Comment détecter la courbure d`une surface ? Comment définir un

Courbure d'une surface
Une surface courbe est une surface où les théorèmes
euclidiens ne marchent pas. Les théorèmes euclidiens sont
les théorèmes de géométrie que l'on apprend à l'école
(comme ceux de Pythagore et Thalès).
Considérons les deux suivants :
Théorème 1 :
La somme des angles d'un triangle
est 180 degrés.
Théorème 2 :
Le périmètre d'un cercle de rayon R
est 2πR et sa surface est πR2 .
Comment détecter la courbure d'une surface ?
Comment définir un triangle, un cercle sur une
surface ?
Une notice
biographique de la vie
d'Euclide
d'Alexandrie (IIIe
siècle av. J.C.) est très
courte : on ne sait rien
ou presque de celui que
l'on peut considérer
comme le premier
enseignant de
mathématiques de
l'histoire.
Son oeuvre est couronnée par les
« Éléments » où de quelques définitions,
postulats et axiomes, il en déduit des
propositions de plus en plus complexes.
On y trouve, en particulier, l'axiome des
parallèles selon lequel par un point du
plan on ne peut mener qu'une parallèle à
une droite donnée.
La Terre
Sur la Terre, quel est le plus court chemin pour aller d'un point à un autre ?
Contrairement à ce que laisse penser les cartes, le plus court chemin n'est pas
de suivre les parallèles.
En effet, il est bien connu que Lyon et Montréal sont sur le même parallèle,
mais que l'avion qui va de Lyon à Montréal ne suit pas ce parallèle mais passe
plus au nord.
Nous appellerons « droite » (ou géodésique) sur une surface une
portion de courbe qui réalise le plus court chemin entre deux points.
Ainsi un triangle sur la sphère est constitué par trois arcs empruntés à
trois grands cercles.
Que vaut la somme des angles d'un triangle ? Considérons un triangle
un peu particulier qui occupe le huitième de la surface de la sphère.
Cartes de James Hastings-Trew
http://gw.marketingden.com/planets/earth.html
Ce triangle est alors un triangle rectangle équilatéral et la somme des
angles vaut 90°+90°+ 90° = 270°.
Que remarquez vous pour le théorème 2 ?
Voici un petit test pour reconnaître ce type de
géométrie : essayer de recouvrir localement la surface
avec un morceau de papier (ou de tissu). Ça fait des
plis ! On dira que la courbure est positive.
Merci à Jérôme Berger pour le logiciel « cloth simulator » (jeberger.free.fr)
Unité de mathématiques pures et appliquées
École normale supérieure de Lyon, CNRS UMR 5669