Amélioration de la prévision des états de mer côtiers par une

Proposition de sujet de thèse AMU-DGA- 2016 – MRIS Domaine Environnement et Géosciences
Aix-Marseille Université – Ecole Doctorale de rattachement « Sciences pour l’ingénieur : Mécanique, Physique,
Micro et Nanoélectronique » (ED 353).
Amélioration de la prévision des états de mer côtiers par une modélisation
stochastique des interactions vague-vague entre triplets d’ondes.
Michel Benoit, professeur ([email protected])
IRPHE (Institut de Recherche sur les Phénomènes Hors-Equilibre) et Ecole Centrale Marseille
1. Résumé du sujet de thèse
Cette thèse vise à améliorer les modèles numériques de prévision des états de mer à court terme (i.e.
quelques minutes à quelques heures à l’avance) sur des sites côtiers ou en faible profondeur d’eau (i.e. dans
des zones où les effets de bathymétrie sur les vagues sont importants).
On vise une approche de modélisation stochastique (ou à phases moyennées) dans laquelle le champ de
vagues de surface est décrit de façon statistique au travers du spectre directionnel de variance (ou d’action) des
vagues. Il s’agit de développer et qualifier une formulation dans le domaine fréquentiel des
mécanismes d’interactions non-linéaires vague-vague dominants en faible profondeur d’eau relative,
à savoir des interactions quasi-résonantes entre trois ondes (appelées « triplets » ou « triads »).
Ces interactions jouent en effet un rôle primordial dans l’évolution du spectre de vagues en zone côtière quand la
profondeur d’eau est limitée et varie, notamment : formation de pics à des fréquences harmoniques de la
fréquence de pic du spectre, transferts d’énergie vers les basses fréquences (ondes infra-gravitaires), formation de
nouveaux pics directionnels pour les cas de spectres bimodaux.
Ces modifications de la forme du spectre de variance, correspondant à l’évolution des trains de vagues dans le
domaine physique (forme et hauteur des creux et des crêtes des vagues, asymétries horizontale et verticale du
profil des ondes, présence d’ondes longues, direction des vagues, etc.), sont fondamentales pour les applications
et opérations en domaine côtier. Disposer d’une connaissance ou d’une prédiction plus précises des conditions
d’états de mer est primordial pour par exemple maîtriser les conditions d’environnement pour la conduite
d’opérations en mer sur de courtes durées (interventions sur un site côtier, sauvetage, etc.), ou la
planification d’opérations à l’échelle de quelques heures à quelques jours à l’avance.
Les bénéfices attendus de l’amélioration des conditions d’états de mer côtiers concernent en particulier
l’estimation des hauteurs et de crêtes de vagues maximales, la prédiction des périodes et directions des vagues
côtières (et notamment pour les états de mer complexes, à plusieurs pics), l’estimation des efforts sur les navires
ou structures en mer, la connaissance du forçage hydrodynamique pour le transport des sédiments et la turbidité
des eaux côtières, la prédiction de l’agitation dans les bassins et darses portuaires, etc.
2. Descriptif détaillé du sujet de thèse
2.1 Contexte général de la thèse
La modélisation numérique des vagues de vent et houles à la surface de la mer peut être abordée via deux
grandes classes de méthodes : (i) les méthodes dites déterministes (ou à « résolution de phase ») qui modélisent
de façon déterministe l’évolution en espace et en temps d’un champ d’élévation de surface libre de la mer (et les
propriétés cinématiques associées), et (ii) les méthodes dites stochastiques (ou à « phases moyennées ») qui
modélisent l’évolution en espace et en temps de grandeurs moyennes (ou caractéristiques) de l’état de mer, par
exemple une hauteur significative de vague ou un spectre d’énergie des vagues. Les méthodes déterministes
offrent une représentation plus précise et complète du champ de vagues instantané (formes des vagues, crêtes et
creux, phases relatives des vagues dans un train d’ondes, etc.) car elles sont fondées sur des modèles
mathématiques proches des équations primitives d’Euler avec des hypothèses plus ou moins restrictives
concernant la prise en compte des effets non-linéaires et dispersifs (éq. de Laplace, Boussinesq, Serre-GreenNaghdi, Berkhoff pour citer quelques exemples). Toutefois, du fait des résolutions spatio-temporelles nécessaires
(typiquement 20 à 100 points par période et par longueur d’onde), ces méthodes demandent des ressources de
calcul importantes et sont généralement appliquées sur des domaines d’emprise limitée et sur des durées
relativement courtes. Par contre, les méthodes stochastiques peuvent être mises en œuvre sur des grilles dont la
taille de maille est de l’ordre ou significativement plus grande que la longueur d’onde caractéristique, et elles
utilisent des pas de temps également plus grands que la période des vagues, ce qui permet de traiter des grands
domaines (mers continentales, océans, et couverture mondiale des mers et océans) et simuler des durées longues
(plusieurs décennies pour les bases de hindcast de vagues). Le passage d’un formalisme déterministe à un
formalisme stochastique repose cependant sur plusieurs hypothèses (homogénéité spatiale locale, fermeture
statistique lors des opérations de moyennes des moments de l’élévation de surface libre,…), qui font que certaines
propriétés des modèles de départ (en particulier les non-linéarités du champ de vagues) ne sont pas triviales à
formuler et à modéliser précisément de façon stochastique.
Parmi les modèles à phases moyennées, les codes spectraux d’états de mer de 3ème génération, tels que WAM
(WAMDI Group, 1988), WaveWatch-III (Tolman, 1991 ; Tolman et al., 2002), Tomawac (Benoit et al., 1996) ou
SWAN (Booij et al., 1999), sont fondés sur une équation de flux de la densité spectro-angulaire d’action des
vagues, et intègrent des modélisations (plus ou moins paramétriques) des processus d’apport d’énergie par le
vent, de dissipation (par moutonnement, friction sur le fond, déferlement bathymétrique, etc.) et de transferts
non-linéaires vague-vague au sein du spectre. L’article de revue de l’état de l’art de Cavaleri et al. (2007) offre une
présentation très complète de ce type de modèles.
En domaine océanique et en profondeur d’eau intermédiaire, les mécanismes d’interactions vague-vague
dominants sont des interactions résonnantes de 3ième ordre, entre 4 ondes (quadruplets). Hasselmann (1962) et
Zakharov (1968) ont établi un modèle mathématique pour ces interactions dans un cadre faiblement non-linéaire.
Bien que le terme de transfert correspondant ne soit pas trivial à évaluer en pratique, des algorithmes existent et
sont utilisés opérationnellement dans les codes de 3ème génération mentionnés ci-avant (voir Benoit (2005) et le
§ 3 de Cavaleri et al. (2007) pour une comparaison de plusieurs de ces méthodes de calcul).
Cependant, en profondeur d’eau modérée ou faible et en zone côtière, les interactions dominantes sont des
interactions quasi-résonnantes entre 3 ondes : on parle d’interactions entre triplets de composantes ou triad
interactions. Une revue de ces interactions (mécanismes physiques et modélisations possibles) est proposée dans
le § 5 de Cavaleri et al. (2007). Ces interactions se manifestent notamment par l’apparition de pics à des
fréquences multiples de la fréquence de pic fp du spectre (i.e. à 2fp, 3fp, etc.), la génération d’ondes longues infragravitaires dans les basses fréquences, et éventuellement l’apparition de nouveaux pics directionnels dans le cas
de spectres bimodaux (i.e. spectres à 2 pics ayant chacun une fréquence de pic et une direction principale
différentes). Un exemple d’évolution de spectres de vagues sur un cas unidirectionnel (mesures en canal à vagues
sur un profil bathymétrique côtier) est présenté sur la figure 1, extraite de nos travaux antérieurs.
Figure 1 – En haut : schéma des essais en canal à vagues de Becq-Girard (1998), avec indication des positions
des sondes de mesure de vague. En bas : spectres de variance mesurés en 4 positions (sondes 2, 6, 9 et 12).
L’axe vertical est en échelle logarithmique pour mettre en évidence les transferts d’énergie au sein du spectre.
2.2 Programme de recherche de la thèse
Les interactions entre triplets de fréquences sont étudiées par la communauté scientifique depuis une vingtaine
d’années environ, d’abord sur la base de modèles de vagues déterministes, de type Boussinesq (e.g. Madsen et
Sørensen, 1993 ; Kaihatu et Kirby, 1995) ou Laplace dans une cadre potentiel (e.g. Agnon et al., 1993). Toutefois,
la formulation d’un terme de transfert pour les modèles d’états de mer stochastiques est un sujet encore
largement ouvert, et pour lequel il n’existe pas à ce jour de formulation mathématique pleinement satisfaisante.
On peut citer les travaux de thèse de Yasser Eldeberby (1996) ayant donné lieu à un modèle simplifié nommé LTA
(Lumped Triad Approximation) (Eldeberky et Battjes, 1995), mais qui s’est révélé par la suite une approximation
trop grossière sur les cas réels. Sur ce sujet, j’ai co-encadré avec Philippe Forget (MIO Toulon), la thèse de
Françoise Becq-Girard (1998), qui a permis de proposer un nouveau modèle, appelé SPB (Stochastic Parametric
model based on Boussinesq equations), et intégré dans le code Tomawac (voir aussi Becq-Girard et al., 1998,
1999). Un exemple de résultat de ce modèle SPB, comparé au modèle LTA, sur un cas de spectre incident bimodal
généré expérimentalement en bassin à vagues est présenté sur la Figure 2.
Citons aussi les travaux et propositions de modélisations de Herbers et Burton (1997), Polnikov (2000), Piscopia et
al. (2003), ainsi que la formulation DCTA (Distributed Collinear Triad Approximation) de Booij et al. (2009). Plus
récemment, la thèse de J. Salmon à TU Delft (Pays-Bas) a revisité ce sujet en repartant notamment du modèle
SPB de F. Becq-Girard. Salmon et al. (2014) montrent notamment que ce modèle SPB, légèrement modifié et
implémenté dans SWAN, donne de bien meilleurs résultats que le modèle LTA pour des cas réels (spectres
mesurés en zone côtière). Notre approche SPB constitue donc une base de départ solide, qui peut toutefois être
améliorée à la fois en termes de précision et de qualité des résultats et en termes d’efficacité. Salmon et al.
(2014) indiquent en effet que leur implémentation du modèle SPB demande beaucoup plus de temps CPU que la
méthode DCTA de Booij et al. (2009).
Figure 2 – Modélisation des interactions non-linéaires entre triplets de fréquences pour un spectre bimodal
généré en bassin à vagues. Comparaison des résultats d’une simulation linéaire (courbe bleue) avec les modèles
non-linéaires LTA (à gauche) et SPB (à droite). Calculs réalisés avec le code d’états de mer Tomawac.
L’objectif final de cette thèse est donc de proposer une modélisation stochastique améliorée du terme de transfert
non-linéaire entre triplets de fréquences pouvant à terme être implémentée dans des codes spectraux d’états de
mer opérationnels (WaveWatch-III, Tomawac, SWAN ou autre), prenant en compte les flux d’énergie vers les
basses et hautes fréquences, les interactions colinéaires et non-colinéaires, avec un domaine d’application en
termes de profondeur d’eau relative le plus large possible.
Pour mener à bien ces développements, l’analyse de moments spectraux d’ordres supérieurs sera nécessaire, en
particulier le bi-spectre, ou densité bi-spectrale d'auto-corrélation, définie comme la transformée de Fourier (en
deux dimensions) de la fonction d'auto-corrélation d'ordre 3 du signal (Hasselmann et al., 1963). L’analyse bispectrale a déjà été appliquée dans le cadre de la thèse de F. Becq-Girard (1998), et permet de caractériser les
composantes de vagues en interactions (voir exemple d’évolution de la bi-cohérence en zone côtière sur la
figure 3). Cette analyse est nécessaire pour améliorer et qualifier les relations de fermeture à utiliser dans la
formulation stochastique du modèle.
Le développement de cette modélisation s’appuiera également sur des modèles déterministes avancés pour les
vagues, en particulier sur un modèle potentiel complétement non-linéaire et dispersif de type Euler-Zakharov, via
le code Misthyc en cours de co-développement par le directeur de cette thèse (Yates et Benoit, 2015). Ces
simulations déterministes pourront être utilisées comme références sur des domaines à bathymétrie variable pour
mettre au point le modèle stochastique, et/ou le valider.
Enfin, des validations par comparaison à des spectres d’états de mer mesurés (en bassin à vagues ou en nature)
seront réalisées pour apprécier les performances et limitations du modèle développé, et démontrer son
applicabilité à l’échelle de la zone côtière. On s’intéressa aux paramètres synthétiques déduits du spectre (hauteur
significative, périodes de pic et moyennes, largeurs fréquentielles et directionnelles, etc.), mais également à la
structure des spectres de variance omnidirectionnels et directionnels (cf. figure 2 ci-avant).
Les travaux de développements théoriques, puis d’implémentation numérique et de validation donneront lieu à des
articles de revues scientifiques (journaux cibles : Journal of Fluid Mechanics, Physics of Fluids, Journal of Physical
Oceanography, Journal of Geophysical Research, Coastal Engineering, etc.) et à des présentations dans des
conférences scientifiques internationales.
Figure 3 – Evolution de la bi-cohérence en 4 sondes de mesure sur un essai réalisé par Becq-Girard (1998),
dont le profil bathymétrique est présenté sur la figure 1.
3. Laboratoire d’accueil de la thèse
La thèse sera réalisée au sein du laboratoire IRPHE (Institut de Recherche sur les Phénomènes Hors Equilibre),
UMR 7342 entre le CNRS, Aix-Marseille Université et l’Ecole Centrale Marseille, dans l’équipe Structures
Atmosphère Océan (SAO). [www.irphe.fr/?q=fr/-Interaction-Ocean-Atmosphere-]
Adresse : IRPHE, 49 rue Frédéric Joliot-Curie, BP 146, 13384 Marseille Cedex 13, France.
[www.irphe.fr]
4. Direction de thèse
La direction de la thèse sera assurée par Michel Benoit, Professeur des Universités (section 60) à l’Ecole Centrale
Marseille et chercheur à l’IRPHE (équipe SAO).
E-mail : [email protected] ou [email protected] - Tel : 06.81.34.35.90
Profil Google Scholar : https://scholar.google.fr/citations?user=EiMB7SgAAAAJ&hl=fr&oi=ao
Principaux atouts du laboratoire d’accueil et du directeur de thèse vis-à-vis de ce sujet :
1. Références dans le domaine de la modélisation stochastique des états de mer depuis 20 ans : développement
du code Tomawac (Benoit et al., 1996) ; contribution à l’article de synthèse de l’état de l’art de Cavaleri et al.
(2007) via la participation de M. Benoit au groupe de travail WAM (1991-1994), puis WISE (1995-présent).
2. Compétence reconnue également dans le domaine de la modélisation déterministe des vagues en côtier, avec
le développement de modèles non-linéaires de type Boussinesq (Lee et al., 2006), d’un modèle potentiel
double-couche (Chazel et al., 2009 ; Benoit et Chazel, 2013), et plus récemment du code Misthyc fondé sur
les équations non-linéaires d’Euler-Zakharov (Yates et Benoit, 2015 ; Benoit et al., 2014).
3. Expérience sur la thématique de la thèse proposée, suite à la thèse de Françoise Becq-Girard (1998), ayant
donné lieu à plusieurs publications (Becq-Girard et al., 1998, 1999) et à un algorithme de calcul opérationnel
implémenté dans le code Tomawac.
4. Approche scientifique des problèmes combinant analyse théorique, mesures expérimentales (en laboratoire),
modélisation mathématique et simulation numérique.
5. Références bibliographiques citées
Agnon, Y., Sheremet, A., Gonsalves, J., Stiassnie, M., 1993. A unidirectional model for shoaling gravity waves.
Coastal Engineering, 20, 29–58.
Becq-Girard F., 1998. Extension de la modélisation spectrale des états de mer vers le domaine côtier. Thèse de
l’Université de Toulon et du Var, soutenue le 26/11/1998.
Becq-Girard, F., Forget, P., Benoit, M., 1998. Numerical simulations of directionally spread shoaling surface
gravity waves. Proc. 26th Int. Conf. on Coastal Eng. (ICCE’1998), ASCE, 1, 523–536.
Becq-Girard, F., Forget, P., Benoit, M., 1999. Non-linear propagation of unidirectional wave fields over varying
topography. Coastal Engineering, 38, 91–113.
Benoit, M., Marcos, F., Becq-Girard, F., 1996. Development of a third generation shallow-water wave model with
unstructured spatial meshing. Proc. 25th Int. Conf. on Coastal Eng. (ICCE’1996), ASCE, 1, 465–478.
Benoit, M., 2005. Evaluation of methods to compute the non-linear quadruplets interactions for deep-water wave
spectra. Proc. Fifth Int. Symp. on Ocean Waves Measurement and Analysis, Madrid (Spain), 3–7 July 2005,
Waves 2005, ASCE, paper no. 52.
Benoit, M., Chazel, F., 2013. Validation expérimentale d'un modèle double-couche pour des vagues côtières nonlinéaires et fortement dispersives. Revue Paralia, 6, 7.1-7.16.
Benoit, M., Raoult, C., Yates, M.L., 2014. Fully nonlinear and dispersive modelling of surf zone waves: nonbreaking tests. Coastal Engineering Proc., 1(34), waves.15. doi: 10.9753/icce.v34.waves.15.
Booij, N., Ris, R.C., Holthuijsen, L.H., 1999. A third generation wave model for coastal regions, Part I: model
description and validation. Journal of Geophysical Research, 104 (C4), 7649–7666
Booij, N., Holthuijsen, L.H., Bénit, M.P., 2009. A distributed collinear triad approximation in SWAN. Proc. Coastal
Dynamics 2009 Conference.
Cavaleri, L., Alves, J.-H.G.M., Ardhuin, F., Babanin, A., Banner, M., Belibassakis, K., Benoit, M., Donelan, M.,
Groeneweg, J., Herbers, T.H.C., Hwang, P., Janssen, P.A.E.M., Janssen, T., Lavrenov, I.V., Magne, R.,
Monbaliu, J., Onorato, M., Polnikov, V., Resio, D., Rogers, W.E., Sheremet, A., McKee Smith, J., Tolman,
H.L., van Vledder, G., Wolf, J., Young, I. (the WISE group) 2007. Wave modelling – The state of the art.
Progress in Oceanography, 75(4), 603-674.
Chazel, F., Benoit, M., Ern, A., Piperno, S., 2009. A double-layer Boussinesq-type model for highly nonlinear and
dispersive waves. Proceedings of the Royal Society Series A, 465, 2319-2346.
Eldeberky, Y., Battjes, J.A., 1995. Parameterisation of triad interactions in wave energy models. Proc. Coastal
Dynamics’1995 Conference, 140-148.
Eldeberky, Y, 1996. Nonlinear transformation of wave spectra in the nearshore zone, Ph.D. thesis, Delft University
of Technology, Department of Civil Engineering, The Netherlands, 203 p. (Com.. Hydr. Geotech. Eng., 96–4)
Hasselmann, K., 1962. On the non-linear energy transfer in a gravity-wave spectrum. Part 1. General theory.
Journal of Fluid Mechanics, 12, 481–500.
Hasselmann, K., Munk, W., Mac Donald, G., 1963. Bispectra of ocean waves. Extrait de "Time series analysis", Ed.
M. Rosenblatt, Wiley Ed., 125-139.
Herbers, T.H.C., Burton, M.C., 1997. Nonlinear shoaling of directionally spread waves on a beach. Journal of
Geophysical Research, 102, 21101–21114.
Kaihatu, J.M., Kirby, J.T., 1995. Nonlinear transformation of waves in finite water depth. Physics of Fluids, 7,
1903–1914.
Lee, E-S., Violeau, D., Benoit, M., Issa, R., Laurence, D., Stansby, P., 2006. Prediction of wave overtopping on
coastal structures by using extended Boussinesq and SPH models. Proc. 30th Int. Conf. on Coastal Eng.
(ICCE'2006), 3-8 September 2006, San Diego (California, USA), 4727-4739.
Madsen, P.A., Sørensen, O.R., 1993. Bound waves and triad interactions in shallow water. Ocean Engineering,
20(4), 359-388.
Piscopia, R., Polnikov, V., De Girolamo, P., Magnaldi, S., 2003. Validation of the three-wave quasi-kinetic
approximation for the spectral evolution in shallow water. Ocean Engineering, 30, 579–599.
Polnikov, V.G., 2000. Numerical experiments based on a three-wave quasi-kinetic model for describing the
evolution the spectrum of shallow-water waves. Izvestiya Atmospheric and Oceanic Physics, 36, 510–521.
Salmon, J., Holthuijsen, L., Smit, P., Van Vledder, G., & Zijlema, M. (2014). Alternative source terms for SWAN in
the coastal region. Coastal Engineering Proc., 1(34), waves.22. doi: 10.9753/icce.v34.waves.22
Tolman, H.L., 1991. A third generation model for wind waves on slowly varying, unsteady, and inhomogeneous
depths and currents. Journal of Geophysical Research, 21, 782–797.
Tolman, H.L., Balasubramaniyan, B., Burroughs, L.D., Chalikov, D.V., Chao, Y.Y., Chen, H.S., Gerald, V.M., 2002.
Development and implementation of wind generated ocean surface wave models at NCEP. Weather and
Forecasting, 17, 311–333.
WAMDI group (13 authors), 1988. The WAM model - a third generation ocean wave prediction model. Journal of
Physical Oceanography, 18(12), 1775-1810
Yates, M.L., Benoit, M., 2015. Accuracy and efficiency of two numerical methods of solving the potential flow
problem for highly nonlinear and dispersive water waves. International Journal for Numerical Methods in
Fluids, 77(10), 616-640.
Zakharov, V., 1968. Stability of periodic waves of finite amplitude on the surface of a deep fluid. Journal of Applied
Mechanics, 4, 86–94.