CINETIQUE DU SOLIDE

Ch.IV
CINETIQUE DU SOLIDE
Cinétique = Etude cinématique en considérant l’influence de la masse ou de sa répartition
sur le mouvement.
(S) = Solide de centre de masse G en mouvement dans () = Repère d’origine O.
( ) = Repère barycentrique d’origine G.
I. Cas d’un Point Matériel M
M de masse m en mouvement par rapport à 1. Quantité de mouvement :
2. Moment cinétique en un point A :
⁄ = ⁄
⁄ = ⁄
⁄ = ∧ ∧ 3. Quantité d’accélération :
⁄ = ⁄
5. Energie cinétique :
⁄
⁄ = ⁄ = ⁄ = ⁄
4. Moment dynamique en un point A : ∧ ∧ II. Cas d’un Solide (S)
⁄
⁄ = ∈ ⁄ = 1. Quantité de mouvement
Par rapport à :
Par rapport à ( G) :
⁄ = 2. Moment cinétique en un point quelconque A :
⁄ =
⁄
∧ ∈
C’est le moment de la quantité de mouvement.
Moment cinétique au centre de masse G :
⁄ = ⁄ ⁄ = ∈ ⁄ ∧ ⁄ + ∧ ⁄ = ∧ ⁄ = En effet :
⁄ = ⁄ = "$%
car : ∧ #
∧
%%&%%%'
(
• De plus, il est trivial de voir que :
⁄ = ) ⁄ ∀)
Donc le moment cinétique dans ( G) est indépendant du point par rapport auquel il est
calculé, on le note par:
⁄ = ⁄ = ∗ ⁄ ⁄ = -
⁄ = ∈ .⁄
3. Quantité d’accélération
Par rapport à :
Par rapport à :
⁄ = 4. Moment dynamique en un point quelconque A
⁄ =
⁄
∧ ∈
Moment dynamique au centre de masse G
⁄ = ⁄ = ∗ ⁄ )
5. Moments par rapport à un axe ∆ ( Α ,/
Moment cinétique :
Moment dynamique:
.
⁄
0 ⁄ = /
⁄
. 0 ⁄2 = /
Ces résultats sont indépendants du point A de l’axe (∆)
∆).
∆)
6. Energie cinétique
Energie cinétique barycentrique
⁄ ⁄ = ∈ ⁄ ⁄ = ∈
III. Torseur cinétique
3 ⁄ =
3 ∧ ⁄ =
⁄
∧ ⁄ = 3 ∧ ⁄ = 6
Par conséquent :
+ ⁄
43
5 ∧ ⁄7 ∧ ⁄ ∧ ⁄ ∧ 3 = 3 = 3
⁄
⁄
⁄
=
+
∧
3
3
⁄ = 89.⁄ . C’est un
Le moment cinétique est antisymétrique de vecteur associé torseur appelé torseur cinétique, noté [C] dont les éléments de réduction en un point A :
⁄ = ⁄
:⁄ = ;
⁄ =
⁄
∧ ∈
<
IV. Torseur dynamique
Il est trivial de montrer que :
3 ⁄ = ⁄ + ⁄ ∧ 3
⁄ . C’est un
⁄ = Le moment dynamique est antisymétrique de vecteur associé torseur appelé, torseur dynamique du solide (S), noté [D] dont les éléments de réduction au
point A
⁄ = ⁄
=⁄ = ;
⁄ =
<
⁄
∧ ∈
V. Théorèmes de Koenig
1er Théorème de Koenig du moment cinétique:
⁄ ∧ ⁄ = ⁄ + Par définition, le moment cinétique par rapport au point A, du centre d’inertie G considéré
comme un point matériel affectée de la masse totale m du solide (S), s’écrit :
Donc on arrive à :
⁄
⁄ = ∧ ⁄ = ∗ ⁄ + ⁄
Théorème de Koenig du moment dynamique :
⁄ = ⁄ + ⁄ ∧ Le moment cinétique en un point A, du centre de masse G du solide (S) affecté de la masse
totale du m solide (S), est :
⁄ = ⁄
∧ Donc on arrive au théorème de Koenig pour le moment dynamique :
⁄ = ∗ ⁄ + ⁄
2ème Théorème de Koenig de l’énergie cinétique :
L’énergie cinétique, ⁄ d’un solide (S) en mouvement dans un référentiel est la
somme de l’énergie cinétique barycentrique,
⁄ , et de l’énergie cinétique,
⁄ , d’un point matériel fictif placé en G, affecté de la masse totale, m de (S)
⁄ ⁄ = ⁄ + En effet :
⁄ = ⁄ + ⁄
⁄2 =
⁄2
=
⁄2
= ⁄2 + car :
⁄2
⁄ = " #
?
⁄2
+ = ⁄2.
+ ⁄2 VI. Mouvement de translation d’un solide (S) par rapport à Soit (S) un solide en mouvement de translation par rapport à . Alors :
•
•
•
•
•
•
@
A⁄ = @
A⁄. = ⁄ = ⁄ = . A⁄ = B
. A⁄. = B
⁄ = ⁄ = i
O
k
Trajectoire
Conséquences sur les théorèmes de Koenig:
•
•
⁄
⁄ = ∧ ⁄ = ⁄
∧ ⁄
⁄ = k
G
G
⁄ = •
j
i
j
F
k
(.⁄2)
j
VII. Relation entre Torseur Cinétique et Torseur Dynamique en un
point quelconque
(⁄) = ∈() ∧ (⁄)
Soit A un point quelconque de l’espace :
Moment cinétique :
Moment dynamique : (⁄) = ∈() ∧ (⁄)
( ⁄ )
G H = (⁄)
?
G ?
(⁄) − (⁄)
I =
En général :
Cas particuliers :
(⁄)
G
H =
?
G
H ∧ (⁄) +
() ? (⁄)
∧ G
H ?
()
( ⁄ )
G H = (⁄) − (⁄) ∧ (⁄)
?
G :(⁄)
?
G :(⁄)
?
I ≠ =(⁄)
I = =(⁄)
si
(⁄) ∧ (⁄) = (⁄) ∧ (⁄) = (⁄) = (⁄)
1. ≡ :
2. A fixe dans (2) : (⁄) = 3. G fixe dans (2) : (⁄) = (⁄) ∕∕ (⁄)
4. Au point G :
Comme :
(⁄) =
G (⁄)
?
I
(⁄) = (⁄) + (⁄) ∧ Par conséquent :
=
4, @
(A⁄)5
N
G
O
?
G 4,
(⁄) = N
et :
4, @
(A⁄)5
N
(⁄) = G
(⁄) ∧ H + ?
A point quelconque fixe dans () :
(⁄) = G (⁄)I
?
(A⁄)5
@
O
?
VIII. Expressions en un point quelconque du Solide (S)
Soit A un point du solide (S) en mouvement par rapport à un référentiel ().
Moment cinétique
4, @
(A⁄)5
(⁄) + N$%%%%&%%%%'
(⁄) = ∧ $%%%%%&%%%%%'
PQRST?UVR
En effet :
(⁄) =
∧ (⁄)
∈()
(⁄) ∧ (⁄) = (⁄) + W
A, M ∈(S): (⁄) ∧ (⁄) + ∈() (⁄) = ∈() ∧ 4W
∧ 5
∧ (⁄) = 6
∈()
∧ (⁄)
7 ∧ (⁄) = ∈()
(⁄) ∧ (⁄)#
∧ 4W
5 = N ", W
∈() 2V??UVR
Moment dynamique
(⁄) =
4,
N
G
Energie cinétique :
@
(A⁄)5
∧ (⁄)
H + ?
(A⁄) . :(A⁄) (⁄) =
(⁄)
(⁄)
Ω
=
X
Y Z
[
(
)
⁄
(
)
⁄
(A⁄) . (⁄). (⁄) + @
(⁄)
= Démonstration :
(⁄) ∧ (⁄) + W
(⁄) = A, M ∊(S):
(S⁄R)∧
2E
Ec (S⁄R)= (S)v
(M⁄R)2 dm=
(M⁄R).v
(A⁄R) dm + (S) v
(M⁄R). 4Ω
Ω
AM5dm
dm
dm= (S) v
(⁄) .
=
()
(⁄).
(⁄) + W
()
∧ (⁄)# "
(⁄). (⁄). (⁄)+W
(⁄) = (⁄). :(⁄)
=
Remarque 1: Au centre de masse G de (S)
(⁄)# = hh (). W
(⁄)
(⁄) = N ", W
• • (⁄) =
4, @
(A⁄)5
N
G
?
O
• (⁄2) = i(⁄) . j(⁄) = (⁄
)
(⁄ ) . (⁄ )
+ W
Conséquences sur les théorèmes de Koenig:
(⁄) + ⁄)%∧%%'
%(%
(⁄) = $%%%%&%%%%'
• hh (). W
%&%
$%
•
(⁄) =
2V??UVR
4,
N
G
(A⁄)5
@
O
?
(⁄
• (⁄) = )
+
?
PQRST?UVR
(⁄) ∧ + (⁄2 ). hh (). W
(⁄2 )
W
Remarque 2 : Solide avec un point A de (S) fixe dans ():
1. Moment cinétique:
(⁄) = (⁄)# = hh (). W
(⁄)
", W
(⁄2) = N$%
%%%&%%%%'
2V??UVR
(A⁄) doivent être exprimés dans la même base.
hh () et @
2. Moment dynamique :
(⁄) =
N 4, @
(A⁄)5
G
O
?
(A⁄) sont exprimés dans une même base de ().
Si hh () et @
(A⁄)
@
(⁄2) = hh () G.
H
?
(A⁄) sont exprimés dans (A ) lié au solide (S) :
Si hh () et @
(⁄)
(⁄)
G
(A ⁄) ∧ (⁄)
H =G
H + @
?
?
A
(⁄)
W
(⁄) = hh () G.
( ⁄) ∧ hh (). H + W
W(⁄)
?
2
3. Energie cinétique :
?
W
(⁄). hh (). W
(⁄)
(⁄) =
(⁄) = W(⁄). Remarque 3 : Solide en rotation autour d’un axe fixe
(⁄) = k /
) l’axe de rotation fixe dans () tel que: W
Soit ∆ (/
l : est la vitesse angulaire de rotation autour de l’axe
1. Moment cinétique :
0 (⁄) = l m0
m0 (A) = moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe ∆.
2. Moment dynamique:
(⁄)
k
n
G
n (⁄) =
H = hn
?
?
3. Energie cinétique:
(⁄) + l m0.
(⁄) = k hn = )
m0. (A) = moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe de rotation ∆G (G, /
IX. Système de solides
Soit (S) un solide de centre de masse G et de masse m constitué de N solides disjoints
(Si), respectivement de centre de masse Gi et de masse mi,
Torseur cinétique
p
p
:(⁄) = o:(U ⁄) =
U(
Torseur dynamique
p
=(⁄) = o =(U ⁄) =
U(
Energie cinétique
t( ⁄ )
w
(
(
⁄
)
⁄
)
= o U U ∈ U = r
r
r
r
U(
s
r
r
q
p
(⁄) = o (U ⁄)
U(
p
v
r
r
u
t ( ⁄ )
(⁄) = o U (U ∈ U ⁄)
= r
r
U(
s
r
r
q
p
(⁄) = o (U ⁄)
U(
p
(⁄) = o (U ⁄)
U(
w
r
r
v
r
r
u