EX 1 :( 3 points ) Une PME fabrique des boules de billard. On note X

Correction TSTMG. Évaluation 6 - Chapitre : Loi normale
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E X 1 :( 3 points ) Une PME fabrique des boules de billard. On note X la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au
hasard dans la production, associe son diamètre (en millimètres).
On suppose que X suit la loi normale d’espérance 61, 25 et d’écart-type 0, 2.
1.
a. Calculer, à 10−4 près, la probabilité P(X 6 61).
À la calculatrice
P(X 6 61) ' 0, 1056 à 10−4 près
b. Dans un lot de 200 boules de billard, à combien peut-on estimer le nombre de boules de diamètre inférieur à 61
millimètres ?. D’après la question précédente environ 10, 56% des boules ont un diamètre inférieur à 61 mm.
Dans un lot de 200 boules, environ
2.
200 × 0, 1056 = 21, 12 ' 21 boules ont un diamètre inférieur à 61 mm.
a. Une boule est dite « de premier choix » si son diamètre (en millimètres) appartient à l’intervalle [61 ; 61, 5], sinon
elle est dite « de second choix ». Calculer, à 10−4 près, la probabilité qu’une boule prélevée au hasard dans la
production soit de premier choix.
La probabilité qu’une boule soit de premier choix est P(61 6 X 6 61, 5)
Avec la calculatrice, on obtient :
P(61 6 X 6 61, 5) ' 0, 7887 à 10−4 près
b. En déduire la probabilité qu’une boule prélevée au hasard soit de second choix.
L’événement « une boule est de second choix » est l’événement contraire de « une boule est de premier choix ».
La probabilité qu’une boule prélevée au hasard soit de second choix est :
1 − P(61 6 X 6 61, 5) ' 1 − 0, 7887 = 0, 2113 à 10−4 près
E X 2 :( 2 points )
Les questions suivantes sont indépendantes.
1. Une variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance 18 et d’écart-type 0, 5.
Donner un intervalle I de centre 18 auquel appartiennent environ 95% des valeurs prises par X.
£
¤
D’après le cours, I = µ − 2σ ; µ + 2σ = [18 − 2 × 0, 5 ; 18 + 2 × 0, 5] = [17 ; 19]
2. Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d’acier. Une rondelle est conforme lorsque son diamètre (exprimé
en millimètres) appartient à l’intervalle [89, 6 ; 90, 4] et on sait que la probabilité qu’une rondelle prélevée au hasard
dans la production soit conforme est égale à 0, 95.
On note X la variable aléatoire qui associe à chaque rondelle, prélevée au hasard dans la production, le diamètre de
cette rondelle. On suppose que X suit une loi normale d’espérance 90 et d’écart-type σ.
a. Calculer σ.
On doit avoir P(89, 6 6 X 6 90, 4) = 0, 95. Comme 90 (espérance de la loi normale suivie par X) est le centre de
l’intervalle contenant 95% des valeurs on doit avoir [89, 6 ; 90, 4] = [90 − 2σ ; 90 + 2σ]
D’où 2σ = 0, 4, soit
σ = 0, 2
b. On a indiqué sur la figure ci-dessous, la courbe de la loi normale N (90 ; 0, 32 ).
Parmi les deux autres courbes, indiquer par une flêche celle de la loi normale N (90 ; 0, 22 ). Justifier.
L’écart-type est un paramètre qui traduit la dispersion des valeurs autour de la moyenne. La loi normale
N (90 ; 0, 22 ) a ses valeurs moins dispersées autour de la moyenne que la loi N (90 ; 0, 32 ).
N (90 ; 0, 22 )
N (90 ; 0, 32 )
88
89
90
91
92
Correction TSTMG. Évaluation 6 - Chapitre : Loi normale
E X 3 :( 5 points ) Une entreprise fabrique des jetons destinés à un établissement de jeux.
On note D la variable aléatoire qui, à un jeton prélevé au hasard dans la production totale, associe son diamètre en millimètres. On admet que la variable aléatoire D suit la loi normale d’espérance 29 et d’écart-type 0, 2.
Partie A. Étude du diamètre des jetons
1. Calculer, à 10−4 près, la probabilité P(D 6 29, 5).
À la calculatrice, on obtient :
P(D 6 29, 5) ' 0, 9938 à 10−4 près
2. Dans un lot de 15 000 jetons, à combien peut-on évaluer le nombre de jetons ayant un diamètre inférieur à 29, 5 mm ?
On peut estimer qu’il s’agit environ 99, 38% des jetons. Soit 15 000 × 0, 9938 = 14 907 jetons
3. On a calculé, à 10−4 près, les probabilités P(D 6 k)pour différentes valeurs de k avec un tableur.
k
P(D 6 k)
28, 8
28, 9
29
29, 1
29, 2
29, 3
0, 1587
0, 3085
0, 5000
0, 6915
0, 8413
0, 9332
Donner une valeur approchée du réel k tel que P(D 6 k) ' 0, 69 à 0, 01 près, puis interpréter ce résultat.
P(D 6 29, 1) ' 0, 69 à 0, 01 près, donc
k = 29, 1
Environ 69% des jetons ont un diamètre inférieur à 29, 1 mm.
Partie B. Amélioration de la production
Le cahier des charges de l’entreprise indique que le diamètre doit être compris entre 28, 7 mm et 29, 3 mm.
1. Calculer, à 10−4 près, la probabilité qu’un jeton pris au hasard dans la production ait un diamètre :
a. conforme au cahier des charges ;
À la calculatrice, on obtient :
P(28, 7 6 D 6 29, 3) ' 0, 8664 à 10−4 près
b. non conforme au cahier des charges. La probabilité qu’un jeton est un diamètre non conforme est :
1 − P(28, 7 6 D 6 29, 3) ' 1 − 0, 8664 = 0, 1336 à 10−4 près
2. L’entreprise désire améliorer la qualité des jetons en modifiant le réglage des machines de production.
On note X la variable aléatoire qui, à un jeton prélevé dans la production future, associe son diamètre.
On suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance 29 et d’écart-type σ.
Déterminer σ pour qu’environ 95% des jetons de la production future soient conformes au cahier des charges.
On doit avoir P(28, 7 6 X 6 29, 3) ' 0, 95.
Comme l’intervalle [28, 7 ; 29, 3] a pour centre 29, cet intervalle est : [29 − 2σ ; 29 + 2σ].
On en déduit que 2σ = 0, 3 soit
3.
σ = 0, 15
a. Colorer sur la figure ci-dessous :
le domaine correspondant a une production non conforme au cahier des charges.
b. Déterminer la valeur de la probabilité P(X > 29, 3) en s’appuyant sur le graphique. Justifier.
La probabilité d’une production non conforme est donné par : 1 − P(28, 7 6 X 6 29, 3) = 1 − 0, 95 = 0, 05.
Par symétrie de la courbe « en cloche » on a donc
P(X > 29, 3) = 0, 05 ÷ 2 = 0, 025
Ce qui représente 2, 5% de l’ensemble des valeurs.
2, 5%
28
2, 5%
' 95%
28, 7
29
29, 3
30