Propagation d`une onde dans une corde

Ondes élastiques
& Acoustique
 Fabrice Sincère (version 2.0.1)
http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere
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Chapitre 1
Propagation d’une onde dans une corde
1-1- Onde progressive
Soit M un point de la corde :
x : position
y : amplitude de la déformation
y(x,t)
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• Equation de propagation :
∂ ²y(x, t) F ∂ ²y(x, t)
=
∂t²
µ ∂x²
F : tension de la corde (en N)
µ : masse linéaire ou linéique (en kg/m)
• Célérité (en m/s) :
F
c=
µ
• Solution générale de l’équation de propagation :
 x  x
y(x, t) = f  t −  + g t + 
 c  c
f correspond à une onde progressant dans le sens positif des x.
g
“
“
négatif
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1-2- Interférence de deux ondes progressives
• Principe de superposition
Les amplitudes s’additionnent algébriquement :
y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t)
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1-3- Réflexion et transmission
• définition de l’impédance mécanique : Z = µc = F/c
1er cas : Z2 > Z1
onde
incidente
µ2 > µ1
c2 < c1
c1
Fig. 4
+
c2
onde
réfléchie
c1
+
onde
transmise
Réflexion partielle avec changement de signe.
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2ème cas : Z2 < Z1
onde
incidente
µ2 < µ1
c1
c2 > c1
Fig. 5
+
c2
c1
+
onde
réfléchie
+
onde
transmise
Réflexion partielle sans changement de signe.
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• Relation entre amplitudes
Ai = amplitude de l’onde incidente
Ar =
“
“
réfléchie
At =
“
“
transmise
On montre que :
A r Z1 − Z 2
=
r=
A i Z1 + Z 2
t=
At
2 Z1
=
A i Z1 + Z 2
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Cas particuliers
• Réflexion sur un nœud (Z2 = ∞)
Réflexion totale avec changement de signe.
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• Réflexion libre (Z2 = 0)
Réflexion totale sans changement de signe (ex. : fouet)
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1-4- Onde progressive de forme sinusoïdale
c célérité
y
Amplitude
O
x
Fig. 8
longueur
d'onde
 2π  x  
 x
Fonction d’onde : y(x, t) = f  t −  = A sin   t −  + ϕ
 c
 T  c 
Autre écriture :
y(x, t) = A sin[ωt − kx + ϕ]
2π
avec : ω =
= 2πf (pulsation en rad/s)
T
ω 2π
et : k = =
(nombre d' onde en m -1 )
c λ
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• Création d’une onde progressive sinusoïdale
corde en acier de tension : F = 5,4 N
masse linéique : µ = 1,5 g/m
L’électroaimant impose la fréquence de vibration de la corde :
ici f = 50 Hz
A.N.
F
5,4
=
= 60 m / s
−3
µ
1,5 ⋅10
c 60
λ= =
= 1,20 m
f 50
c=
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1-5- Aspect énergétique
• Puissance transportée par une onde progressive sinusoïdale
P=
1
ZA ²ω²
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A.N. amplitude A = 1 cm (fig. 9)
Z = µc = 1,5×10-3×60 = 0,09 kg/s
P = 0,5×0,09×0,01²×(2π×50)² = 0,44 watt
Remarque :
P α A²
⇒ les vagues transportent beaucoup d’énergie.
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• Coefficient de réflexion énergétique
R = énergie de l’onde réfléchie / énergie de l’onde incidente
 Z1 − Z 2 

R = r ² = 
 Z1 + Z 2 
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• Coefficient de transmission :
T=1-R
Remarque :
analogie optique ↔ acoustique
n (indice de réfraction) ↔ Z (impédance mécanique)
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