Chap 1. Les suites numériques

Chap 1. Les suites numériques
Terminale S
Giuseppe Peano (1858 - 1932)
Mathématicien et philosophe italien, il est l'un
des premiers à avoir compris l'importance de
fonder les mathématiques sur quelques
axiomes précis, et d'en déduire ensuite
théorèmes... Il vit aussi l'importance des
symboles issus de la logique et de la théorie
des ensembles pour donner une exposition
formelle, claire et unifiée des mathématiques.
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I. Limite d’une suite
Nous étudions le comportement de la suite lorsque
+∞.
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tend vers
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40
36
Définition
On dit que la suite ! "!∈ℕ a pour limite +∞
quand tend vers +∞ lorsque tout
intervalle de la forme &'; +∞) avec ' ∈ ℝ
contient toutes les valeurs ! à partir d’un
certain rang .
On note +,- 1. = +∞
32
28
24
20
16
12
8
4
.→0∞
-1 0
lorsque ∀' ∈ ℝ , ∃7 ∈ ℕ, ∀ ∈ ℕ
[email protected]
≥7⇒
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
!
∈ &'; +∞)
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28
24
20
Définition
16
On dit que la suite ! "!∈ℕ a pour limite −∞
12
quand tend vers +∞ lorsque tout intervalle
8
de la forme &−∞; ') avec ' ∈ ℝ contient toutes 4
-2 -1 0
les valeurs ! à partir d’un certain rang .
-4
On note +,- 1. = −∞
-8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
.→0∞
-12
lorsque ∀' ∈ ℝ , ∃7 ∈ ℕ, ∀ ∈ ℕ
⇒ ! ∈ &−∞; ')
[email protected]
≥7
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-16
-20
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8
4
Définition
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
On dit que la suite
-4
! "!∈ℕ a pour limite le
nombre réel = quand tend vers +∞ lorsque tout intervalle
ouvert contenant = contient toutes les valeurs ! à partir d’un
certain rang .
On note +,- 1. = >
.→0∞
lorsque ∀? > 0, ∃7 ∈ ℕ, ∀ ∈ ℕ
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≥7⇒|
!
− =| < ?
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Exemples.
1
lim = ⋯
!→0∞
lim 3 − 1 = ⋯
!→0∞
lim −
!→0∞
F
=⋯
lim
!→0∞
lim
!→0∞
3
G
lim
!→0∞
lim 3 −
−5
F
!→0∞
+1=⋯
=⋯
=⋯
lim − 2 + 5 = ⋯
!→0∞
G
1
2√
=⋯
lim 4√ − 5 = ⋯
!→0∞
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Définition
On dit qu’une suite diverge lorsqu’elle n’a pas de limite ou
qu’elle a une limite infinie.
On dit qu’une suite converge lorsqu’elle a une limite finie.
Exemple.
La suite −1"! est-elle convergente ?
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Soit
II. Opérations et limites
! "!∈$ et K! "!∈$ deux suites, =, =′ ∈ *
Somme de suites.
Si lim
!
=
=
lim K!
=′
∞
!→0O
et
!→0O
alors lim )
!→0O
!
=
∞
∞
;∞
;∞
∞
;∞
;∞
K! &
[email protected]
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Soit
II. Opérations et limites
! "!∈$ et K! "!∈$ deux suites, =, =′ ∈ *
Somme de suites.
Si lim
!
=
=
lim K!
=′
!→0O
et
!→0O
alors lim )
!→0O
!
K! &
[email protected]
P
P′
=
∞
∞
;∞
∞
;∞
∞
;∞
;∞
∞
;∞
∞
FI
;∞
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Exemples :
Dans les cas de FI Forme Indéterminée" il faut étudier au cas
par cas :
1.
et K! = ; ,
lim ) ! + K! & = ⋯
! =
!→0O
2.
!
=
et K! = −2 ,
3.
!
= 2 et K! = − ,
4.
!
=
!
+ K! & = ⋯
lim )
!
+ K! & = ⋯
lim )
!
+ K! & = ⋯
!→0O
!→0O
+ 5 et K! = − ,
[email protected]
lim )
!→0O
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Produit de suites.
Si lim
!→0O
et
!
lim K!
!→0O
alors lim )
!→0O
!
=
=W0
=′
∞ ou
;∞
0
∞ ou
;∞
∞ ou
;∞
∞ ou
;∞
X K! &
[email protected]
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Produit de suites.
Si lim
!→0O
et
!
lim K!
!→0O
alors lim )
!→0O
!
× K! &
[email protected]
=
=≠0
+∞ ou
=′
−∞
+∞ ou
−∞ selon
= × =′
la règle
des signes
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0
+∞ ou
−∞
FI
+∞ ou
−∞
+∞ ou
−∞
+∞ ou
−∞ selon
la règle des
signes
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Exemples :
Dans les cas de FI Forme Indéterminée" il faut étudier au cas
par cas :
1.
2.
3.
!
!
!
Z
=
et K! = ,
=
et K! =
Z
=
G
!
![
!
× K! & = ⋯
lim )
!
× K! & = ⋯
lim )
!
× K! & = ⋯
!→0O
,
Z
et K! = ,
[email protected]
lim )
!
!→0O
!→0O
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Quotient de suites avec K! W 0 pour tout
Si lim
!→0O
et
!
lim K!
!→0O
alors lim
=
=≠0
=′ ≠ 0 00 ou 0^
+∞ ou
=
0
−∞
+∞ ou
+∞ ou
0
−∞
−∞
+∞ ou
−∞
=′
_`
!→0O a`
[email protected]
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Quotient de suites avec K! W 0 pour tout
Si lim
!→0O
et
!
lim K!
!→0O
alors lim
_`
!→0O a`
=
=≠0
=′ ≠ 0 00 ou 0^
=
=b
[email protected]
+∞ ou
−∞ selon
la règle
des signes
+∞ ou
=
0
−∞
+∞ ou
+∞ ou
0
−∞
−∞
0
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FI
+∞ ou
−∞
=′
+∞ ou
−∞ selon
la règle
des signes
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Exemples.
G
lim 3
!→0∞
+2 −1=⋯
lim
3
=⋯
G+2
lim
+2
=⋯
+5
!→0∞
lim
!→0∞
F
−
+3=⋯
!→0∞
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III. Comparaison de suites
Propriété : Soit ! "!∈ℕ et K! "!∈ℕ deux suites
Si à partir d’un certain rang ! ≤ K!
et lim ! = +∞
!→0∞
alors lim K! = +∞
!→0∞
Remarque : De la même façon, si, à partir d’un certain rang
! ≤ K! et lim K! = −∞ alors lim ! = −∞.
!→0∞
!→0∞
Démonstration (ROC)
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Propriété
Si une suite est croissante et admet pour limite le nombre réel P,
alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à P.
Démonstration (ROC)
[email protected]
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Théorème des gendarmes
Soit ! "!∈ℕ , K! "!∈ℕ et d! "!∈ℕ trois suites
Si à partir d’un certain rang K! ≤ ! ≤ d!
et lim K! = lim d! = P
!→0∞
alors lim
!→0∞
!
!→0∞
=P
Exemple :
Soit
! "!∈ℕ la suite définie par
La suite
! "!∈ℕ
!
=
efg !
!
pour tout
∈ ℕ∗
est-elle convergente ?
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1
sin
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
[email protected]
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Jean Dieudonné (1906 – 1992)
« Majorer et minorer sont des activités
essentielles aux mathématiques »
Mathématicien français, il intègre l'École normale
supérieure à l'âge de 18 ans. Il est reçu cacique à
l'agrégation en 1927. Ses travaux concernent
d'importants domaines de la topologie et de
l'algèbre : espace paracompact et partition de
l’unité, théorie des distributions, théorie de Galois
des anneaux artiniens, théorie des groupes
classiques sur un corps quelconque, Groupes de
Lie.
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IV. Raisonnement par récurrence
Axiome de récurrence
Soit j " une propriété qui dépend de l’entier naturel
Si la propriété j " vérifie les deux conditions suivantes :
• Initialisation : j 0" est vraie
• Hérédité : j " vraie implique j
1" vraie pour tout
ℕ
alors la propriété j " est vraie pour tout ∈ ℕ.
Exemple.
Démontrer que pour tout entier naturel
[email protected]
≥ 3, 2! > 2 .
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∈
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V. Limite de la suite k. "
Lemme : inégalité de Bernoulli
Soit l un nombre réel strictement positif
pour tout entier naturel , 1 l"! ≥ 1
l.
Démonstration (ROC)
[email protected]
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Propriété : limite de la suite k. ".∈ℕ
Soit m ∈ ℝ,
• Si m > 1 alors lim m! = +∞
!→0∞
• Si m = 1 alors la suite est constante égale à 1 donc lim m! =
!→0∞
1
• Si −1 < m < 1 alors lim m! = 0
!→0∞
• Si m ≤ −1 alors la suite m! "!∈ℕ n’a pas de limite
Démonstration du 1er cas k > 1 (ROC) :
[email protected]
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Rappel
• Une suite ! "!∈ℕ est géométrique de raison m lorsque :
1.0n = k X 1. pour tout ∈ ℕ (formule de récurrence)
o
Xp
qr
Z
Xp
qr
G
Xp
qr
F
…
Xp
qr
alors :
• 1. = 1t X k. = Z X m!^Z pour tout
explicite)
• Si m ≠ 1 alors pour tout ∈ ℕ
.
u 1v =
vwt
[email protected]
o
Z
...
!
!
Xp
qr
!0Z
∈ ℕ (formule
n ; k.0n
= 1t X
n;k
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VI. Suites majorées, minorées, bornées.
Définition
o La suite
pour tout
o La suite
pour tout
Une suite
minorée.
est majorée lorsqu’il existe un réel { tel que
∈ ℕ, ! ≤ {. { est alors un majorant.
! "!∈ℕ
! "!∈ℕ
est minorée lorsqu’il existe un réel | tel que
∈ ℕ, | ≤ ! . | est alors un minorant.
! "!∈ℕ
est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et
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Exemples
Les suites suivantes sont-elles majorées et/ou minorées ?
pour tout
∈ ℕ∗
K! = ;2"! pour tout
∈ℕ
!
=2;
F
!
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Lemme
Si la suite
alors lim
!→0∞
est croissante et non majorée
= +∞
! "!∈ℕ
!
Démonstration (ROC) :
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Théorème de convergence (admis)
Si une suite est croissante et majorée alors elle converge.
Si une suite est décroissante et minorée alors elle converge.
Exemple : une suite arithmético-géométrique
La suite ! "!∈ℕ est définie par o = 1 et pour tout nombre
entier naturel , !0Z = 3 0,5 ! .
Représenter graphiquement cette suite, puis démontrer qu’elle
converge. En utilisant la suite auxiliaire K! = ! ; 6, déterminer
une expression de ! en fonction de .
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