 d ( f , a , b , Y0 , n )
% Resolution
%
|
%
|
%
|
% par
du
Trouver
de
a v e c Y( a )=Y0 un
le
schema
:
fonction
% n
:
nombre
d ' Euler
du
Cauchy
fonction Y
Y' ( t )=f ( t ,Y( t ) ,
% f
probleme
la
:
pour
reel
( s c a l a i r e , m=1)
[a,b]
t
> R
dans
telle
que
[a,b]
donne .
explicite .
probleme
d' intervalles
de
Cauchy
dans
h =( b a ) / n ;
t=a : h : b ;
Y=zeros ( 1 , n +1) ;
Y ( 1 )=Y0 ;
for i =1: n
Y ( i +1)=Y ( i )+h * f ( t ( i ) , Y ( i ) ) ;
la
discretisation
de
[a,b]
end
Listing 3 PenduleMovie.m
% Creation
%
Matlab
%
Teste
clear a l l
close a l l
d ' un
fichier
avi
v e r s i o n >= 2010 b
avec
version
?
2012 b
F r a m e R a t e =30; S t e p =10;
T =5;
% temps f i n a l
N=T * F r a m e R a t e * S t e p ;
L =3; R = 0 . 2 ; % P a r a m e t r e s g r a p h i q u e s
% pour
simuler
la
t h e t a=@ ( t ) pi * t ;
t =0: T / N : T ;
rotation
:
du
pendule
physiquement
faux
( sauf
sans
viscosite
n=length ( t ) ;
figure ( 1 ) ;
%
writerObj = VideoWriter ( ' VideoTest . avi ' , ' Motion JPEG AVI ' ) ;
set ( w r i t e r O b j , ' F r a m e R a t e ' , F r a m e R a t e ) ;
open ( writerObj ) ;
11
et
en
apenseteur ! )
for j =1: S t e p : n
cla
PlotPendule ( L , R , theta ( t ( j ) ) ) ;
t i t l e ( s p r i n t f ( ' \\ t h e t a (% f ) =% f ' , t ( j ) , t h e t a ( t ( j ) ) ) )
axis on
drawnow
w r i t e V i d e o ( w r i t e r O b j , getframe ( gcf ) ) ;
end
close ( w r i t e r O b j ) ;
Listing 4 PlotPendule.m
function P l o t P e n d u l e ( L , R , t h e t a )
% Representation
d ' un
% et
disque )
R ( rayon
du
hold on
% axe
de
pendule
en
de
parametre
position
L
( longueur
angulaire
de
la
tige )
theta
rotation
plot ( 0 , 0 , ' ro ' )
y =[ L : 1 / 1 0 0 : 0 ] ;
% Coordonnee
de
la
tige
X= y * sin ( t h e t a ) ;
Y=y * cos ( t h e t a ) ;
plot ( X , Y , ' r ' )
C =[ L * sin ( t h e t a ) ; L * cos ( t h e t a ) ] ;
t =0: pi / 1 0 0 : 2 * pi ;
% Coordonnee
du
% Centre
du
disque
cercle
XC=C ( 1 )+R * cos ( t ) ;
YC=C ( 2 )+R * sin ( t ) ;
f i l l ( XC , YC , ' r ' ) ;
LL=L +2* R ;
axis e q u a l
axis ([ LL LL LL LL ] )
axis o f f
hold o f f
4.2 Quelques E.D.O. du premier ordre
4.2.1 Exemple 1
Soit α P R. L'E.D.O.
a pour solution y ptq sinptq
" 1
y ptq
cosptq,
α,
@t ¥ 0,
" 1
y ptq
sinptq,
β,
@t ¥ 0,
y p0q
α.
4.2.2 Exemple 2
Soit β
P R. L'E.D.O.
a pour solution y ptq cosptq
y p0q
1
β.
4.2.3 Exemple 3
L'E.D.O.
a pour solution y ptq exppcosptqq.
" 1
y ptq
y p0q
yptq sinptq, @t ¥ 0,
e expp1q,
12