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Les intégrateurs à pas multiples - Adams-Bashforth-Moulton
Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Les intégrateurs à pas multiples Adams-Bashforth-Moulton Benoît Noyelles Département de Mathématique Unité Systèmes Dynamiques Facultés Universitaires Notre-Dame de la Paix Namur (Belgique) 19 décembre 2008 - Namur Benoît Noyelles Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Plan 1 Les méthodes multi-pas 2 Les méthodes d’Adams-Bashforth 3 Les méthodes d’Adams-Moulton 4 Exemples 5 Conclusion Benoît Noyelles Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Principe Équation différentielle ẏ = f (t, y ) Z ti +h y (ti+1 ) = y (ti ) + f (t, y (t))dt ti Notations fj = f (tj , ηj ) ηi+1 = ηi + hΦ Idée : utiliser plusieurs valeurs de fj , préalablement stockées Benoît Noyelles Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Adams-Bashforth Principe ηi+1 = ηi + hΦ avec Φ = X αj fj j≤i m−1 X (−1)j ΦABm = j=0 i 1 −σ dσ ∆j fi j 0 hZ ∆0 fi = fi , ∆fi = fi − fi−1 , ∆n fi = ∆n−1 fi − ∆n−1 fi−1 Caractéristiques Pas constant Schéma explicite Benoît Noyelles Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Adams-Bashforth d’ordre 10 1 (30277247f9 − 104995189f8 7257600 +265932680f7 − 454661776f6 + 538363838f5 Φ= −444772162f4 + 252618224f3 − 94307320f2 +20884811f1 − 2082753f0 ) Benoît Noyelles Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Adams-Moulton Principe ηi+1 = ηi + hΦ avec Φ = X αj fj j≤i ΦAMm = m−1 X j (−1) hZ j=0 0 1 i −σ dσ ∆j fi+1 j Caractéristiques Pas constant Schéma implicite A besoin d’un prédicteur Benoît Noyelles Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Adams-Moulton d’ordre 11 Φ= 1 (134211265f10 + 656185652f9 − 890175549f8 479001600 +1446205080f7 − 1823311566f6 + 1710774528f5 −1170597042f4 + 567450984f3 − 184776195f2 +36284876f1 − 3250433f0 ) Benoît Noyelles Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Stabilité Adams-Bashforth Schèma explicite CONDITIONNELLEMENT stable Attention au pas ! Adams-Moulton Schèma implicite INCONDITIONNELLEMENT stable Pas moins crucial En pratique. . . L’étape de correction apporte une sécurité. Benoît Noyelles Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Mise en oeuvre h 10 ) 1 Initialisation du procédé (RK4, 2 Prédiction par Adams-Bashforth 3 Correction par Adams-Moulton 4 Comparaison avec l’erreur 5 Boucle sur le correcteur Benoît Noyelles Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Le pendule H(p, q) = p2 2m + mω 2 2 q 2 temps = 8 sec Benoît Noyelles temps = 10 sec Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Le pendule Avec correction temps ≈ 1 sec Benoît Noyelles temps ≈ 1 sec Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Le problème des 3 corps Adams-Bashforth 10, h=40j Benoît Noyelles Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Le problème des 3 corps Adams-Bashforth 10, h=1j Benoît Noyelles Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Le problème des 3 corps ABM 10, h=40j, = 10−6 Benoît Noyelles Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Le problème des 3 corps ABM 10, h=40j, = 10−15 Benoît Noyelles Les intégrateurs à pas multiples Les méthodes multi-pas Les méthodes d’Adams-Bashforth Les méthodes d’Adams-Moulton Exemples Conclusion Remarques conclusives Nombre d’évaluations de la fonction limité Prédicteur seul dangereux à utiliser (conditionnellement stable) Prédicteur + correcteur : très efficace Divergence de l’erreur Benoît Noyelles Les intégrateurs à pas multiples
