REFLEXION D`UNE ONDE PROGRESSIVE

Chapitre 4
REFLEXION D’UNE ONDE PROGRESSIVE ONDE STATIONNAIRE
Plan du chapitre :
4-1 Position du problème
4-2 Onde stationnaire
4-3 Exemple de réflexion d’une onde sonore
4-4 Réflexions multiples. Résonances
4-5 Problèmes
4-1 Position du problème
Dans les chapitres précédents, nous nous sommes intéressés aux ondes planes
progressives. Considérons de nouveau une onde plane se propageant dans la direction des x
croissants et décrite par : u(x,t ) = f (t − x / c) , f pouvant être par exemple une fonction
sinusoïdale. Si cette onde rencontre un obstacle ou doit changer de milieu, elle subit alors une
réflexion éventuellement partielle et donne naissance à deux ondes : une onde transmise allant
elle aussi vers les x croissant et une onde réfléchie allant vers les x décroissants.
Onde incidente
Onde transmise
Onde réfléchie
Figure 4-1 : Principe de réflexion d’une onde
Par exemple, on peut créer une onde acoustique en déplaçant un piston à l’extrémité
d’un tuyau ou en soufflant dans une flûte. Mais l’extrémité du tuyau va jouer un rôle. Cette
extrémité peut être fermée par un piston par exemple et on comprend bien que l’onde sonore
émise va se réfléchir. Cette extrémité peut être ouverte, ce qui constitue une perturbation pour
l’onde qui va, là encore, être réfléchie mais dans des conditions différentes.
Dans le premier milieu, les ondes incidentes et réfléchies vont se superposer et donc
s’additionner et on pourra voir apparaître une onde stationnaire.
Quelles sont donc les caractéristiques de l’onde réfléchie et de l’onde transmise ? Pour
bien comprendre le phénomène, nous allons considérer une onde incidente sinusoïdale de
pulsation ω, de longueur d’onde λ, d’amplitude A et de phase ϕ à l’origine, en prenant
comme origine le point qui correspond à la position de la perturbation.
* les pulsations de l’onde réfléchie et de l’onde transmise sont les mêmes que la pulsation de
l’onde incidente ; les fréquences et les périodes temporelles sont donc les mêmes.
ωr = ω ; ωt = ω
Ondes 4-1
* En conséquence, la longueur d’onde de l’onde réfléchie est la même que celle de l’onde
incidente car elle se propage dans le même milieu. Par contre ce n’est pas nécessairement le
cas pour l’onde transmise puisqu’elle se propage éventuellement dans un milieu différent
(célérité c’). L’onde transmise se propage vers les x croissant, mais l’onde réfléchie se
propage vers les x décroissant.
c
k r = −k ; k t = k
c'
* Les ondes réfléchies et transmises, dans le cas d’ondes sinusoïdales, vont être caractérisées
par leur amplitude et leur phase à l’origine ou en un point donné. Pour les déterminer, il faut
dans chaque cas considérer les conditions de passage au niveau de la perturbation. Il y a
conservation de l’énergie : la puissance transportée par l’onde incidente doit se répartir entre
l’onde réfléchie et l’onde transmise (attention aux signes). Ceci donne une première relation
entre les amplitudes. L’autre condition est donnée par exemple par la continuité d’une autre
grandeur physique de part et d’autre de la frontière, par exemple le déplacement pour la corde
vibrante ou le débit dans le cas des ondes sonores. C’est cette grandeur physique qu’il est
essentiel de considérer dans le problème et il est utile de changer d’origine si nécessaire en
prenant comme nouvelle origine le point de réflexion , c’est-à-dire la frontière.
************
4-2 Onde stationnaire
Il y a donc, dans une certaine partie de l’espace, superposition entre deux ondes de
même fréquence se propageant dans des directions opposées. Si l’onde incidente est
sinusoïdale, l’onde réfléchie le sera aussi. Toute grandeur physique associée à l’onde s’écrit
donc :
u = A cos(ωt − kx + ϕ ) + Ar cos(ωt + kx + ϕ r )
Examinons d’abord le cas où l’onde réfléchie a la même amplitude que l’onde
incidente, c’est le cas quand il n’y a pas d’onde transmise.
u = A cos(ω − kx + ϕ ) + A cos (ω + kx + ϕ r )
⎛a +b⎞ ⎛a−b⎞
En utilisant l’identité : cos a + cos b = 2 cos⎜
⎟ cos⎜
⎟ , on peut écrire :
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
ϕ + ϕr ⎞ ⎛
ϕ −ϕ ⎞
⎛
u = 2 A cos⎜ ω t +
⎟ cos⎜ kx + r
⎟
2 ⎠ ⎝
2 ⎠
⎝
Figure 4-2 : Représentation schématique d’une onde
stationnaire : le déplacement u est représenté
u
shématiquement en fonction du point considéré pour
différents temps. En certains points ce déplacement est
nul quelque soit le temps, ce sont les noeuds. Pour les
x
autres points le déplacement oscille au cours du temps
entre deux valeurs opposées. Les points où l’amplitude de
vibration est maximale sont appelés ventres.
Contrairement à une onde progressive sinusoïdale, l’amplitude de vibration du signal
n’est pas la même suivant la position du point. Pour certains points de l’espace, ceux pour
ϕ −ϕ ⎞
⎛
lesquels cos⎜ kx + r
⎟ = 0 , il n’y aucune variation de la grandeur physique ; on parle
2 ⎠
⎝
alors de nœud. Ces nœuds sont séparés d’une distance λ/2.
Ondes 4-2
ϕ −ϕ ⎞ π
⎛
Soit ⎜ kx + r
⎟ = + nπ , n entier
2 ⎠ 2
⎝
ϕ − ϕr
2π
λ
λ
+ n pour les noeuds
Or k =
, d’où xn = + λ
λ
4
4π
2
Au niveau de tous les autres points de l’espace, la grandeur physique u oscille dans le
temps mais l’amplitude des oscillations dépend du point x ; elle est maximale pour certains
points de l’espace appelés ventres
ϕ −ϕ ⎞
⎛
⎜ kx + r
⎟ = nπ
2 ⎠
⎝
ϕ − ϕr
λ
+ n pour les ventres.
soit xn = λ
4π
2
Les nœuds sont donc séparés de λ/2. Les ventres sont aussi séparés de λ/2. Un
nœud et un ventre consécutif sont séparés de λ/4.
On parle d’onde stationnaire car il n’y a pas propagation d’énergie : la puissance
transportée par l’onde réfléchie est égale en valeur absolue à la puissance transportée par
l’onde incidente mais dans le sens opposé ; le bilan est donc nul.
♦ Exercice4-1. On représente le déplacement u d’une onde en fonction du temps en deux
points différents. Parmi ces trois ondes, laquelle est une onde progressive, une onde
stationnaire, une combinaison des 2?
1
1
1
0.5
0.5
0.5
1
-0.5
2
3
1
4
1
2
3
2
3
4
4
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
♦ Exercice 4-2. (Mathématica)
Représenter en animation une onde incidente u= cos(2π (νt-νx/c)) par exemple pour
x compris entre –3 et 3 , t variant de 0 à 30 et ν=1/30, c=1/25. Représenter ensuite une onde
réfléchie ur= cos(2π (νt+x)) et enfin la somme des deux. Visualiser ainsi l’onde stationnaire.
Situer les nœuds et les ventres.
Même chose en changeant les paramètres notamment la phase de l’onde incidente. On
prendra par exemple un déphasage de π/3 en x=0.
Solution sans déphasage :
nu=1/30
c=1/25
u[x_,t_] :=Cos[2 Pi nu (t-x/c)]
Table[Plot[u[x,t],{x,-3,3},PlotRange->{{-1,1},{-3,3}}],{t,0,30}]
ur[x_,t_] :=Cos[2 Pi nu (t+x/c)]
Table[Plot[ur[x,t],{x,-3,3},PlotRange->{{-1,1},{-3,3}}],{t,0,30}]
Table[Plot[ur[x,t]+u[x,t],{x,-3,3},PlotRange->{{-2,2},{-3,3}}],{t,0,30}]
----Ondes 4-3
Dans le cas d’une onde sonore, nous avons vu qu’il existe différentes grandeurs
physiques associées à cette onde, notamment la pression acoustique :
δρ
∂u
=−
= χδP , u étant le déplacement des molécules.
ρ0
∂x
♦ Exercice 4-3. : Montrer que les ventres de déplacements correspondent aux nœuds de
pression acoustique et réciproquement.
♦ Exercice 4-4. : Que se passe-t-il si l’amplitude de l’onde réfléchie est inférieure à celle de
l’onde incidente, ce qui sera le cas en présence d’une onde transmise ?A-t-on toujours une
onde stationnaire ? Seulement une onde stationnaire ? (Visualiser si nécessaire avec
Mathématica)
Définition du taux d’onde stationnaire (TOS) :
Si une onde n’est que partiellement réfléchie, la superposition de l’onde incidente
d’amplitude A et de l’onde réfléchie d’amplitude Ar produit partiellement une configuration
d’onde stationnaire :
A-A r
A+A r
Figure 4-3 : Taux d’onde stationnaire
Le rapport d’onde stationnaire (appelé ROS ou TOS) est défini par TOS=ROS=
Amax A + Ar
=
. C’est ce qu’il est, dans certains cas, facile de mesurer si l’on est capable
Amin A − Ar
d’avoir accès à l’amplitude du signal. Si on mesure l’intensité, alors on a plutôt accès à ROS2.
Le pouvoir réflecteur est le rapport entre la puissance moyenne de l’onde réfléchie et
⎛ Ar ⎞ 2
celle de l’onde incidente : R = ⎜ ⎟ , R étant alors compris entre 0 et 1. On peut remarquer
⎝ A⎠
2
⎛ ROS − 1⎞
⎟ .
R=⎜
⎝ ROS + 1⎠
On peut aussi se poser la question suivante :
EXISTE-T-IL DES ONDES STATIONNAIRES DECRITES PAR u(x,t)= f(t)g(x) AUTRES
DES ONDES SINUSOÏDALES ?
Il faut que u(x,t) vérifie l’équation d’onde pour tout x et pour tout t :
∂ 2u
∂2f
g
x
=
(
)
∂t 2
∂t 2
2
2
∂g 1
∂ f
D’où : f (t) 2 = 2 g(x) 2
∂x
c
∂t
1 ∂ 2g 1 1 ∂ 2 f
=
Séparons les variables :
g ( x) ∂x 2 c 2 f (t ) ∂t 2
Ondes 4-4
∂ 2u
∂ 2g
f
t
=
(
)
∂x 2
∂x 2
QUE
Le membre de droite est fonction de t seulement alors que le membre de gauche n’est
fonction que de x. donc ils sont égaux à la même constante a.
1 ∂ 2g 1 1 ∂ 2 f
=
=a
g ( x) ∂x 2 c 2 f (t ) ∂t 2
∂ 2g
∂2f
= ac 2 f (t )
2 = ag(x)et
2
∂x
∂t
a ne peut être négatif. En effet, si a est positif, f(t) est soit une exponentielle croissante
ce qui est physiquement impossible soit une exponentielle décroissante dont la valeur décroît
dans le temps. Donc a est négatif ; les solutions sont donc des fonctions sinusoïdales…De
plus, nous avons déjà vu que l’équation d’onde est linéaire, c’est-à-dire que la somme de deux
solutions de cette équation est aussi solution.
Donc les solutions stationnaires de l’équation d’onde sont donc des combinaisons
linéaires de fonctions sinusoïdales.
♦ Exercice 4-5.: Considérer une onde stationnaire, superposition de deux ondes
progressives de même amplitude se propageant dans des directions Pour chacune des ondes
progressives, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle sont égales. Est-ce le cas pour l’onde
stationnaire ? Prendre le cas d’une onde sonore stationnaire décrite par le déplacement
vibratoire : u=acos(ωt-kx) + acos(ωt+kx).
Attention, pour une onde stationnaire énergie potentielle et énergie cinétique ne
sont pas égales, contrairement au cas d’une onde progressive.
********
4-3 Exemple de réflexion d’une onde sonore :
Onde sonore rencontrant un milieu d’impédance acoustique différente du milieu incident.
Examinons le passage d’une onde progressive sonore entre deux milieux d’impédance
acoustique différente, par exemple :
i
r
Figure 4-4 : Passage
impédance plus faible
i
t
vers
une
r
Figure 4-5 : Passage à une impédance
quasiment infinie
1
, il suffit par exemple de changer la
χcS
dimension du tube dans lequel se propage l’onde sonore. C’est ce qui se passe quand l’onde se
propage dans un tuyau ouvert à une extrémité: après l’ouverture, la section peut être
considérée comme infinie et donc l’impédance est nulle alors que la compressibilité et la
vitesse de propagation sont les mêmes. Si par contre on ferme le tuyau par un piston rigide, le
produit χc de la compressibilité du matériau qui constitue le piston par la vitesse de
L’impédance acoustique étant donnée par Z =
Ondes 4-5
propagation du son dans ce matériau est plus faible que dans l’air et l’impédance de ce milieu
est alors plus grande qu’au niveau du tube rempli d’air.
Repérons par le point A la position de la frontière entre les deux milieux. Choisissons
les grandeurs physiques les plus pertinentes pour décrire les lois de conservation au passage
en A. Il est clair que le débit doit se conserver, car il y a conservation de la matière.
Au point A dans le milieu incident:
Q(A, t) = Q i (A, t) + Q r (A,t)
Au point A, dans le second milieu: Q(A, t) = Q t (A,t) .
On en déduit donc: Q i (A, t) + Q r (A,t) = Q t (A, t)
Rem : dans le cas d’un piston qui ferme le tube, Q i (A, t) + Q r (A, t) = Q t (A, t) = 0
De même, il est clair que la puissance transportée se conserve (conservation de l’énergie)
Pi (A,t) + Pr (A,t) = Pt (A,t) ,
c’est-à-dire:
δpi (A,t)Qi (A,t) + δpr (A,t)Qr (A,t) = δpt ( A,t )Qt (A,t)
ZQ i 2 (A, t) − ZQ r 2 (A, t) = Z' Q t 2 (A, t) .
En combinant avec l’équation de conservation du débit, on en déduit:
ZQ i (A, t) − ZQ r (A, t) = Z' Q t (A, t)
c’est-à-dire: δpi (A,t) + δpr (A,t) = δpt (A,t)
A partir des deux équations:
Q i (A, t) + Q r (A,t) = Q t (A, t)
ZQ i (A, t) − ZQ r (A, t) = Z' Q t (A, t) ,
on peut déduire:
2Z
Qt ( A, t ) =
Qi ( A, t )
Z + Z'
Z − Z'
Qr ( A, t ) =
Qi ( A, t )
Z + Z'
soit:
2Z '
δpt ( A, t ) =
δpi ( A, t )
Z + Z'
Z' − Z
δpi (A,t)
δpr (A,t) =
Z + Z'
Pour définir correctement un coefficient de réflexion ou de transmission, on va
comparer les puissances transmises et réfléchies à la puissance incidente:
Pt ( A, t ) = Qt ( A, t )δpt ( A, t ) =
4 ZZ '
Qi ( A, t )δpi ( A, t )
(Z + Z ' ) 2
Ondes 4-6
Pr (A,t) = Qr (A,t)δpr (A,t) =
−(Z − Z' )2
2 Qi (A,t)δpi (A,t)
(Z + Z' )
On en déduit donc:
T=
Pt (A,t)
4ZZ'
=
Pr ( A,t ) (Z + Z' )2
R=
Pr (A,t) (Z − Z' ) 2
=
2
Pr (A,t) (Z + Z' )
♦ Exercice 4-6.: Montrer que 1=R+T
Cas particuliers:
- tuyau ouvert: Z’=0: δpt (A,t) = 0 et donc δpr (A,t) = −δpi (A,t)
Il y a un nœud de pression à l’extrémité . En fait ce nœud n’est pas exactement au niveau du
point A mais décalé d’une longueur qui est de l’ordre de grandeur du diamètre du tuyau.
-
tuyau fermé: Z’=∞ et donc Q t (A,t) = 0 , Q r (A,t) = −Q i (A,t)
Il y a un nœud de débit au niveau de la fermeture.
Dans les deux cas R=1 et T=0.
Onde transmise générée:
En un point x quelconque:
x − xA
Q t (x, t) = Q t (A, t −
)
c'
En notation complexe : Qˆ t (x) = Qˆt (A)exp[−ik' (x − x A )]
Onde réfléchie générée:
en un point x quelconque: Q r (x, t) = Q r (A, t +
x −xA
)
c
En notation complexe : Qˆ r (x) = Qˆr (A)exp[ik(x − x A )]
*********
4-4 Réflexions multiples -Résonance
Cas du tuyau sonore
Considérons les expérience suivantes :
Figure 4-6 : Tuyau fermé
Figure 4-7 :
l’extrémité
Ondes 4-7
Tuyau
ouvert
à
Interrogeons nous sur le devenir de l’onde réfléchie. Après avoir été produite à
l’extrémité droite du tuyau, elle se redirige vers le piston où elle va être réfléchie à son tour et
ainsi de suite. Certaines ondes stationnaires vont donc s’établir plus facilement et l’on parle de
résonance.
Dans le cas du tuyau fermé :
Fig 4-8 : Ondes stationnaire dans un tuyau fermé aux deux extrémités
(représentation du débit)
Si on admet que les conditions de réflexions sont identiques aux deux extrémités, cela
implique que, en x=0 et en x=L, l’onde stationnaire présente des nœuds de déplacement. Ceci
entraîne donc une condition sur la valeur de la longueur d’onde. En effet, deux nœuds sont
séparés par un nombre entier de fois λ/2. Donc seules certaines longueurs d’onde vont
permettre l’établissement d’ondes stationnaires correctes :
λp
2L
2
p
Ces longueurs d’onde correspondent à des pulsations ou des fréquences particulières :
c
νp = p
2L
Dans le cas du dessin de la figure 4-8 : p=4
L=p
, soit λ p =
La fréquence correspondant à p=1 (c/2L) est appelée fréquence fondamentale. Les autres
fréquences qui sont des multiples entiers de cette fréquence fondamentale s’appellent les
harmoniques. Le calcul complet est proposé en problème dans la suite.
♦ Exercice 4-7.:Représenter l’onde stationnaire pour p=1, p=2, p=3
Cas d’un tuyau ouvert à une extrémité et fermé à l’autre
Fig 4-9. Onde stationnaire dans un tuyau fermé à une extrémité et ouvert à l’autre
(représentation du débit)
1 λp
Les conditions sur la longueur d’onde deviennent : L = (p + ) , c’est-à-dire
2 2
c
1 c
= (2p + 1)
νp = ( p + )
4L
2 2L
Les fréquences correspondent sont donc des multiples impairs de la fréquence fondamentale
qui est maintenant égale à c/4L.
Ondes 4-8
♦ Exercice 4-8.: A quelle harmonique correspond le dessin de la figure 4-7 . représenter les
ondes stationnaires correspondant aux harmoniques inférieures.
♦ Exercice 4-9.: Examiner le cas d’un tuyau ouvert aux deux bouts
Remarques sur les instruments à vent
Certains instruments de musique à vent fournissent une réalisation approchée de
tuyaux ouverts ou fermés
- la flûte est un tuyau cylindrique ouvert aux deux bouts
- la clarinette est ouverte à un bout mais fermée à l’embouchure.
- les tuyaux d’orgue sont ouverts à une extrémité et sont soit fermés soit ouverts du côté de
l’embouchure.
Il est important de noter que dans un tuyau ouvert, le nœud de pression n’est pas
exactement situé dans le plan terminal du tuyau mais un peu au-delà à une distance
proportionnelle au diamètre du tuyau. On introduit alors une longueur effective un peu
supérieure à la longueur réelle.
- il est difficile d’imaginer un tuyau strictement fermé au deux bouts. On pourrait imaginer
établir un système d’ondes stationnaires à l’aide d’un piston que l’on pourrait isoler par la
suite ; mais d’inévitables pertes d’énergie (il y en fait un peu de transmission dans les
parois) provoqueraient un amortissement de l’onde dont l’amplitude décroîtrait avec le
temps.
Cas de la corde vibrante
Ce problème a été abordé pendant les séances de Travaux Pratiques. La corde étant
attachée au deux bouts (ce sera vrai dans tous les instruments à corde), le déplacement est
donc nul aux deux extrémités. On va donc retrouver les mêmes conditions de résonance que
pour un tuyau fermé (ou bien ouvert) aux deux bouts à savoir :
λ
c
2L
p T
L = p p , soit λ p =
et donc νp = p =
.
2
2L 2L µ
p
Une corde tendue de longueur L vibre donc à des fréquences particulières: la fréquence
fondamentale (p=1) et des fréquences multiples de cette fréquence fondamentale ou
harmoniques. Cette fréquence fondamentale dépend de la longueur de la corde et de la célérité
c des ondes mécaniques transverses sur cette corde, célérité qui dépend elle-même de la
tension T et de la masse linéique de la corde. En vibrant la corde déplace de l'air autour d'elle
et engendre une onde sonore de même fréquence que celle avec laquelle elle vibre. D'où le
son généré par une guitare ou un piano.
Pour augmenter la fréquence sonore générée par une corde vibrante, on peut:
- diminuer sa longueur (en la pinçant par exemple)
- augmenter la tension (réglage des cordes dans tout instrument à corde)
- diminuer sa masse linéique (comparer la section des cordes dans un piano);
Si on excite la corde en la pinçant ou n la frappant, on obtient en général la superposition de
différents modes, soit:
⎡ πpx ⎤
u(x,t ) = ∑ a p sin ⎢
⎥ cos 2πν p t + ϕ p
⎣ L ⎦
p=1
[
Ondes 4-9
]
⎡ πpx ⎤
u(x,t ) = ∑ a p sin ⎢
⎥ cos 2πpν 1t + ϕ p
⎣ L ⎦
p=1
[
]
Les valeurs de ap et ϕp dépendent de la façon dont on a excité la corde initialement.
Par exemple, si on l'a juste déplacée sans lui donner de vitesse initiale, toutes les phases ϕp
seront nulles ; l'amplitude ap de chacun des modes dépend de la forme de la déformation qu'on
lui a fait subir (voir le chapitre 6 , l'option découvertes expérimentales ou le site web pour une
simulation).
Ondes 4-10
4-5 PROBLEMES et exercices complémentaires
♦ Exercice 4-10. (extrait d'un contrôle continu S3 2002-03)
Dans l’expérience du tube sonore utilisé en TP et ouvert aux deux bouts, on mesure
une amplitude sonore importante pour les fréquences suivantes , le générateur ne délivrant pas
de fréquence en-dessous de 1000Hz, 1020Hz, 1360 Hz, 1700Hz, 2040 Hz…
On prendra la vitesse du son dans l’air égale à 340 ms-1.
* Déterminer la valeur de la fréquence fondamentale
* En déduire la longueur du tuyau.
* Représenter schématiquement l’onde sonore dans le tuyau pour les quatre fréquences
ci-dessus.
♦ Exercice 4-11.Onde stationnaire sur une corde
Le mouvement d’une corde est représenté par:
⎛ πx ⎞
u = a sin ⎜ ⎟ cos(4πt)
⎝ b⎠
avec a= 0.04m et b=0.4m. t est exprimé en seconde et x en mètre.
-
Quelle est la fréquence de l’onde? Quelle est sa longueur d’onde? Quelle est la vitesse de
propagation ou célérité de l’onde sur la corde?
Où sont situés les nœuds de vibration? Les ventres?
Exprimer l’énergie cinétique par unité de longueur et l’énergie potentielle par unité de
longueur en notant T la tension et µ la masse linéique de la corde. Les comparer.
Conclusion?
Trouver les expressions des deux ondes progressives dont la résultante conduit à cette
onde stationnaire. Déterminez notamment leur amplitude et leur phase
♦ Exercice 4-12.Ondes stationnaires et résonance
1- Un puits ayant des parois verticales et de l’eau au fond résonne à 7 Hz et jamais à
fréquence plus basse. L’air dans le puits a une densité de 1.1 kg m-3, la pression est la
pression normale (γ= 7/5). Quelle est la profondeur du puits?
2- On accorde un violon à une note donnée (fréquence fondamentale). Quelle doit être
l’augmentation relative de tension de la corde pour qu’elle émette une note à la fréquence
double (un octave plus élevée)?
3- Une corde de violon de 50 cm de long est fixée en ses deux extrémités, sa masse est 2g.
La corde produit le son La (440Hz). A quel endroit faut-il maintenir la corde appuyée
pour produire un Do (528Hz)?
4- Un petit haut-parleur dont la fréquence varie entre 1000 et 2000 Hz est placé au voisinage
d’un tuyau cylindrique de 45 cm de long ouvert aux deux extrémités. Si la vitesse du son
dans l’air est 300 ms-1, à quelles fréquences y a-t-il résonance? Ou sont situés les nœuds
pour chacune des résonances?
Problème 1 : Onde stationnaire sur une corde
Soit une corde tendue entre deux points A et B distants de 1m. Il s’agit d’une corde en
acier de diamètre 0.24 mm tendue par une tension de 10N (masse volumique de l’acier :7.8
Ondes 4-11
103 kg m-3). La corde étant initialement au repos, on impose au point A, après l’instant initial
t=0, un mouvement sinusoïdal de féquence 440 Hz, de vitesse positive à t=0 (suivant la
direction u). L’amplitude a de ce mouvement est de 0.1 mm.
u
A
T
B
x
θ
1- Exprimer le déplacement u1(x,t) associé à l’onde progressive qui en résulte. Représenter la
forme de la corde au temps t=T, où T est la période temporelle de l’onde. Déterminer
l’énergie totale de l’onde sur une distance d’une longueur d’onde au temps t=T.
Déterminer la puissance transportée par l’onde en un point quelconque et un temps
quelconque avant sa réflexion au point B.
2- De même au point B, on impose un mouvement sinusoïdal après t=0, de même fréquence
que celui en A, de même amplitude et de vitesse négative. Exprimer le déplacement u2(x,t)
associé à l’onde progressive qui en résulte sur la corde. Dessiner la forme de la corde
déformée uniquement par cette deuxième onde au temps t=T. Déterminer l’énergie totale de
l’onde sur une distance d’une longueur d’onde au temps t=T, où T est la période temporelle.
Déterminer la puissance transportée par l’onde en un point quelconque et un temps
quelconque avant sa réflexion au point A.
3- Juste avant que les deux ondes ne se réfléchissent, exprimer la forme de l’onde résultante.
Est-ce une onde ? Est-ce une onde progressive ?
Montrer que l’amplitude est toujours nulle en certains points. Où sont situés ces points ?
Montrer que la vitesse est toujours nulle en certains points. Où sont situés ces points ?
4-Exprimer l’énergie cinétique par unité de longueur de l’onde résultante ainsi que son
énergie potentielle par unité de longueur en un point quelconque. Sont-elles égales?
Exprimer l’énergie totale par unité de longueur e. En déduire l’énergie sur une
distance d’ une longueur d’onde. comparer à celle des deux ondes progressives à l’origine de
cette onde.
∂P
∂e
Soit P la puissance associée à l’ onde résultante. En admettant que
ou en utilisant
=−
∂x
∂t
∂u ∂u
, exprimer la puissance P associée à l’onde résultante. Montrer que sa valeur
P = −T
∂x ∂t
moyenne dans le temps est nulle en tout point. Justifier qualitativement pourquoi.
*********
Problème 2 : Exemple d’une onde sonore dans un tuyau : calcul complet
Considérons un tuyau de longueur L dans lequel on crée une onde sonore à l’aide d’un
piston situé en O. L’extrémité du tuyau est soit fermée (fig 4.10) soit ouvert (fig 4.11)
Ondes 4-12
Figure 4-10 : Tuyau fermé
Figure 4-11 :
l’extrémité
Tuyau
ouvert
à
En Travaux Pratiques, vous avez réalisé ce genre d’expériences et vous avez constaté
l’apparition de résonance pour certaines fréquences d’excitation. Nous allons examiner cette
question sous forme de problème:
On considère un tuyau de longueur L, de section s, d’axe Ox, débouchant sur un autre
tuyau de sections S plus grande que s et de longueur très grande (cas du tuyau ouvert). Les
deux tuyaux sont remplis du même fluide de masse volumique ρ. La célérité des ondes
acoustiques est c. A l’entrée du premier tuyau, un piston vibrant à la fréquence ν engendre des
ondes acoustiques. Ce dispositif schématise l’émission des sons musicaux par un instrument à
vent à perce cylindrique. L’objectif de ce problème est de montrer que l’onde se propageant
dans le second tuyau n’a une amplitude négligeable que pour des valeurs de la fréquence
voisine des fréquence de résonance du premier tuyau considéré comme fermé à un bout et
ouvert à l’autre.
Supposons que le piston est animé d’un mouvement oscillant à la pulsation ω:
u0 = A cos( ω t + ϕ0 ) .
En amplitude complexe : uˆ0 = Aexp iωt +iϕ 0
On prend l’origine de l’axe Ox à la jonction des deux tuyaux, le piston est donc à l’abscisse
–L.
x
L
Dans le premier tuyau, on va considérer les ondes sinusoïdales progressives en utilisant la
notation en amplitude complexe uˆ pour le déplacement vibratoire des molécules :
uˆ i(x)=A i exp(-ikx+iωt), où A i est un nombre complexe : A i = a i exp[iϕ i ]
uˆ r(x)=A r exp(ikx+iωt), où A r est un nombre complexe : A r = a r exp[iϕ r ]
Dans le second tuyau :
uˆ t(x)=A t exp(-ik’x+iωt). avec A t = a t exp[iϕ t ]
1-Comparer k et k’. Exprimer les en fonction de la fréquence ν et de la célérité c.
Exprimer pour chacune des ondes le débit et la pression vibratoire en notation complexe:
ˆ (x) , Q
ˆ (x) , Q
ˆ (x) , δpˆ (x) , δpˆ (x) , δpˆ (x) .
Q
i
r
t
i
t
r
Quelles sont les impédances acoustiques Z et Z’ dans les deux tuyaux?
2-Ecrire l’expression des déplacements réels ui(x,t), ur(x,t), ut(x,t).
3- Exprimer les équations de continuité que doivent respecter les ondes à la jonction des deux
tuyaux en x=0.
En déduire r= Ar/Ai et t=At/Ai.
Ondes 4-13
4- En déduire l’amplitude complexe résultante de l’onde en x=-L. Les ondes dans le milieu 1
sont engendrées par le mouvement du piston dont le déplacement par rapport à la position
d’équilibre est u= a cos (2πνt). Le mouvement du tuyau correspond à la résultante du
déplacement de l’onde incidente et de celui de l’onde réfléchie. En déduire l’amplitude
complexe de l’onde incidente, puis celle de l’onde transmise dans le second tuyau en fonction
de a, k , L et du rapport α=S/s.
5- Soit P(k) la puissance acoustique moyenne transportée par l’onde dans le second tuyau.
Exprimer P(k) en fonction de a, k, L, S et s et des caractéristiques du milieu.
6- Pour caractériser l’efficacité de l’émission des ondes par le dispositif on forme le rapport
de la puissance moyenne rayonnée au carré de l’amplitude de la vitesse du piston : G(k)=
P(k)/a2w2.
6- Chercher les valeurs de k pour lesquelles G(k) est maximale puis minimale ainsi que les
valeurs prises par G au maximum GM et au minimum Gm. Calculer GM / Gm pour S/s=20.
A quoi correspondent les valeurs de k au maximum?
On trouve que :
G(k) =
S
S
2
S
1
avec α =
=
2
2
2
2
2
s
2χc (1+ α + (α − 1) cos2kL) 2χc (α − (α − 1)sin kL)
Ce rapport est maximum quand cos2kL est égal à -1, il est minimum quand cos2kL est égal à
2
GM
2 ⎛⎜ S⎞⎟
1 et
=α =
=400.
⎝s⎠
Gm
1
0.8
0.6
0.4
0.2
5
10
15
20
Représentation d’une fonction proportionnelle à G(k) en fonction de k pour L=1 et a=10.
cos2kL=-1
correspond à
L=
λ
4
+p
λ
2
Ceci correspond à une condition de résonance du tuyau ouvert à un bout et fermé à l’autre.
*******
Problème 3 : Tuyau sonore présentant une constriction
Soit un tuyau sonore de section S présentant sur une longueur L un rétrécissement de
section s. L’objectif de ce problème est de calculer le coefficient de transmission de ce tuyau.
S
s
O
l
Ondes 4-14
On va caractériser les ondes sonores par la vitesse de déplacement vibratoire en
notation complexe. Soit ν, la fréquence de l’onde incidente.
1- Exprimer la vitesse vi (x,t) de l’onde incidente, v r(x,t) celle de l’onde réfléchie dans la
partie x<0. De même exprimer vt (x,t), celle de l’onde transmise dans la partie x>l. On
notera simplement vi l’amplitude complexe associée à l’onde incidente (notation identique
pour les autres).
2- Exprimer les pressions vibratoires associées.
3- Dans la partie intermédiaire, on va supposer qu’il y a superposition d’une onde incidente
l
l
et d’une onde réfléchie dont les vitesses seront décrites par v i (x,t) et v r (x,t).
4- Exprimer les pressions vibratoires associées.
5- Ecrire les relations de continuités en x=0 et x=l. Vous devez obtenir 4 équations de con
tinuité.
v t δpt
6- En déduire
,
.
vi δpi
7- Exprimer le rapport T des puissances moyennes transportées par l’onde transmise et par
1
l’onde incidente. Montrer que :
où α=s/S
T=
2
2
(1 − α )
1+
sin 2 (kL)
2
4α
8- Examiner les cas particuliers : s=0, s=S et L=0.
9- Représenter T en fonction de la fréquence incidente ν. Commenter….
10- Représenter à l’aide de Mathématica T(y) en fonction de y= 2kL pour S=20cm2, s=1cm2.
Calculer T pour λ=62.8 cm et l= 1cm.
******
Problème 4: Transmission d’une onde sonore à travers une paroi
Une paroi rigide plane (cloison séparant deux pièces) a une masse σ par unité de
surface. Ses deux faces sont en contact avec un même gaz (air) de masse volumique ρ et de
compressibilité χ,. Soit c, la célérité du son dans l’air. On appelle x, l’axe perpendiculaire à
la paroi et qui va être aussi la direction dans laquelle les ondes sonores vont se propager. La
paroi est mince et sa position va servir d’origine à l’axe Ox.
Un mélomane joue de la trompette dans la pièce situé du côté des x<0 et émet une
onde sonore incidente se déplaçant vers les x croissant. Son élongation ou déplacement
vibratoire est donnée en représentation complexe par :
uˆi (x,t) = Ai exp(i(ω t − kx))
De même on note:
uˆr (x,t) = Ar exp(i(ω t + kx))
le déplacement vibratoire de l’onde réfléchie :
et le déplacement vibratoire de l’onde transmise : uˆt (x,t) = At exp(i(ωt − kx))
A i , A r et A t étant des complexes.
On note : A i = a i exp(iϕ i ) , A r = a r exp(iϕ r ) , A t = a t exp(iϕ t )
a i ,a r et a t étant maintenant des réels positifs.
1- Exprimer k en fonction de ω.
2- Ecrire les déplacements réels associés à l’onde incidente, à l’onde réfléchie et à l’onde
transmise.
Ondes 4-15
3- Ecrire les amplitudes complexes de la vitesse, du débit et de la pression acoustique en un
point quelconque pour x>0, puis pour x<0. La section de la pièce est S.
4- On appelle uˆ le déplacement de la paroi (en notation complexe). Ecrire que les deux faces
de la paroi restent en contact avec le fluide.
En déduire une relation entre
A i , A r et A t (relation 1).
5- Faire le bilan des forces auxquelles est soumise la paroi. Appliquer le principe
fondamental de la dynamique pour trouver une seconde relation entre A i , A r et A t .
6- On appelle ϕ (ϕ=ϕi −ϕt) l’avance de phase de l’onde incidente sur l’onde transmise.
Exprimer tan ϕ en fonction de ω, σ, µ et c.
2
At
7- La transmission de l’onde est donnée par le rapport T =
. Exprimer ce rapport en
2
Ai
fonction des données du problème. Exprimer l’affaiblissement sonore en décibels dû à la
paroi.
8- AN: ρ=1.2 kg. m-3. Quelle doit être la valeur de σ pour avoir une atténuation de 50 dB à
300Hz? Quelle est l’atténuation à 1000 et 5000 Hz;
La paroi est en béton (2300 kg m-3). Quelle doit être son épaisseur ? Commentaire?
*******
Problème 5: Vibrations d'une membrane
(extrait de l'examen S3SMPE 2002/03)
On considère une membrane élastique tendue sur un cadre rectangulaire rigide de côtés a
(suivant x) et b (suivant y). Sa masse par unité de surface est σ. La membrane est dans le plan
Oxy au repos.
1- Rappeler l’équation de propagation d’une onde transverse sur une corde de masse
linéique µ et tendue par une tension T . On prendra la corde au repos parallèle à Ox.
Quelle est la vitesse de propagation des ondes sur la corde ?
2- Soit u le déplacement vertical de la membrane (suivant z) . On admet que u satisfait
l’équation suivante :
σ
⎛ ∂ 2u ∂ 2 u ⎞
∂ 2u
⎜
=
Y
⎜ 2 + 2 ⎟⎟
∂t 2
∂y ⎠
⎝ ∂x
Y étant relié à la tension de la membrane.
* Exprimer la vitesse de propagation des ondes sur la membrane en fonction de σ et Y..
* Quelle est la dimension de σ ? celle de Y ?
3- On s’intéresse aux ondes stationnaires pouvant s’établir sur la membrane. Quelle
condition u doit-il vérifier au bord du cadre ?
4- Montrer qu’une solution possible est de la forme :
mπ x
nπy
u( x , y, t ) = u0 sin(
) sin(
) cos(ωt)
a
b
où m et n sont deux entiers caractérisant le mode, la membrane correspond à 0<x<a et 0<y<b.
5- A quelle pulsation ω s’établit le mode caractérisés par les deux entiers (m,n) ?
6- On s’intéresse au mode m=1, n=1
A t=0, représenter u en fonction de x pour y=b/2 (au milieu de la membrane).
Ondes 4-16
A t=0, représenter u en fonction de y pour x=a/2 (au milieu de la membrane).
Même question pour t=T/4, où T est la période temporelle de l’onde.
Même question pour t=T/2, où T est la période temporelle de l’onde.
7- On s’intéresse au mode m=1, n=2
A t=0, représenter u en fonction de x pour y=b/2 (au milieu de la membrane dans la direction
y).
A t=0, représenter u en fonction de x pour y=b/4 .
A t=0, représenter u en fonction de y pour x=a/2 (au milieu de la membrane dans la direction
x).
7- L’énergie par unité de surface associe à une onde transverse sur une membrane est :
2
2
2
1 ⎛ ∂u ⎞
1 ⎛ ∂u ⎞
1 ⎛ ∂u ⎞
ES = σ ⎜ ⎟ + Y⎜ ⎟ + Y⎜⎜ ⎟⎟
2 ⎝ ∂t ⎠
2 ⎝ ∂x ⎠
2 ⎝ ∂y ⎠
En déduire l’énergie totale du mode (m,n).
********
Partiel S3 SMPE 2002-2003
Partiel de physique -13 novembre 2002
Durée de l’épreuve 2h
Aucun document autorisé, calculette collège autorisée.
(Barême approximatif: Exercices 5 Problème 15)
EXERCICES:
Exercice 1: L’explosion de l’usine AZF de Toulouse située à environ 10km du centre ville, a
d’abord provoqué dans le centre ville une secousse sismique dans le sol, puis environ 20s plus
tard une violente déflagration a secoué le centre ville.
- Expliquer ce décalage entre les deux phénomènes.
- Estimer le temps qui s’est écoulé entre l’explosion de l’usine et la déflagration au centre
ville.
- Donner un ordre de grandeur de la vitesse du son dans le sol.
Exercice2:
Une corde de masse linéique µ= 0.1 g cm-1 et de tension 50N est excité en x=0 par un
mouvement sinusoïdal d’amplitude 1cm , de fréquence 100Hz. On prendra une phase nulle en
x=0 à t=0.
Déterminer la vitesse de propagation de cette onde et sa longueur d’onde.
Exprimer le déplacement u(x,) de la corde ainsi que l’angle θ(x,t) que la corde fait
avec l’horizontal (θ est supposé petit).
Que vaut l’angle θ au maximum?
Quelle est, au cours du temps, la force transversale qu’il faut appliquer en 0 pour
provoquer le mouvement? Quelle est la valeur maximale de la force?
PROBLEME:
Lisez le texte jusqu’au bout: de nombreuses question sont indépendantes les unes des
autres
Ondes 4-17
Une onde sonore plane se propage dans un tuyau de section S parallèle à l’axe des x.
La vitesse vibratoire est de la forme v i (x,t) = vo cos(ωt − kx) où v0 est un nombre positif.
Onde progressive
a) Exprimer la vitesse du son dans l’air en fonction de la compressibilité adiabatique de l’air
et de la masse volumique.
Que vaut la compressibilité χ de l’air supposé gaz parfait diatomique (γ=7/5) à pression
atmosphérique ambiante?
La vitesse du son dans l’air étant de 340ms-1, en déduire la masse volumique de l’air .
b) Ecrire la représentation complexe vˆi (x , t ) de vi (x,t).
c) Donner les représentations complexes du déplacement vibratoire ui (x,t) et de la
surpression associée à l’onde ainsi que les expressions réelles correspondantes.
δp
d) Déterminer en fonction de S, χ et c l’impédance caractéristique Z = i .
Svi
e) Exprimer en fonction de S, Z et vo la puissance transportée par l’onde au point x à l’instant
t. Quelle est la puissance transportée par l’onde moyennée dans le temps? En déduire
l’intensité de l’onde. Quelle est l’unité de cette intensité?
f) L’intensité de l’onde est 10-5 SI:
Que vaut-elle en décibels?
Quelle est la valeur de vo?
En déduire l’amplitude de la surpression vibratoire.
Onde stationnaire
Le tuyau occupe le demi-axe x<0. Une onde réfléchie vient se rajouter à l’onde incidente.
La vitesse vibratoire totale dans le tuyau est de la forme: v(x, t) = v i (x, t) + v r (x, t) .
a) Quelle est la forme générale de la vitesse v r (x, t) ?
b) Donner la représentation complexe de v r (x, t) . Donner la représentation complexe
δpˆr (x) de la surpression associée à cette onde.
c) La surpression totale est nulle en x=0. En déduire la surpression de l’onde réfléchie en x=0.
Montrer que v i (0,t) = v r (0, t) .
d) Ecrire la fonction v(x,t) comme le produit d’une fonction de t par une fonction de x.
Dessiner v(x) à t=0,
puis v(x) à t=T/4, T étant la période temporelle de l’onde.
3) On suppose maintenant que le tuyau est fermé par un piston de masse m maintenu par un
ressort de raideur k et de masse négligeable. A l’équilibre, sans onde, le piston ferme le tuyau
en x=0. La présence du piston va modifier les conditions de réflexion.
O
Ondes 4-18
x
a) Exprimer le bilan des forces subies par le ressort en présence de l’onde. Que peut-on dire
de la pression pour x>0 en négligeant toute onde transmise dans la partie x>0.
b) Soit u(t) le déplacement du piston.
En l’absence de frottement, écrire l’équation du mouvement du piston.
Quelle est la fréquence propre ω0 du piston?
c) Déduire de cette équation du mouvement l’amplitude complexe uˆ en fonction de δpˆ (0).
d) La vitesse du piston est celle des molécules d’air en x=0. En déduire uˆ en fonction de
vˆ i (0) + vˆ r (0) .
e) En exprimant δpˆ (0) en fonction de vˆ i (0) et vˆ r (0) , déduire l’équation reliant vˆ i (0) et
vˆ r (0) .
iχcm 2
2
1−
(ω
−
ω
0)
vˆ r (0)
ωS
=
f) Montrer que
.
vˆ i (0) 1+ iχcm (ω 2 − ω 2 )
0
ωS
S
g) Monter que
a la dimension d’une fréquence. En déduire que l’ équation de la
χcm
question précédente est homogène
vˆ r (0)
h) Que vaut
dans les trois cas suivants: à très basse fréquence (ω->0) , à très haute
vˆ i (0)
fréquence (ω->∞), à la fréquence propre de l’oscillateur? Commenter.
iχcm 2
1−
(ω − ω 20 )
vˆ r (0)
ωS
=
i) A partir de
, déduire que la puissance réfléchie moyenne
iχcm
vˆ i (0) 1+
2
2
(ω − ω 0 )
ωS
est égale à la puissance incidente moyenne. En sera-t-il de même si on ajoute des frottements?
8- Montrer que le déphasage ϕ entre vˆ r (0) et vˆ i (0) est donné par :
χcm 2
2
tan(ϕ / 2) = −
(ω − ω0 ) .
ωS
Représenter ϕ en fonction de ω.
Ondes 4-19
ANNEXE : CORRECTION DES PROBLEMES :
Correction problème2 :
1- k = k' =
ω 2πν
=
c
c
Qˆ i ( x ,t ) = iωsui ( x, t ) , Qˆ r ( x , t ) = iωsu r ( x, t ) , Qˆ t ( x , t ) = iωSut (x , t )
k
k
k
δpˆi ( x , t ) = i ui ( x, t ) , δpˆr ( x , t ) = − i ur ( x , t ), δpˆt (x , t ) = i ut ( x , t )
χ
χ
χ
δpˆ ( x , t )
1
δpˆ (x , t )
1
Z= ˆ i
=
; Z’= ˆ t
=
;
Qi ( x, t ) χcs
Qt ( x, t ) χ cS
2u i (x, t) = a i Cos(ωt − kx + ϕ i )
u r (x, t) = a r Cos(ωt + kx + ϕr )
u t (x,t) = a t Cos(ωt − kx + ϕ t )
3- en x=0 : Qˆ i (0, t ) + Qˆr (0, t ) = Qˆ t (0, t ) et δpˆi (0, t ) + δpˆ r (0, t ) = δpˆ t (0, t )
D’où: iωs(A i + A r ) = iωSA t et i
k
k
(A i − A r ) = i A t
χ
χ
⎧⎪A + A = S A = αA
r
t
D’où: ⎨ i
s t
⎪⎩
Ai − Ar = At
At
2
Ar α −1
=
=
D’où
=t et
= r = 1-t.
Ai 1 + α
Ai 1 + α
4- en x=-L:
u(− L, t ) = Ai exp(ikL + i ωt ) + Ar exp( − ikL + iωt ) = a exp( iωt )
On en déduit:
a
exp(ikL) + r exp(−ikL)
ta
2a
At =
=
exp(ikL) + r exp(−ikL) (1 + α)exp(ikL) + (1 − α) exp(−ikL)
Ai =
5- Puissance moyenne transmise dans le second tuyau:
1 k
2
1 S 2 2
ωS At =
ω At
P( k ) ==
2χ
2 χc
2
P(k )
S At
Efficacité: G(k)= 2 2 =
aω
2 χc a 2
Or
Ondes 4-20
At
2
2
2
=
[(1+ α)exp(ikL) + (α − 1)exp(−ikL)] [(1 + α)exp(−ikL) + (α −1)exp(ikL)]
a2
At
2
4
2
=
=
a2
(1+ α)2 + (α − 1)2 + 2(1 + α)(α − 1)cos(2kL) 1 + α 2 + (α 2 −1)cos 2kL
[
]
Ce rapport est maximum quand cos2kL est égal à -1, il est minimum quand cos2kL est égal à
1 (si α est supérieur à 1).
2
GM
2 ⎛⎜ S⎞⎟
=400
=α =
⎝s⎠
Gm
cos2kL=-1:
L=
λ
λ
+ p (condition de résonance du tuyau)
4
2
Conclusion : On retrouve bien la condition de résonance d’un tuyau ouvert à un bout et
fermé à l’autre. : il ya un maximum de transmission pour cetaines fréquences très
marquées. Le rapport entre la transmission maximale et la transmisson minimale dépend
du carré des rapport des sections.
Correction problème 3:
s
S
O
l
On va caractériser les ondes sonores par la vitesse de déplacement vibratoire en
notation complexe. Soit ν, la fréquence de l’onde incidente.
Pour x<0:
vˆ i ( x, t ) = vi exp( −ikx + i ωt );
vˆ r (x,t) = vr exp(ikx + iω t) ;
vˆ ( x , t ) = (v i exp( − ikx) + v r exp(ikx ))exp(i ωt )
Qˆ (x , t ) = Svˆ( x , t ) = S (v exp( − ikx ) + v exp(ikx ))exp(i ωt )
i
r
1
δpˆ( x , t ) = (vi exp( − ikx) − vr exp( ikx))exp( iωt )
χc
Pour x>l: vˆ ( x , t ) = v t exp(− ikx + iω t )
Qˆ (x , t ) = Svˆ ( x, t ) = Svt exp( −ikx + i ωt )
1
δpˆ( x , t ) =
v exp(− ikx + iω t )
χc t
Ondes 4-21
Pour 0<x<l:
l
l
l
vˆ (x,t) = (vi exp(−ikx) + vr exp(ikx))exp(iω t)
l
l
l
Qˆ ( x , t ) = svˆ ( x ) = s(v i exp( − ikx ) + v r exp( ikx))exp( iωt )
1 l
δpˆ l ( x , t ) =
(v exp( −ikx) − vlr exp(ikx ))exp(i ωt )
χc i
en x=0:
l
l
S(v i + v r ) = s(v i + v r )
l
l
(v i − v r ) = (v i − v r )
en x=L:
Sv t exp(−ikL ) = s(v li exp( −ikL ) + v lr exp( ikL))
v t exp(−ikL ) = (v li exp( −ikL ) − vlr exp(ikL ))
Des deux premières équations, on déduit:
2vi = (α + 1)vli − (1 − α )v lr en posant α =
Des deux dernières équations:
l
vi =
s
<1
S
1 α +1
1 1 −α
l
vt exp( −2ikL)
vt ; vr =
2 α
2 α
On en déduit donc
2
2
4α vi = vt [(1 + α ) − (1− α ) exp(−2ikL)]
δp
4α
vt
= t
=
2
2
vi [(1 + α ) − (1− α ) exp(−2ikL )] δpi
2
T=
4α
[(1 + α)2 − (1 − α )2 exp( −2ikL)]
1
T=
1+
(1 − α 2 )2
4 α2
16α 2
1
=
4
4
(1 − α ) ⎛ 1 + α ⎞
1 + α⎞ 2
⎜
⎟ + 1 − 2 ⎛⎜
⎟ cos(2kL)
⎝ 1 − α⎠
⎝1 − α ⎠
sin 2 (kL)
La transmission T est donc maximum pour cos2kL=1, c’est-à-dire L=p λ/2 : c’est la
condition de résonance d’un tuyau ouvert aux deux bouts.
T est minimal pour L=p λ/2+λ/4. Tmax= 1 ;
⎛ 2α ⎞ 2
⎟
T min = ⎜
⎝1 + α 2 ⎠
Cas l=0: T=Tmax=1
Cas s= 0: α=0 donc T=0 si l=’est pas nul
Cas s=S, soit α=1: Tmax=Tmin=1: tout est transmis pour toutes les fréquences car en fait il
n’y a pas d’obstacle.
2 2
400
AN: kL=2πl/λ=0.1 donc sinkL≈0.1 α=1/20 , alors (1 − α ) sin 2 (kL) ≈
* 0.01 ≈ 1, ce
4
4α 2
qui veut dire que T vaut 1/2.
Ondes 4-22
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
Représentation de T(y=2kL) pour s/S=1/20
Le coefficient de transmission du tuyau rétréci est donc voisin de 1 uniquement pour
des fréqences trsè piquées autour des fréquences de résonance du tuyau ouvert aux deux
bouts.
***************************************************************************
Correction problème 4
déplacement vibratoire en notation complexe de l’onde incidente :
uˆi (x,t) = Ai exp(−ikx + iωt )
uˆr (x,t) = Ar exp(ikx + iωt )
de l’onde réfléchie :
uˆt (x,t) = At exp(−ikx + i ωt )
de l’onde transmise :
A i , A r et A t étant des complexes.
A i = a i exp(iϕ i ) , A r = a r exp(iϕr ) , A t = a t exp(iϕ t )
a i ,a r et a t étant maintenant des réels positifs.
1k=ω/c
ui ( x, t ) = aiCos(ω t − kx + ϕ i ) ; ur (x,t) = arCos(ω t + kx + ϕ r )
2ut ( x , t ) = at Cos(ωt − kx + ϕt )
3- x>o: du côté de la dormeuse:
vˆ ( x , t ) = iω At exp(ikx + iω t ); Qˆ (x , t ) = i ωAt S exp(ikx + iωt ) ;
k
ω
δpˆ( x , t ) = i At exp( ikx + iωt ) = i At exp( ikx + iωt )
χ
χc
x<0: du côté du mélomane:
vˆ ( x , t ) = iω Ai exp(ikx + iωt ) + iωAr exp( − ikx + iωt ) ;
Qˆ (x , t ) = Svˆ ( x ) = Siω Ai exp(ikx + iωt ) + Siω Ar exp(− ikx + iω t ) ;
δpˆ( x , t ) = i
ω
(A exp(ikx + iωt ) − Ar exp(−ikx + iω t ))
χc i
4- en x= 0: uˆ = Ai + Ar = At
5- Bilan des forces exercées sur la paroi:
S (δp( x = 0 −) − δp(x = 0+) = S
On en déduit donc:
At = −
i
−σSω 2 uˆ = S
2i
iω
[A − Ar − At ]exp(iωt )
χc i
iω
[A − Ar − At ]exp(i ωt )
χc i
[A − Ar − At ] = − σωχc (Ai − At )
σωχc i
On en déduit donc:
At
1
1
=
=
i
σωχ
c
iσω
Ai 1 +
1+
2
2ρ c
Ondes 4-23
67-
tan ϕ= −
T=
At
Ai
σω
2ρc
2
2
=
1
⎛ σω ⎞ 2
⎟⎟
1+ ⎜⎜
⎝ 2 ρc ⎠
.
En db: 10logT
⎛ σω ⎞ 2
⎟⎟ ≈ 10−5 , σ≈133 kgm-2.
8- AN: ρ=1.2 kg. m .
Atténuation de 50 db à 300Hz: ⎜⎜
⎝ 2ρc ⎠
Soit 5.8 cm de béton. (choisissez un appartement aux murs épais si vous êtes mélomane et si
vous ne voulez pas vous fâchez avec votre voisine….)
À 1000Hz: atténuation 50+20log(1000/300)= 60.45dB. À 5000Hz: atténuation
50+20log(5000/300)= 74.43dB (ce sont les notes graves qui sont les moins atténuées).
-3
L’atténuation acoustique à travers un mur est d’autant plus importante que les murs
sont épais et que la fréquence est élevée. Elle dépend aussi de la nature du matériau.
Ondes 4-24