Chapitre 7 Le calcul des séquents

Chapitre 7 Le calcul des séquents
Chapitre 7
Le calcul des séquents
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Les séquents en logique
Gerhard Gentzen: mathématicien allemand (1909 - 1945)
Chapitre 7 Le calcul des séquents
La notion de séquent
Un séquent est un couple de la forme ∆ ` Γ, où ∆ et Γ sont des
multi-ensembles de formules.
Ainsi par exemple, voici quelques séquents:
I
`
I
` A, A
I A
`
I A
`C
I A
`A
I A, A, A, B
` B, C
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Formule associée à un séquent
La formule associée à un séquent de la forme
A1 , . . . , A ` B1 , . . . , B est donnée par :
n
k
A1
∧ . . . ∧ A ⇒ B1 ∨ . . . ∨ B
n
k
où, comme d'habitude, on considère que la conjonction vide
(n = 0) est la formule True, et la disjonction vide (k = 0) est la
formule False.
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Sémantique d'un séquent
Un séquent A1 , . . . , A ` B1 , . . . , B est valide ssi sa formule
associée (A1 ∧ . . . ∧ A ) ⇒ (B1 ∨ . . . ∨ B ) est valide.
n
n
Ainsi par exemple,
I
` n'est pas valide
I
` A, A n'est pas valide
I A
` n'est pas valide
I A
` C n'est pas valide
I A
` A est valide
I A, A, A, B
` B , C est valide
k
k
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Les ingrédients d'un calcul de séquents
Pour dénir un calcul de séquents on se donne un ensemble de
règles d'inférence de la forme
∆1 ` Γ1 . . . ∆ ` Γ (n ≥ 0)
n
n
∆`Γ
Lorsque n = 0 on dit que la règle est un axiome.
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Le système
Axiome :
G
∆, A ` Γ, A
(ax )
Règles de coupure :
∆ ` Γ, A
A, ∆
∆`Γ
`Γ
(cut )
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Le système
Axiome :
G
∆, A ` Γ, A
(ax )
Règles de coupure :
∆ ` Γ, A
A, ∆
∆`Γ
`Γ
(cut )
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Règles d'inférence logiques :
∆ ` Γ, A
∆, ¬A ` Γ
∆ ` A, Γ
∆, B ` Γ
∆, A ⇒ B ` Γ
∆, A, B ` Γ
∆, A ∧ B ` Γ
∆, A ` Γ
(⇒
(∧ g )
∆, B ` Γ
∆, A ∨ B ` Γ
∆, A ` Γ
(¬ g )
∆ ` Γ, ¬A
g)
(¬ d )
∆, A ` B , Γ
∆ ` A ⇒ B, Γ
∆ ` A, Γ
∆ ` B, Γ
∆ ` A ∧ B, Γ
(∨g )
∆ ` A, B , Γ
∆ ` A ∨ B, Γ
(⇒
d)
(∧ d )
(∨d )
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Règles d'inférence logiques :
∆ ` Γ, A
∆, ¬A ` Γ
∆ ` A, Γ
∆, B ` Γ
∆, A ⇒ B ` Γ
∆, A, B ` Γ
∆, A ∧ B ` Γ
∆, A ` Γ
(⇒
(∧ g )
∆, B ` Γ
∆, A ∨ B ` Γ
∆, A ` Γ
(¬ g )
∆ ` Γ, ¬A
g)
(¬ d )
∆, A ` B , Γ
∆ ` A ⇒ B, Γ
∆ ` A, Γ
∆ ` B, Γ
∆ ` A ∧ B, Γ
(∨g )
∆ ` A, B , Γ
∆ ` A ∨ B, Γ
(⇒
d)
(∧ d )
(∨d )
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Règles d'inférence logiques :
∆ ` Γ, A
∆, ¬A ` Γ
∆ ` A, Γ
∆, B ` Γ
∆, A ⇒ B ` Γ
∆, A, B ` Γ
∆, A ∧ B ` Γ
∆, A ` Γ
(⇒
(∧ g )
∆, B ` Γ
∆, A ∨ B ` Γ
∆, A ` Γ
(¬ g )
∆ ` Γ, ¬A
g)
(¬ d )
∆, A ` B , Γ
∆ ` A ⇒ B, Γ
∆ ` A, Γ
∆ ` B, Γ
∆ ` A ∧ B, Γ
(∨g )
∆ ` A, B , Γ
∆ ` A ∨ B, Γ
(⇒
d)
(∧ d )
(∨d )
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Règles d'inférence logiques :
∆ ` Γ, A
∆, ¬A ` Γ
∆ ` A, Γ
∆, B ` Γ
∆, A ⇒ B ` Γ
∆, A, B ` Γ
∆, A ∧ B ` Γ
∆, A ` Γ
(⇒
(∧ g )
∆, B ` Γ
∆, A ∨ B ` Γ
∆, A ` Γ
(¬ g )
∆ ` Γ, ¬A
g)
(¬ d )
∆, A ` B , Γ
∆ ` A ⇒ B, Γ
∆ ` A, Γ
∆ ` B, Γ
∆ ` A ∧ B, Γ
(∨g )
∆ ` A, B , Γ
∆ ` A ∨ B, Γ
(⇒
d)
(∧ d )
(∨d )
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Réversibilité
Un système des séquents est dit réversible si pour chaque règle
∆1 ` Γ1 . . . ∆ ` Γ (n ≥ 0)
n
n
∆`Γ
la formule associée au séquent conclusion ∆ ` Γ est logiquement
équivalente à la conjonction des formules associées à ses prémisses.
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Nous remarquons que toutes les règles du système G sont
réversibles, sauf la règle de coupure. Ainsi par exemple, si on prend
l'instance suivante:
C
` B, A
C
A, C
`B
`B
(cut )
on observe que (C ⇒ B ∨ A) ∧ (A ∧ C ⇒ B ) n'est pas équivalente
à C ⇒ B (table de vérité).
Chapitre 7 Le calcul des séquents
La propriété de la sous-formule
On dénit la taille d'une formule comme le nombre de ses variables
et de ses connecteurs. Ainsi par exemple la taille de la formule
p ∨ p ⇒ q est 5. On dénit ensuite la taille d'un séquent ∆ ` Γ
comme la somme des tailles de toutes ses formules. Ainsi par
exemple la taille de p , p ` q ∨ p est 5.
Le système G possède la propriété de la sous-formule, i.e. pour
toute règle du système G de la forme
∆1 ` Γ1 . . . ∆ ` Γ (n ≥ 0)
n
n
∆`Γ
sauf la coupure, pour tout 1 ≤ i ≤ n, le multi-ensemble contenant
les formules de ∆ et de Γ est plus petit que le multi-ensemble
contenant les formules de ∆ et de Γ.
i
i
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La notion de Dérivation
La dérivation (ou preuve) du séquent ∆ ` Γ dans le système G est
un arbre ni de séquents tel que
I chaque feuille est l'instance d'un axiome.
I si Λ ` Φ est le père de n ≥ 0 séquents Λ1 ` Φ1 et . . . et
Λ ` Φ , alors Λ ` Φ est obtenu par l'application d'une règle
d'inférence sur les séquents Λ1 ` Φ1 et . . . et Λ ` Φ .
I la racine de l'arbre est le séquent ∆ ` Γ.
n
n
n
n
On écrit ∆ `G Γ pour dire que le séquent ∆ ` Γ est dérivable dans
le système G et on écrit simplement ∆ ` Γ pour parler du séquent
en tant qu'objet.
Chapitre 7 Le calcul des séquents
La notion de Dérivation
La dérivation (ou preuve) du séquent ∆ ` Γ dans le système G est
un arbre ni de séquents tel que
I chaque feuille est l'instance d'un axiome.
I si Λ ` Φ est le père de n ≥ 0 séquents Λ1 ` Φ1 et . . . et
Λ ` Φ , alors Λ ` Φ est obtenu par l'application d'une règle
d'inférence sur les séquents Λ1 ` Φ1 et . . . et Λ ` Φ .
I la racine de l'arbre est le séquent ∆ ` Γ.
n
n
n
n
On écrit ∆ `G Γ pour dire que le séquent ∆ ` Γ est dérivable dans
le système G et on écrit simplement ∆ ` Γ pour parler du séquent
en tant qu'objet.
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Théorèmes
Un théorème est une dérivation dont sa conclusion est de la forme
` Γ.
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Premier exemple de dérivation dans
G
Modus Ponens
p
(ax )
(ax )
` p, q
q, p ` q
(⇒ g )
p , (p ⇒ q ) ` q
(∧ g )
p ∧ (p ⇒ q ) ` q
(⇒ d )
` (p ∧ (p ⇒ q )) ⇒ q
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Deuxième exemple de dérivation dans
G
Tiers exclu
(ax )
`p
(¬ d )
` p , ¬p
(∨ d )
` p ∨ ¬p
p
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Troisième exemple de dérivation dans
G
Loi de Peirce
(ax )
` q, p
(ax )
` p ⇒ q, p p ` p
(⇒ g )
((p ⇒ q ) ⇒ p ) ` p
(⇒ d )
` ((p ⇒ q ) ⇒ p ) ⇒ p
p
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Quelques transformations de dérivations dans
Théorème :
∆ `G
.
G
(Aaiblissement) Si ∆ `G Γ, alors ∆, A `G Γ et
A, Γ
Théorème :
(Contraction) Si ∆, A, A `G Γ, alors ∆, A `G Γ. Si
∆ `G Γ, A, A, alors ∆ `G Γ, A l'est aussi.
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Quelques transformations de dérivations dans
Théorème :
∆ `G
.
G
(Aaiblissement) Si ∆ `G Γ, alors ∆, A `G Γ et
A, Γ
Théorème :
(Contraction) Si ∆, A, A `G Γ, alors ∆, A `G Γ. Si
∆ `G Γ, A, A, alors ∆ `G Γ, A l'est aussi.
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Quelques transformations de dérivations dans
Théorème :
∆ `G
.
G
(Aaiblissement) Si ∆ `G Γ, alors ∆, A `G Γ et
A, Γ
Théorème :
(Contraction) Si ∆, A, A `G Γ, alors ∆, A `G Γ. Si
∆ `G Γ, A, A, alors ∆ `G Γ, A l'est aussi.
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L'élimination de coupures
(Élimination de coupures) Si ∆ ` Γ est dérivable
dans le système G , alors il existe une dérivation de ∆ ` Γ dans G
qui n'utilise pas la règle de coupure.
Théorème :
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Exemple
Dérivation avec coupure:
(ax )
(ax )
(ax )
` p, s , t
p, p, t ` t
p, s , t ` t
(∨d )
(∨g )
p, t ` p ∨ s , t
p, p ∨ s , t ` t
(⇒ d )
(⇒ d )
p ` p ∨ s, t ⇒ t
p, p ∨ s ` t ⇒ t
(cut )
p ` t ⇒ t
p, t
Dérivation sans coupure:
(ax )
`t
(⇒ d )
`t⇒t
p, t
p
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La correction du système
G
Le système G est correct, i.e., si ∆ `G Γ, alors
∆ ` Γ est valide.
Théorème :
Démonstration : Par induction sur la dérivation du séquent ∆ ` Γ
dans le système G à l'aide de la réversibilité et du fait que les
axiomes sont des séquents valides.
Pour développer cette preuve on utilise la notation ∆ ⇒ Γ pour la
formule associée au séquent ∆ ` Γ (même si ∆ ⇒ Γ n'est pas
proprement une formule).
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Correction du système
G
Cas de base:
La dérivation est de la forme
∆0 , A ` Γ0 , A
(ax )
Alors on montre que ∆0 ∧ A ⇒ Γ0 ∨ A est valide par contradiction.
Si ∆0 ∧ A ⇒ Γ0 ∨ A n'est pas valide, alors il existe une aectation v
telle que [[∆0 ∧ A ⇒ Γ0 ∨ A]]v = 0, c'est à dire, [[∆0 ∧ A]]v = 1 et
[[Γ0 ∨ A]]v = 0. En particulier nous avons [[A]]v = 1 et [[A]]v = 0, ce
qui est contradictoire.
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Correction du système
G
Les cas inductifs:
Cas a) La dérivation est de la forme
..
.
∆ 0 , A, B ` Γ
(∧g )
∆0 , A ∧ B ` Γ
H.R: Le séquent ∆0 , A, B ` Γ est valide.
On montre que ∆0 , A ∧ B ⇒ Γ est valide par contradiction. Si
∆0 , A ∧ B ⇒ Γ n'est pas valide, alors il existe une aectation v telle
que [[∆0 , A ∧ B ⇒ Γ]]v = 0, c'est à dire, [[∆0 , A ∧ B ]]v = 1 et
[[Γ]]v = 0. En particulier nous avons [[∆0 ]]v = 1 et [[A]]v = 1 et
[[B ]]v = 1, d'où on obtiendrait [[∆0 , A, B ` Γ]]v = 0, en
contradiction avec l'H.R.
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Correction du système
G
Les cas inductifs:
Cas b) La dérivation est de la forme
..
.
..
.
∆0 , A ` Γ
∆0 , B ` Γ
(∨g )
∆0 , A ∨ B ` Γ
H.R: Les séquents ∆0 , A ` Γ et ∆0 , B ` Γ sont valides.
On montre que ∆0 , A ∨ B ⇒ Γ est valide par contradiction. Si
∆0 , A ∨ B ⇒ Γ n'est pas valide, alors il existe une aectation v telle
que [[∆0 , A ∨ B ⇒ Γ]]v = 0, c'est à dire, [[∆0 , A ∨ B ]]v = 1 et
[[Γ]]v = 0. En particulier nous avons [[∆0 ]]v = 1 et ([[A]]v = 1 ou
[[B ]]v = 1). Dans le premier cas on obtiendrait [[∆0 , A ` Γ]]v = 0,
dans le deuxième [[∆0 , B ` Γ]]v = 0, en contradiction avec l'H.R.
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Correction du système
G
Les cas inductifs:
Les autres cas sont similaires (à compléter en TD).
Chapitre 7 Le calcul des séquents
La complétude du système
Théorème :
alors ∆ `G Γ.
G
Le système G est complet, i.e., si ∆ ` Γ est valide,
Démonstration :
On construit une dérivation ∆ `G Γ dans le système G sans
coupures, ceci en prenant comme racine le séquent ∆ ` Γ et en
appliquant les règles du système du bas vers le haut aussi
longtemps que possible. Ce processus s'arrête nécessairement car
tout séquent prémisse est "plus petit" que le séquent conclusion
(propriété de sous-formule).
En plus, comme le séquent de la racine est valide, tous les séquents
introduits par cette construction sont valides d'après le théorème de
réversibilité.
Chapitre 7 Le calcul des séquents
Pour conclure il faut montrer que la construction s'arrête sur des
séquents axiomes, c'est à dire, que toute feuille de l'arbre de
dérivation est un axiome. Pour ceci on raisonne par l'absurde. Si le
séquent d'une feuille contient encore un connecteur logique, alors
on peut toujours appliquer une règle du système, ce qui est en
contradiction avec le fait que c'était une feuille. Alors, si le séquent
d'une feuille n'a plus de connecteur logique mais il n'est pas un
axiome, c'est qu'il est de la forme p1 , . . . , p ` q1 , . . . q , avec
p 6= q , pour tout i , j . L'interprétation qui donne vrai à toutes les
lettres p et faux à toutes les lettres q falsie ce séquent, ceci est
une contradiction avec le fait que ce séquent soit valide.
m
i
j
i
j
n