Devoir de synthese n

Lycée H. Pacha
Mars 2005
Devoir de synthese n◦2
Épreuve de mathématiques.
Durée : 3 heurs.
Sujet A
Exercice 1 ( 5 points )
−
→
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé (O; →
e1 , −
e2 ) ( unité graphique : 4 cm
)
π
√
i
On donne dans P les points A, B et C d’affixes respectives u = 3 + i , v = 1 + e 6 et
π
i
w = −1 + e 6 .
1/ Donner la forme trigonométrique de u.
2/ Placer avec précision les points A, B et C.
3/ Montrer que les points O, A, B et C sont sur un même cercle (C) dont ont précisera le
centre et le rayon.
4/ Déduire la nature du quadrilatére OBAC.
Exercice 2 ( 4 points )
On considère le nombre complexe z = cotg θ + i où θ est un réel de l’intervalle ]0, π[.
eiθ
.
sin θ
−
→
2/ Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé (O; →
e1 , −
e2 ) , on donne les points
z
−3iθ
iθ
.
A, M et N d’affixes respectives : zA = 1, zM = e et zN = e
z
a) Écrire zN sous forme trigonométrique.
1/ Vérifier que z =
b) Déterminer θ pour que le point O soit le centre de gravité du triangle AM N .
Problème ( 11 points )
Partie A
Soit g la fonction définie sur ]0, +∞[ par :
g (x) =
1
−1
e2x
1/ Déterminer les limites de g à droite en 0 et en +∞. Interpréter graphiquement les résultats.
2/ Calculer g 0 (x). Étudier le sens de variation de g puis dresser sont tableau de variation.
4ème année sciences expérimentales
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Partie B
On considère
fonction
f définie sur ]0, +∞[ dont la courbe représentative C dans un repère
la −
→ −
→
orthogonal O; i , j est donnée sur la feuille annexe avec sa tangente au point d’abscisse e.
On admet l’égalité suivante :
f (x) = 2x a (Log x)2 + b Log x + c
où a, b et c désignent trois réels.
1/
a) Exprimer f 0 (x) en fonction de a, b et c.
b) Á l’aide des informations données sur le graphique, déterminer les valeurs de:
√
1
0
f
, f 0 ( e) , f 0 (e).
e
c) En déduire pour tout x ∈ ]0, +∞[, l’égalité
f (x) = 2x 2 (Log x)2 − 3 Log x + 2
2/
a) Vérifier que : lim f (x) = 0 et lim f (x) = +∞ .
x→0+
x→+∞
b) Montrer pour tout x ∈ ]0, +∞[ l’égalité :
f 0 (x) = 2 (Log x + 1) (2 Log x − 1)
c) Étudier le signe de f 0 (x) et dresser le tableau de variation de f .
Partie C
−
→ →
−
1/ Tracer, dans le repère O; i , j de la feuille annexe, la courbe représentative Γ de la
fonction g étudiée en partie A.
1 3
2/ Soit ϕ la fonction définie sur
,
par ϕ(x) = f (x) − g(x).
10 10
1 3
a) Montrer que, pour tout x appartenant à
,
, on a ϕ0 (x) > 0.
10 10
1 3
b) Montrer que l’équation f (x) = g(x) possède une solution unique α sur
,
.
10 10
Partie D
1/ Montrer que pout tout x > 0, f (x) > 0.
2/ On définit la fonction h sur ]0, +∞[ par l’expression suivante : h = g ◦ f .
a) Déterminer les limites en 0 et en +∞ de h.
b) Déterminer le sens de variation de h sur ]0, +∞[.
c) Montrer que h(α) = g ◦ g(α). Déterminer un encadrement de h(α) d’amplitude 10−2 .
4ème année sciences expérimentales
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