CPUS - 2015-2016 —— Programme de colle

CPUS - 2015-2016
——
Programme de colle
semaines du 5 octobre et du 12 octobre
1. Analyse
(1) Intégrale des fonctions en escalier : subdivision, subdivision adaptée, intégrale d’une
fonction en escalier, linéarité de l’intégrale, relation de Chasles, positivité, intégration
d’une inégalité.
(2) Fonctions continues par morceaux : approximation par des fonctions en escalier (admis),
intégrale d’une fonction continue par morceaux
(3) Propriétés de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux : linéarité, relation de
Chasles, positivité, intégration d’une inégalité, intégrale et valeur absolue, inégalité de la
moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz (preuve).
(4) Cas des fonctions continues : f est nulle si, et seulement si, son intégrale est nulle.
Z x
f (t)dt est la primitive de f s’annulant en a.
(5) F (x) =
a
(6) Calculs : primitives usuelles, changement de variable, intégration par parties,fractions
rationnelles (aucune technicité n’est attendue), polynômes et fractions rationnelles en
sinus et cosinus
(7) Sommes de Riemann : définition et théorème de convergence, application à la convergence
des suites.
(8) Formules de Taylor : Reste intégral, Taylor-Lagrange, Taylor-Young.
2. Algèbre
(1) Division euclidienne dans K[X]
(2) PGCD de polynômes
(3) Identité de Bezout, équations diophantiennes
(4) Nombres complexes
1