SUR LES PROPRIÉTÉS DE DIVISIBILITÉ DES NOMBRES DE

Bull. Soc. math. France,
127, 1999, p. 95–113.
SUR LES PROPRIÉTÉS DE DIVISIBILITÉ
DES NOMBRES DE CLASSES DES
CORPS QUADRATIQUES
PAR
Étienne FOUVRY (*)
RÉSUMÉ. — On démontre qu’il y a une infinité de couples de discriminants
fondamentaux
positifs de la forme (∆, ∆ + 4), tels que le groupe de classes d’idéaux
√
de √
Q( ∆) n’ait pas d’élément d’ordre 2 et tels que le groupe de classes d’idéaux de
Q( ∆ + 4) n’ait pas d’élément d’ordre 3.
ABSTRACT. — ON DIVISIBILITY PROPERTIES OF CLASS NUMBERS OF QUADRATIC
— We prove that there exist infinitely many pairs of positive fundamental
√
discriminants of the form (∆, ∆ + 4), such that the ideal class
√ group of Q( ∆) has no
element of order 2 and such that the ideal class group of Q( ∆ + 4) has no element of
order 3.
FIELDS.
1. INTRODUCTION
Nous réservons la lettre p aux nombres premiers et la lettre ∆ aux
discriminants fondamentaux, c’est-à-dire aux entiers qui sont les discriminants d’extensions quadratiques de Q. Rappelons que ces entiers ne sont
divisibles par aucun carré de nombre premier impair et qu’ils sont congrus
à 1, 5, 8, 9, 12 ou 13 modulo 16.
√Soit C(∆) le groupe des classes d’idéaux
de l’anneau des entiers de Q( ∆). On désigne par | · | le cardinal d’un
ensemble et on pose
h(∆) = | C(∆)| ;
(*) Texte reçu le 24 avril 1998, accepté le 20 octobre 1998.
É. FOUVRY, Université de Paris-Sud, Mathématiques, Bât. 425, 91405 Orsay CEDEX.
Email : [email protected].
Classification AMS : 11 N 35, 11 R 11, 11 R 29, 11 T 23.
Mots clés : cribles, nombres de classes, corps quadratiques réels, sommes d’exponentielles.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
c Société mathématique de France
0037–9484/1999/95/$ 5.00
96
É. FOUVRY
√
c’est le nombre de classes. On appelle alors p-rang de Q( ∆) l’entier rp (∆)
défini par l’égalité
prp (∆) = C(∆)/Cp (∆).
Le nombre r2 (∆) est bien connu grâce aux célèbres travaux de Gauss ; il
est intimement lié au nombre de facteurs premiers de ∆ (voir critère 5.2
ci-dessous). Les autres rp (∆) sont pour l’instant très opaques, mis à part
le cas particulier p = 3, puisque, grâce aux travaux de Davenport et
Heilbronn (cf. [DH1], [DH2]), on connaı̂t, pour X → ∞, le comportement
asymptotique des sommes
3r3 (∆) .
0<±∆≤X
Toutefois les conjectures très profondes de Cohen et Lenstra [CL] prévoient, entre autres, pour les autres valeurs de p, le comportement statistique des rp (∆), lorsque ∆ parcourt l’ensemble des discriminants fondamentaux des corps quadratiques, et prédisent l’indépendance statistique
des valeurs des quantités rp (∆) et rp (∆) pour p et p nombres premiers
fixés distincts ; c’est dans cet esprit qu’il faut interpréter le résultat de
Belabas et Fouvry [BF] qui, en poussant à l’extrême les méthodes de [Be],
ont montré qu’il y a une infinité de p congrus à 1 modulo 4 tels que
r3 (p) = 0.
Imaginons que soit donnée une fonction ψ raisonnable qui à un discriminant fondamental ∆ associe un autre discriminant fondamental ψ(∆).
Si cette application n’a aucune propriété arithmétique particulière, rien
n’empêche de conjecturer qu’il y a indépendance statistique des valeurs
rp (∆) et rp (ψ(∆)) pour p et p nombres premiers fixés, distincts ou non.
C’est dans cette optique que Daniel et l’auteur [DF] ont montré que, étant
donnés deux entiers k et positifs, il existe une infinité d’entiers ∆ > 0
tels que ∆ et ∆ + 4 soient des discriminants fondamentaux et tels que
r2 (∆) = k et r2 (∆ + 4) = . En fait, à cause du critère 5.2 ci-dessous, le
résultat de [DF] n’est pas un énoncé de théorie algébrique mais de théorie
analytique des nombres, puisque les méthodes en cause pour sa preuve
sont celles que l’on met en œuvre actuellement pour résoudre des équations linéaires en nombres premiers ou presque premiers. La fonction de
Möbius sera désignée par µ.
Notre intention est de prouver le :
THÉORÈME. — Il existe une infinité de discriminants fondamentaux
positifs ∆ congrus à 1 modulo 4 ayant les propriétés suivantes :
(i) ∆ + 4 est lui-aussi un discriminant fondamental,
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(ii) h(∆) est impair,
(iii) h(∆ + 4) n’est pas divisible par 3.
Plus précisément, il existe une constante c0 > 0, telle que, pour X
suffisamment grand, on ait l’inégalité
∆ ; 5 ≤ ∆ ≤ X, ∆ ≡ 1 (mod 4),
µ2 (∆) = µ2 (∆ + 4) = 1, r2 (∆) = r3 (∆ + 4) = 0 X
·
log X
√
Cet énoncé montre√une certaine indépendance entre le 2-rang de Q( ∆)
et le 3-rang de Q( ∆ + 4). L’intérêt de ce travail réside aussi dans
les outils très puissants de géométrie algébrique qui apparaı̂tront pour
majorer des sommes trigonométriques (voir lemme 2.4). Enfin signalons
que, pour l’instant, on ne sait pas démontrer un énoncé analogue pour les
∆ < 0 ; à cela deux raisons : le 3-rang des corps quadratiques imaginaires
est en moyenne plus grand que celui des réels et le critère pour obtenir
des corps quadratiques imaginaires de nombres de classes impairs est plus
restrictif.
Pour terminer, si dans la proposition 4.1, on pouvait remplacer
l’exposant 13 − ε par un exposant strictement plus grand que 13 , on aurait
prouvé l’existence d’une infinité de p ≡ 1 modulo 4 tels que p + 4 soit sans
facteur carré et tel que r3 (p + 4) soit nul.
≥ c0
2. Notations. Lemmes préparatoires
a) Nombre de solutions de congruence.
On note
∆(a, b, c, d) = b2 c2 + 18abcd − 27a2 d2 − 4b3 d − 4c3 a
le discriminant de la forme cubique
F = (a, b, c, d) = ax3 + bx2 y + cxy 2 + dy 3 .
Nous aurons besoin du :
LEMME 2.1. — Pour entier et q entier sans facteur carré, on désigne
par ρ(q, ) le nombre de solutions à l’équation
∆(a, b, c, d) ≡ (mod q).
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La fonction ρ(q, ) est multiplicative et vérifie les égalités
p(p2 + p − 1) si p | ,
ρ(p, ) =
si p .
p3 − p
Le cas de ρ(p, ) pour p est prouvé dans [NaHo, prop. 1] et celui de
ρ(p, 0) dans [Be, lemme 4.6], lui-même hérité de [DH2, lemma 1].
LEMME 2.2. — Pour p nombre premier impair, on désigne par p8 ξ(p)
le nombre de solutions à l’équation
∆(a, b, c, d) ≡ 0
(mod p2 )
et par 164 ξ(2) le nombre de solutions aux congruences
∆(a, b, c, d) ∈ 0, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15
(mod 16).
Pour tout p, on a alors l’égalité
ξ(p) =
2
1
− 4·
2
p
p
L’ensemble des congruences ci-dessus constitue l’ensemble des congruences interdites à un discriminant fondamental, et dans le cas de p = 2,
puisqu’on a toujours ∆(a, b, c, d) ≡ 0 ou 1 modulo 4, il revient au même
de considérer l’ensemble plus petit {0, 4} (modulo 16).
La valeur de la fonction ξ, qui, par le principe d’inclusion-exclusion
nous permettra d’accéder à des valeurs de la fonction ∆(a, b, c, d) qui sont
des discriminants fondamentaux, est extraite de [DH2, lemma 1] et se
retrouve dans [Be, lemme 4.6].
b) Sommes d’exponentielles.
Soit, pour q et r entiers ≥ 1, la somme
S(h; q, r2 ) = S(h1 , h2 , h3 , h4 ; q, r2 )
ah1 + bh2 + ch3 + dh4 exp 2πi
=
qr2
2
(a,b,c,d) mod qr
la somme étant faite sur les (a, b, c, d) modulo qr2 tels que
∆(a, b, c, d) + 4 ≡ 0 (mod q) et ∆(a, b, c, d) ≡ 0 (mod r2 ).
Cette somme trigonométrique vérifie la relation de multiplicativité croisée :
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LEMME 2.3. — Si q1 , q2 et r sont des entiers premiers entre eux deux
à deux, on a l’égalité
S h; q1 q2 , r2 = S q1 r2 h; q2 , 1 S q2 r2 h; q1 , 1 S q1 q2 h; 1, r2 ,
valable pour tout quadruplet d’entiers h. On a désigné par q1 r2 l’inverse
multiplicatif de q1 r2 modulo q2 ; les quantités q2 r2 et q1 q2 le sont de façon
similaire.
C’est une application itérée du théorème chinois.
Le point important de la preuve sera de majorer la somme
S(h; q) = S(h; q, 1) =
ah1 + bh2 + ch3 + dh4 ,
exp 2πi
q
(a,b,c,d) mod q
∆(a,b,c,d)+4≡0(mod q)
puisque nous majorerons trivialement les sommes S(h; 1, r2 ). Le lemme
suivant est dû essentiellement à Katz et Laumon [KaLa], et repose sur des
méthodes très avancées de géométrie algébrique. Nous l’utiliserons sous la
forme qu’en a donnée l’auteur [Fo]. Nous nous restreignons au cas de la
variété définie par ∆(a, b, c, d) + 4 = 0. On a :
LEMME 2.4. — Il existe une constante absolue C et des fermés homogènes Vj de A4Z (j = 1, 2), de codimension j, tels que, pour tout p, on ait
les propriétés suivantes :
(i) pour tout h non nul de F4p , on a l’inégalité
S(h; p) ≤ Cp 52 ,
(ii) pour tout h hors de Vj (Fp ), on a l’inégalité
S(h; p) ≤ Cp 32 + j−1
2 .
Le point (i) est une conséquence de [Fo, prop. 1.2]. Toutefois, pour
l’appliquer, il faut vérifier que le polynôme ∆(x, y, z, t) + 4, comme
polynôme de C[x, y, z, t], n’est divisible par aucun polynôme de degré 1.
Ceci se montre directement.
Soit P (x, y, z, t) un polynôme du premier degré divisant ∆(x, y, z, t)+4.
Si le coefficient de x est non nul, on voit qu’il existe des nombres complexes
α, β, γ et δ tels que le polynôme
∆(αy + βz + γt + δ, y, z, t) + 4
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soit formellement nul. Mais ceci est impossible, puisque le polynôme précédent, considéré comme polynôme de C[y, z, t] a pour terme constant 4.
Le raisonnement est identique si le coefficient de y, de z ou de t dans le polynôme P (x, y, z, t) est non nul. On peut donc appliquer la proposition 1.2
de [Fo].
Le point (ii) est une conséquence de [Fo, prop. 1.0].
Nous utiliserons le lemme 2.4 sous la forme suivante (nous notons α
la distance du réel α à l’entier le plus proche) :
PROPOSITION 2.5. — Soient q et r des entiers tels que q soit sans facteur
carré et tels que (q, r) = 1. Soit K(X; q, r2 ) la somme
K(X; q, r2 ) =
h −1 h1
2
min X, 2 −1 min X, 2 qr
qr
h=0 mod qr 2
h −1 h −1 3
4
S(h; q, r2 ).
min X, 2 min X, 2 qr
qr
1
4
q r8
Alors, pour tout ε > 0, on a la majoration
3
1
3
K(X; q, r2 ) = Oε r8 (q 2 + q 2 X 2 + q − 2 X 4 )(qrX)ε .
Démonstration. — Notons que la dépendance en r de cette majoration
est sans importance, puisque nous l’appliquerons avec r borné, et que,
lorsque q est premier, la majoration de K(X; q, 1) est une conséquence de
[Fo, § II].
On écrit q sous la forme q = p1 · · · ps . Le lemme 2.3, l’homogénéité
des variétés V1 et V2 introduites dans le lemme 2.4, la majoration triviale
|S(h; 1, r2 )| ≤ r8 et les inclusions {0} ⊂ V2 ⊂ V1 ⊂ F4p entraı̂nent, pour
tout h modulo qr2 , l’inégalité
1
1
1
S(h; q, r2 ) ≤ C s r8 q 32
p2
p2
p2 .
p|q
h(mod p)∈V1 (Fp )
p|q
h(mod p)∈V2 (Fp )
p|q
p|h
Pour alléger l’écriture, on pose
Ξ(α) = min X, α−1 .
On décompose alors K(X; q, r2 ) sous la forme
5
(2.1) K(X; q, r2 ) ≤ q − 2 C s K0 (X; q, r2 ) + K1 (X; q, r2 )
+ K2 (X; q, r2 ) + K3 (X; q, r2 ) ,
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avec
h h h h 1
2
3
4
Ξ
Ξ
Ξ
Ξ
,
2
2
2
2
qr
qr
qr
qr
h mod qr 2
h h h h 1
2
3
4
Ξ
Ξ
Ξ
K1 (X; q, r2 ) =
Ξ
2
2
2
2
qr
qr
qr
qr
2
K0 (X; q, r2 ) =
h mod qr
K2 (X; q, r2 ) =
h mod qr
h h h h 1
2
3
4
Ξ
Ξ
Ξ
Ξ
2
2
2
2
qr
qr
qr
qr
2
K3 (X; q, r2 ) =
h=0 mod qr
1
p2 ,
p|q
h(mod p)∈V1 (Fp )
p,
p|q
h(mod p)∈V2 (Fp )
h h h h 3
1
2
3
4
Ξ
Ξ
Ξ
Ξ
p2 .
2
2
2
2
qr
qr
qr
qr
2
p|q
p|h
b.1) Étude de K0 (X; q, r2 ). — On a directement la majoration
K0 (X; q, r2 ) q 4 r8 (log qr)4 .
(2.2)
b.2) Étude de K1 (X; q, r2 ). —Cette étude est plus délicate. En sommant
d’abord sur les diviseurs de q, on a
(2.3)
K1 (X; q, r2 )
1
δ2
≤
h h h h 1
2
3
4
Ξ
Ξ
Ξ
Ξ
.
qr2
qr2
qr2
qr2
h mod qr 2
∀p|δ, h (mod p)∈V1 (Fp )
δ|q
Appelons W1 l’image de V1 par l’application (x1 , x2 , x3 , x4 ) → (x1 , x2 , x3 ).
1 le sousL’ensemble W1 est une variété de dimension ≤ 3. On note W
ensemble de W1 , constitué des (x1 , x2 , x3 ) tels que, pour tout x ∈ Fp ,
1 (Fp ) est une
le point (x1 , x2 , x3 , x) appartient à V1 (Fp ). Notons que W
2
variété de dimension ≤ 2. On décompose alors K1 (X; q, r ) en
1 K1 (X; q, r2 ) ≤
δ2
δ|q
δ=δ1 δ2
(h1 ,h2 ,h3 ) mod qr 2
h h h 1
2
3
Ξ
Ξ
Ξ
qr2
qr2
qr2
1 (Fp )
∀p|δ1 , (h1 ,h2 ,h3 )∈W
1 (Fp )
∀p|δ2 , (h1 ,h2 ,h3 )∈W1 (Fp )−W
h 4
.
Ξ
qr2
h4 mod qr 2
∀p|δ, (h1 ,h2 ,h3 ,h4 )∈V1 (Fp )
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102
É. FOUVRY
Pour évaluer la somme sur h4 , on remarque que h4 , modulo qr2 , est de la
forme
h4 = ν4 + λδ2
où 0 ≤ ν4 < δ2 et ne prend que O(δ2ε ) et λ vérifiant 0 ≤ λ < qr2 /δ2 . En
1 (Fp ), il y a O(1)
effet, si p | δ2 et si (h1 , h2 , h3 ) est fixé dans W1 (Fp ) − W
choix pour h4 modulo p pour que (h1 , h2 , h3 , h4 ) appartienne à V1 (Fp ).
Lorsque λ = 0 ou λ = qr2 /δ2 − 1, on prend la majoration Ξ ≤ X, sinon
on somme la série harmonique en h4 . On a donc
h q
4
2
r
X
+
(qrX)ε .
Ξ
qr2
δ2
2
h4 mod qr
∀p|δ,(h1 ,h2 ,h3 ,h4 )∈V1 (Fp )
1 (Fp ), et on
On oublie maintenant la condition (h1 , h2 , h3 ) ∈ W1 (Fp ) − W
itère le procédé ; on a donc l’inégalité
1 q
X+
(qrX)ε
δ2
K1 (X; q) r2
δ2
δ=δ1 δ2
δ|q
h h h 1
2
3
Ξ
Ξ
.
Ξ
2
2
2
qr
qr
qr
2
(h1 ,h2 ,h3 ) mod qr
1 (Fp )
∀p|δ1 ,(h1 ,h2 ,h3 )∈W
Nous sommes ramenés au cas de l’inégalité (2.3), la variété V1 étant
1 et δ par δ1 , d’où l’inégalité
remplacée par W
1 q
K1 (X; q) r4 (qrX)ε
δ2
X+
δ2
δ=δ1 δ2
δ|q
h h q
1
2
X+
Ξ
,
Ξ
δ4
qr2
qr2
2
δ1 =δ3 δ4
(h1 ,h2 ) mod qr
2 (Fp )
∀p|δ3 ,(h1 ,h2 )∈W
2 variété de dimension ≤ 1, soit encore
avec W
1 q
X+
δ2
K1 (X; q) r8 (qrX)ε
δ2
δ=δ1 δ2
δ|q
q q
X+
X+
X,
δ4
δ6
δ1 =δ3 δ4
δ3 =δ5 δ6
puis en sommant sur les δi on obtient finalement
1
7
(2.4)
K1 (X, q) r8 q 2 X 4 + q 2 X (qrX)ε .
TOME
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PROPRIÉTÉS DE DIVISIBILITÉ DES NOMBRES DE CLASSES
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b.3) Étude de K2 (X; q). — L’étude est très proche de celle faite
auparavant ; toutefois la variété de départ V1 est de dimension 2 (au lieu
1
de 3), le facteur δ 2 est remplacé par δ. On parvient alors à
(2.5)
K2 (X, q) r8 qX 4 + q 3 X 2 (qrX)ε .
b.4) Étude de K3 (X; q). — C’est pour cette somme uniquement qu’on
utilise le fait que h n’est pas nul modulo qr2 . On majore K3 (X; q) par
h h h h 3
1
2
3
4
Ξ
Ξ
.
Ξ
δ2
Ξ
K3 (X; q) ≤
2
2
2
2
qr
qr
qr
qr
2
2
δ|qr
δ=qr 2
h=0 mod qr
δ|h
On pose alors
(h1 , h2 , h3 , h4 ) = δ(n1 , n2 , n3 , n4 )
avec 0 ≤ n1 , n2 , n3 , n4 ≤ qr2 /δ et n = 0 ; on obtient après sommation
sur les ni et en séparant suivant le nombre de ni non nuls
3
δ 2 (qr2 δ −1 )4 + X(qr2 δ −1 )3
(2.6) K3 (X; q) 2
δ|qr
+ X 2 (qr2 δ −1 )2 + X 3 (qr2 δ −1 ) log4 (qr),
soit encore
3
K3 (X; q) r8 q 4 + q 3 X + q 2 X 2 + q 2 X 3 (qrX)ε .
En regroupant (2.1), (2.2), (2.4), (2.5) et (2.6), on obtient l’inégalité
3
1
3
K(X; q) r8 q 2 + qX + q 2 X 2 + q −1 X 3 + q − 2 X 4 (qrX)ε ,
√
ce qui donne la proposition 2.4 en utilisant la relation 2 AB ≤ A + B
valable pour A et B positifs.
3. Formes cubiques
L’objet de ce paragraphe est de rappeler tout ce qu’il faut retenir
du travail de Davenport et Heilbronn sur l’étude du 3-rang des corps
quadratiques (cf. [DH1], [DH2]) et qui, bien entendu réapparaı̂t dans [Be]
et [BF], par exemple.
Soit H(∆) la fonction 12 (3r3 (∆) − 1) ; si n n’est pas un discriminant
le volume de R4 défini comme
fondamental, on pose H(n) = 0. Soit V
étant l’ensemble des quadruplets (a, b, c, d) vérifiant
soit −A < B ≤ A < C,
a ≥ 1 et
soit
0 ≤ B ≤ A = C,
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É. FOUVRY
où les fonctions A, B et C sont définies par les formules
A = b2 − 3ac,
B = bc − 9ad,
C = c2 − 3bd,
(rappelons que la forme quadratique Ax2 + Bxy + Cy 2 est la forme
hessienne associée à ax3 + bx2 y + cxy 2 + dy 3 et que son discriminant
est −3∆(a, b, c, d)). On a la :
PROPOSITION 3.1. — Pour tout discriminant fondamental ∆ > 0, on a
l’égalité
; ax3 + bx2 y + cxy 2 + dy 3 irréductible
H(∆) = 12 (a, b, c, d) ∈ V
et ∆(a, b, c, d) = ∆ .
Nous n’étudierons pas la répartition de la fonction H dans les progressions arithmétiques (voir [NaHo, th. 1], pour le cas d’une progression fixée), mais celle d’une fonction majorant H, ce qui nous permettra
d’oublier quasiment la condition très ennuyeuse d’être un discriminant
fondamental. Signalons que, pour tout entier n, on a de façon triviale
l’inégalité
H(n) ≤ 12 g(n)
(3.1)
avec
g(n) = (a, b, c, d) ∈ V ; ∆(a, b, c, d) = n :
pour tout entier n ≥ 1, où V est un ensemble plus grand que V
V = (a, b, c, d); a ≥ 1, |B| ≤ A ≤ C .
L’inégalité est raffinée de la façon suivante. Soit P un entier fixé ≥ 3 ; on
pose alors :
• gP (n) = 0 si n n’est pas congru à 1, 5, 8, 9, 12 ou 13 modulo 16 ou
si n est divisible par le carré d’un nombre premier impair inférieur à P ;
• gP (n) = g(n) dans le cas contraire.
On pose enfin
HP (n) = 12 gP (n).
(3.2)
On a donc, pour tout P ≥ 2, et tout n > 0, l’inégalité
H(n) ≤ HP (n).
(3.3)
Cette inégalité est d’autant meilleure que P est grand puisque le support
de la fonction HP épouse de mieux en mieux la fonction caractéristique
de l’ensemble des discriminants fondamentaux.
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PROPRIÉTÉS DE DIVISIBILITÉ DES NOMBRES DE CLASSES
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4. Théorèmes d’équirépartition
Pour utiliser les formules de crible, nous contrôlerons le terme d’erreur
par la
PROPOSITION 4.1. — Pour tout ε > 0 et tout P ≥ 3, on a la majoration
(4.1)
νP (q) µ2 (q) gP (n + 4) −
g(n) = Oε,P X log−2 X ,
q
1
n≤X
q|n
q≤X 3 −ε
avec
νP (q) =
n≤X
ρ(p, 4)
p|q
p3
p≤P
p q/(2,q)
1 − ξ(p)
(2, q, p)4 ,
ρ((2, q, p), 4)
où les fonctions ρ et ξ sont définis lors des lemmes 2.1 et 2.2.
a) Réduction de la preuve de la proposition.
Pour prouver la proposition 4.1, il suffit de montrer la même relation
1
mais pour la fonction gP (n, Y ), avec Y = X 4 −3η et η > 0 très petit, à
savoir
(4.2)
νP (q) µ2 (q) gP (n + 4, Y ) −
g(n, Y )
q
1
n≤X
n≤X
q≤X 3 −ε
q|n
= Oε,P X log−2 X ,
où gP (n, Y ) et g(n, Y ) sont définis comme gP (n) et g(n) à la différence
près que la condition a ≥ 1 est remplacée par a ≥ Y , dans la définition
de V. En effet, on sait (cf. [Da, Lemma 4]) qu’on a la majoration
|E| := (a, b, c, d) ; (a, b, c, d) ∈ V, 1 ≤ ∆(a, b, c, d) ≤ X,
1
a ≤ X 4 −3η | = O(X 1−η ).
Le remplacement de gP (n) et de g(n) par gP (n, Y ) et g(n, Y ) introduit
dans la partie gauche de (4.1) une erreur en
O
τ ∆(a, b, c, d) + 4 = O(X 1−η/2 ),
(a,b,c,d)∈E
ce qui est acceptable. La lettre τ désigne la fonction nombre de diviseurs.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
106
É. FOUVRY
Enfin, par le principe d’inclusion-exclusion, pour parvenir à (4.2), il
suffit de vérifier, pour tout r, sans facteur carré, ayant tous ses facteurs
premiers inférieurs à P , qu’on a la relation
µ2 (q)
(4.3)
1
q≤X 3 −ε
(q,r)=1 ou 2
g(n + 4, Y ) −
n≤X, q|n
n+4∈C(r 2 )
ρ(p, 4) ξ(p)
g(n,
Y
)
4
p
q
n≤X
p|r
p| (2,q,r)
= Oε,r X log−2 X ,
où, en désignant par r le plus grand entier impair divisant r, on a posé
r 4 .
C(r2 ) = n ; r2 | n et n ≡ 0, 4 mod
r
On voit que le cas où r est pair est plus compliqué à écrire que le cas
où r est impair. Cette difficulté supplémentaire, uniquement confinée à
un problème de notations, nous incite à nous restreindre à prouver (4.3)
dans le cas où r est impair. Nous nous restreignons donc au cas où r est
impair.
b) Découpage.
Soit W le volume défini par
W = (a, b, c, d) ; a ≥ Y, 1 ≤ ∆(a, b, c, d) ≤ X, |B| ≤ A ≤ C .
Puisque r est impair, la preuve de (4.3) revient à montrer la relation
(4.4)
1
q≤X 3 −ε
(q,r)=1
µ2 (q) 1−
M∈W
∆(M)+4≡0(mod q)
∆(M)≡0 (mod r 2 )
ρ(p, 4) p|q
p4
ξ(p)
1
M∈W
p|r
= Oε,r X log−2 X ,
où M symbolise le point (a, b, c, d). La technique de [BF, prop. 2.11] affirme
que pour tout Q ≥ 1 il existe un ensemble de O(XQ−4 ) hypercubes
disjoints, notés Bi (avec i appartenant à un certain ensemble d’indices I),
de côtés de longueur Q, parallèles aux axes de coordonnées,
dont la réunion
Bi la majoration
est incluse dans W et tels qu’on ait pour D := W −
i∈I
(4.5)
TOME
3
1
|D ∩ Z4 | = O X 1−η + QX 4 +3η log X + Q3 X 4 +3η + Q4 .
127 — 1999 —
N
◦
1
PROPRIÉTÉS DE DIVISIBILITÉ DES NOMBRES DE CLASSES
On pose alors
107
Q = X 4 −5η ;
1
ainsi par (4.5), le cardinal
des points M de W n’appartenant à aucun
des Bi est en O X 1−η , c’est-à-dire négligeable, nous déduisons donc
1
µ2 (q) q≤X 3 −ε
(q,r)=1
1−
ρ(p, 4) p4
M∈D
p|q
∆(M)+4≡0(mod q)
2
∆(M)≡0(mod r )
ξ(p)
p|r
1
M∈D
= Oε,r X(log X)−2 ,
puisque la somme est, après interversion de sommations, majorée en
O
τ ∆(M ) + 4 .
M∈D
C’est ici que nous avons utilisé l’effet de moyenne sur q. Pour montrer la
relation (4.4) et par conséquent la proposition 4.1, il suffit de montrer que,
1
pour tout i ∈ I, pour tout q ≤ X 3 −ε , premier avec r, on a la relation
(4.6)
1 =
ρ(p, 4) M∈Bi
p|q
∆(M)+4≡0(mod q)
2
∆(M)≡0(mod r )
p4
ξ(p)
p|r
1 + Oε,r q −1 Q4 log−3 X .
M∈Bi
c) Preuve de (4.6).
Supposons que Bi = B = [x1 ; x1 + Q] × · · · × [x4 ; x4 + Q] et, dans un
premier temps qu’on a l’inégalité
Q ≤ qr2 .
(4.7)
On développe en série de Fourier la fonction caractéristique de l’intervalle
[xi ; xi + Q]. La partie gauche de (4.6) devient donc
1
4
q r8
(h1 ,h2 ,h3 ,h4 ) mod qr 2 (x1 ,x2 ,x3 ,x4 )∈B
h1 x1 + h2 x2 + h3 x3 + h4 x4 S(h; q, r2 ),
exp 2πi
qr2
où la fonction S(h; q, r2 ) est définie au lemme 2.3. Le terme h = (0, 0, 0, 0)
donne le terme principal à droite de (4.6). La contribution des autres h
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
108
É. FOUVRY
est un terme d’erreur noté E(Q; q, r2 ). En sommant les progressions
géométriques sur les xi , on a l’inégalité
E(Q; q, r2 ) 1
q 4 r8
h2
h1
min Q, 2 −1 min Q, 2 −1
qr
qr
h= mod qr 2
h3
h4
min Q, 2 −1 min Q, 2 −1 S(h; q, r2 ),
qr
qr
et cette quantité est exactement la quantité K(Q; q, r2 ) traitée dans
la proposition 2.5. On a donc
3
1
3
E(Q; q, r2 ) ε q 2 + q 2 Q2 + q − 2 Q4 X ε
et la formule (4.6) est démontrée pourvu que ε = 10η.
Enfin, dans le cas où l’inégalité (4.7) n’est pas vérifiée, c’est-à-dire
lorsque qr2 < Q est satisfaite, on voit que Bi est la réunion disjointe d’un
certain nombre d’hypercubes Bi,j dont les côtés sont tous de longueur qr2
et de O((Qq −1 r−2 )3 ) parallélépipèdes rectangles Ci,k dont tous les côtés
sont de longueur ≤ qr2 et un au moins de longueur < qr2 . On s’intéresse
alors à prouver un analogue de (4.6), pour chaque Bi,j et chaque Ci,k .
Le cas des Bi,j est trivial, puisqu’on a un système complet de résidus
modulo qr2 , l’analogue de (4.6) est alors vrai sans terme d’erreur. Le
cas des Ci,k est plus délicat, mais est très proche du cas où (4.7) est
vérifiée ; nous ne faisons donc que l’esquisser. En développant en série de
Fourier la fonction caractéristique de chaque Ci,k , et en appliquant les
lemmes 2.3 et 2.4 (i), on voit que le nombre de M à l’intérieur de Ci,k
tels que ∆(M ) + 4 ≡ 0 modulo q et ∆(M ) ≡ 0 modulo r2 , vérifie une
5
égalité analogue à (4.6), mais avec un terme d’erreur en Oε,r (q 2 +ε ). En
sommant sur j et k, on obtient donc la formule (4.6) avec un terme
5
d’erreur ε,r q 2 +ε (Q/q)3 q −1 Q4 log−3 X.
5. Preuve du théorème
Soit A l’ensemble A = {a; 1 ≤ a ≤ X}, chaque a étant affecté du poids
positif ou nul w(a) tel que
w(a) =
TOME
H(a + 4) si a + 4 = ∆, discriminant fondamental,
0
127 — 1999 —
dans le cas contraire.
N
◦
1
PROPRIÉTÉS DE DIVISIBILITÉ DES NOMBRES DE CLASSES
109
Soit P un réel grand, mais fixé. On note aussi A l’ensemble
A = a ; 1 ≤ a ≤ X ,
chaque a étant maintenant affecté du poids positif ou nul HP (a + 4), où
la fonction HP (a) est définie en (3.2). Soit z un réel et P l’ensemble des
nombres premiers. Avec les notations classiques du crible, on note
P, z) =
w(a), S(A;
HP (a + 4).
S(A; P, z) =
a≤X
p|a⇒p≥z
a≤X
p|a⇒p≥z
La démonstration s’inspire de celle présentée dans [BF, § VII]. Soit
C(X, u) la fonction définie par l’égalité
5 ≤ ∆ ≤ X ; p | ∆ ⇒ p ≥ X u1 ,
X ,
µ2 (∆ + 4) = 1, r3 (∆ + 4) = 0 = C(X, u)
log X
où u est une constante vérifiant 2 < u < 3. Signalons que les ∆ comptés
dans le cardinal précédent ont au plus 2 facteurs premiers. Puisque le
poids w(a) vaut 0 ou prend des valeurs au moins égales à 1, on a l’inégalité
1
X
(5.1) S(A; P, X u ) ≥ −C(X, u)
log X
1
+ 5 ≤ ∆ ≤ X ; p | ∆ =⇒ p ≥ X u , µ2 (∆ + 4) = 1 .
On reconnaı̂t à droite de (5.1) le cardinal des entiers n < X, congrus
à 1 modulo 4, dont tous les facteurs premiers sont distincts et supérieurs
1
à X u , tels que n + 4 soit sans facteur carré. Ce cardinal est évalué par le
lemme suivant :
LEMME 5.1. — Soit 2 < u < 3. On a, pour X → ∞, l’égalité
n ≤ X ; n ≡ 1 mod 4, µ2 (n + 4) = 1, p | n ⇒ p ≥ X u1 X
,
= 12 + o(1) · Γ · 1 + log(u − 1)
log X
1
1−
.
où Γ =
p(p − 1)
p>2
Preuve. — Soit S(X, u) le cardinal étudié. On écrit d’abord l’égalité
(5.2)
S(X, u) =
µ(d)
1,
d
n≤X
d2 |n+4
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
110
É. FOUVRY
la variable n vérifiant de plus les conditions
n ≡ 1 mod 4 et
1
p | n ⇒ p ≥ Xu.
La deuxième somme est nulle si d est pair. Sinon les n considérés sont,
à une erreur négligeable près, soit les nombres premiers ≤ X, vérifiant
une certaine congruence modulo 4d2 , soit les produits ≤ X de deux
1
nombres premiers ≥ X u , vérifiant la même congruence. Le théorème des
nombres premiers dans les progressions arithmétiques dit que la somme
des cardinaux de ces deux ensembles est, en adoptant les notations de la
théorie des nombres premiers, égale à
1 π(X) +
2
2ϕ(d )
1
π
1
X u
5
+ O X(log X)− 2
X u <p<X 2
=
5
1 1 + log(u − 1) li X + O X(log X)− 2 .
2
2ϕ(d )
5
On reporte, pour d petit (d ≤ log 4 X), cette expression dans (5.2) ; on
somme alors sur d. Pour les grandes valeurs de d, on utilise la majoration
triviale O(Xd−2 ).
La formule (5.1) donne donc la minoration
X
1
X
−C(X, u)
·
(5.3) S(A; P, X u ) ≥ 12 +o(1) ·Γ· 1+log(u−1)
log X
log X
On majore la partie gauche de (5.3) en écrivant, grâce à (3.3), l’inégalité
P, X u ).
S(A; P, X u ) ≤ S(A;
1
(5.4)
1
Pour appliquer les formules du crible on écrit, pour q sans facteur carré,
l’égalité
gP (n + 4) =
ω(q) 1 − ξ(p)
g(n) + r(X, q)
q
2≤p≤P
n≤X
q|n
avec
ω(q) =
n≤X
8 −1 ρ(p, 4)
,
1 − ξ(p)
15 2<p≤P
p3
2|q
p|q
p|q
le terme d’erreur r(X, q) étant contrôlé, en moyenne sur q ≤ X 3 −ε , par
la proposition 4.1. La fonction ω vérifie les conditions du crible linéaire,
1
TOME
127 — 1999 —
N
◦
1
PROPRIÉTÉS DE DIVISIBILITÉ DES NOMBRES DE CLASSES
111
on a donc la majoration suivante, pour tout η > 0 et X ≥ X(u, η, P )
P, X u1 ) ≤ 1 V (X u1 ).
1−ξ(p)
g(n)
F 13 u +η .
(5.5) S(A;
2
2≤p≤P
n≤X
Dans cette expression, le coefficient 12 provenant de (3.2), la fonction F (s)
est l’habituelle fonction du crible : elle vaut 2eγ /s pour s < 3. Enfin, le
1
produit eulérien V (X u ) est défini par
1
V (X u ) = 23
−1 ρ(p, 4) 1−
1 − ξ(p)
4
p
2<p≤P
1−
1
ρ(p, 4) .
p4
P <p<X u
2
1
Puisque 1 − ξ(p) = 1 − 1/p2 , l’expression de V (X u ) prend la forme
plus agréable
1
V (X u ) =
2
3
1−
2<p≤P
=
2
3
1
p2
p −1
1
1−
p2 − 1 p3
P <p<X u
1−
1 p(p2 − p − 1)
p
(p − 1)(p2 − 1)
2<p≤P
2<p<X u
p3 − p2 + 1
·
p2 (p − 1)
1
P <p<X u
Il est maintenant aisé de faire apparaı̂tre la constante Γ. Par la formule
de Mertens, on voit qu’il existe une constante cP , qui tend vers 1 lorsque
P → ∞, telle que pour X → ∞, on ait
(5.6)
1
V (X u ) ∼ cP · Γ ·
π 2 e−γ u
·
·
6 log X
En reportant (5.6) dans (5.5) et (5.4), on a finalement l’inégalité
1
6
1 S(A; P, X u ) ≤ (3 + η) · 2 · Γ · cP ·
g(n) ,
π
log X
n≤X
valable, pour tout P ≥ 3, pour une certaine constante cP (qui tend
vers 1 quand P → ∞), pour tout η > 0, pourvu que X > X(u, η, P ).
Or
g(n) est le nombre de points M , à coordonnées entières, situés à
n≤X
l’intérieur de V, vérifiant ∆(M ) ≤ X et on sait que ce nombre de points
1 2
π X (cf. [Da, Lemmas 4, 5]). On a donc, en prenant P
est équivalent à 36
suffisamment grand, l’inégalité suivante
(5.7)
1
S(A; P, X u ) ≤ 12 + η · Γ ·
X ,
log X
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
112
É. FOUVRY
valable pour tout η > 0, pourvu que X > X(u, η). En confrontant (5.3)
et (5.7), on a finalement la minoration
1
(5.8) 5 ≤ ∆ ≤ X ; p | ∆ ⇒ p ≥ X u ,
µ2 (∆ + 4) = 1, r3 (∆ + 4) = 0 ≥
1
2
− η · Γ · log(u − 1) ·
X ,
log X
pour tout η > 0, pourvu que X soit suffisamment grand. Les ∆ apparaisant à gauche de (5.8) ont au plus deux facteurs premiers. Pour se
restreindre aux ∆ avec r2 (∆) = 0, nous utilisons le critère suivant, dû essentiellement à Gauss, mais dont la forme donnée ici se trouve dans [He,
P. VII.12, Th. 4] :
CRITÈRE 5.2. — Soient ∆ un discriminant fondamental et ω(|∆|) son
nombre de facteurs premiers. Le 2-rang r2 (∆) vaut
ω |∆| − 1 ou ω |∆| − 2,
la deuxième éventualité ayant lieu si et seulement si ∆ est positif et a
au moins un diviseur premier congru à 3 modulo 4. En particulier, les
seuls ∆, positifs et impairs, tels que h(∆) soit lui aussi impair, sont,
soit les nombres premiers congrus à 1 modulo 4, soit les produits de deux
nombres premiers distincts, congrus à 3 modulo 4.
Pour terminer la preuve du théorème, il suffit, grâce à ce critère, de
faire disparaı̂tre, à gauche de (5.8), les ∆ ayant exactement deux facteurs
1
premiers p1 et p2 , tous deux congrus à 1 modulo 4, supérieurs à X u ,
2
vérifiant µ (p1 p2 + 4) = 1. Par une démonstration identique à celle du
lemme 5.1, on a l’équivalence asymptotique
n ≤ X ; n = p1 p2 , µ2 (n + 4) = 1,
1
X u ≤ p1 < p2 , p1 ≡ p2 ≡ 1 (mod 4) Γ
X
∼ · log(u − 1) ·
·
4
log X
Par soustraction à (5.8), on obtient la minoration suivante, valable pour
tout 2 < u < 3, tout η > 0 et tout X > X(u, η)
5 ≤ ∆ ≤ X ; p|∆ ⇒ p ≥ X u1 ,
r2 (∆) = 0, µ2 (∆ + 4) = 1, r3 (∆ + 4) = 0 ≥
Ceci termine la preuve du théorème.
TOME
127 — 1999 —
N
◦
1
1
4
− η · Γ · log(u − 1) ·
X
·
log X
PROPRIÉTÉS DE DIVISIBILITÉ DES NOMBRES DE CLASSES
113
Puisque u peut être pris arbitrairement proche de 2, on est tout proche
de montrer qu’il y a une infinité de p tels que p ≡ 1 modulo 4, p + 4
soit sans facteur carré et tels que r3 (p + 4) = 0. Ceci a été signalé dans
l’introduction.
BIBLIOGRAPHIE
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