Commande Numérique des Systèmes Michel de Mathelin, Iulia Bara

Transcription

Ecole Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg
2ème année
Commande Numérique des Systèmes
Michel de Mathelin, Iulia Bara
et Jacques Gangloff
Cours 2ème partie
Programme de la deuxième partie (2)
• Chapitre VIII: Représentations d’état
– Représentation d’état des systèmes échantillonnés
– Obtention des équations d’état et fonctions de transfert
– Résolution des équations d’état
– Stabilité
– Commandabilité, observabilité et minimalité
– Formes canoniques
– Placement des pôles par retour d’état
• Chapitre IX: Aspects pratiques
– Définition du cahier des charges
– Choix de la période d’échantillonnage
– Prise en compte des saturations
– Prise en compte de la quantification
– Conditionnement numérique du correcteur
Programme de la deuxième partie (1)
• Chapitre VII: Synthèse des correcteurs numériques
– Objectifs
– Synthèse par transposition à partir du continu
– Prise en compte du bloqueur
– PID numériques
– Auto-réglage des PID
– Placement des pôles dominants
– Prédicteur de Smith
– Commande avec modèle interne
– Synthèse algébrique : correcteurs RST
– Analyse de la robustesse et des performances
Bibliographie – ouvrages en français
• E. Godoy et E. Ostertag, Commande numérique des systèmes.
Ellipses, Collection Technosup, Paris, 2003.
• R. Longchamp, Commande numérique de systèmes dynamiques.
Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1995.
• E. Ostertag, Systèmes et asservissements continus.
Ellipses, Collection Technosup, Paris, 2004.
• M. Rivoire et J.-L. Ferrier, Commande par calculateur et identification.
Eyrolles, Paris, 1997.
1
VII. Synthèse des correcteurs numériques
Bibliographie – ouvrages en anglais
• K. Aström and B. Wittenmark, Computer controlled systems : theory and
design.
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1984, 1990.
• G. Franklin, J. Powell, and A. Emami-Naeini, Feedback control of dynamic
systems.
Addison Wesley, Wokingham, 1988.
• G. Franklin, J. Powell, and L. Workman, Digital control of dynamic systems.
Addison Wesley, Wokingham, 1989.
• T. Kailath, Linear Systems.
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1980.
• B. Kuo, Automatic control systems.
• B. Kuo, Digital control systems.
Harcourt Brace & Jovanovich, Orlando, 1992.
• K. Ogata, Modern control engineering.
VII.1 Objectifs (1)
• Asservissement numérique d’un système continu
δu(t) Système
ε(k)
u(k)
F(z)
BOZ
- C(z)
Te
ym(k)
Régulateur numérique
r(k)
G(s)
H(s)
r
u
y
ym
Fonction de transfert du système
Fonction de transfert du capteur
Signal de consigne ou de référence
Signal de commande
Signal de sortie (grandeur à réguler)
Mesure de la sortie
δy(t)
G(s)
H(s)
v(t)
δu
δy
v
C(z)
F(z)
ε
Capteur
Perturbation d’entrée
Perturbation de sortie
Bruit de mesure
Correcteur
Préfiltre
Erreur d’asservissement
VII.1 Objectifs (2)
VII.1 Objectifs (3)
• Objectifs de la synthèse:
Stabilité:
– Le système en boucle fermée est stable
• Outils pour la synthèse:
Stabilité:
– Critère de Jury
– Critère de Nyquist
Performance:
– Lieu d’Evans (placement des pôles de la boucle
fermée)
– Calcul des erreurs en régime permanent
– Simulation (vérification a posteriori)
Robustesse:
– Marges de stabilité (diagramme de Nyquist)
– Simulation (vérification a posteriori)
Performance:
– Suivre les variations de la consigne
– Comportement en boucle fermée conforme à un
modèle
– Rejeter les perturbations et le bruit
Robustesse:
– Conservation de la stabilité et des performances
malgré les incertitudes sur le modèle (dynamiques
non modélisées, non linéarités, incertitudes
paramétriques, …)
y(t)
2
VII.1 Objectifs (4)
VII.2 Transposition à partir du continu (1)
• Méthodes simples pour la synthèse (monovariable):
– Transposition de correcteurs continus
– Utilisation de PID
– Autoréglage
– Placement de pôles (lieu d’Evans, retour d’état)
– Modèle interne
– Méthodes algébriques (RST)
• Principe:
1. Synthèse d’un correcteur continu
2. Le correcteur numérique est obtenu par approximation de
la fonction de transfert du correcteur continu à l’aide
d’équations aux différences de différentes manières :
–
–
–
–
• Méthodes avancées pour la synthèse (multivariable):
– Commande optimale : minimalisation d’un critère quadratique sur
l’erreur d’asservissement et la commande
– Commande robuste : prise en compte optimale de bornes sur les
incertitudes pour la stabilité et la performance
– Commande non linéaire : prise en compte de modèles non linéaires du
système à asservir
Echantillonnage-blocage
Approximation d’Euler (différence vers l’arrière)
Approximation d’Euler (différence vers l’avant)
Transformation bilinéaire (ou homographique)
A. Echantillonnage-blocage :
B. Approximation d’Euler (différence vers l’arrière):
Approximation de la dérivée:
e(t)
Cc(s)
u(t)
dx x (t ) − x (t − Te )
≈
dt
Te
Se comporte approximativement comme:
Te
e(t)
ε(k)
Te
BOZ
Cc(s)
u(k)
BOZ
u(t)
s →
Plan s
1 − z −1 z − 1
=
Te
Te z
Plan z
1
C(z)
•
•
si la période d’échantillonnage est suffisamment petite
 C (s) 
C ( z) = (1 − z −1 ) Z c 
 s 
Conserve la stabilité
C ( z ) = Cc ( s =
1 − z −1
)
Te
Conserve la stabilité
3
Remarque:
s =
1− z
Te
1
⇒ z−
2
−1
⇔
z =
1
1 − Te s
1  1 + Te s 


=
2  1 − Te s 
Approximation de l’intégrale:
I (t ) = ∫ x(τ )dτ
t
Te
1
→
s
1 − z −1
→ I (t ) = I (t − Te ) + Te x(t )
0
n
→ I (t = nTe ) = I (0) + Te ∑ x( kTe )
k =1
si s est sur l’axe imaginaire alors
1  1 + Te jω 
1  1 − Te2ω 2 + 2Te jω 


 =

=
2  1 − Te jω 
2 
1 + Te2 ω 2

2 2
 1 − Te ω
1 jϕ
2Te ω 

e
avec ϕ = arctan 2
,
2
2
ω
+
+
T
Te2 ω 2 
2
1
1

e
x(t)
1
z−
2
=
Approximation du retard:
z −1 = e −Te s
→ z −1
0
Te 2Te 3Te 4Te
C. Approximation d’Euler (différence vers l’avant):
Approximation de la dérivée:
C. Approximation d’Euler (différence vers l’avant):
Approximation de l’intégrale:
dx x (t + Te ) − x(t )
≈
dt
Te
s →
Plan s
I (t ) = ∫ x(τ )dτ → I (t ) = I (t − Te ) + Te x(t − Te )
t
z −1
Te
Te
z −1
1
→
s
0
x(t)
1
C ( z ) = Cc ( s =
•
z −1
)
Te
n −1
→ I (t = nTe ) = I (0) + Te ∑ x(kTe )
k =0
Plan z
•
= 1 − Te s
t
Ne conserve pas la stabilité
z −1
0
Te 2Te 3Te 4Te 5Te
t
= e −Te s
→ z −1 =
1
1 + Te s
4
D. Approximation bilinéaire (homographique):
Dans la littérature anglo-saxonne: Tustin’s approximation
Remarque:
2 z −1
Te z + 1
s →
Plan s
si s est sur l’axe imaginaire alors
Plan z
1
•
C ( z ) = Cc ( s =
z
•
2 z −1
)
Te z + 1
2 z −1
⇔
s =
Te z + 1
Conserve la stabilité et la forme
de la réponse en fréquence
=

1+

1−


=
e
jϕ
Te

jω 
2

Te
j ω 
2

avec
ϕ
Te
s
2
z =
T
1− e s
2


T2
 1 − e ω 2 + Te jω 
4

= 


T2
1+ e ω 2




4

Te2 2
1−
ω
4
= arctan 2 

Te2 2
ω
1+

4
1+
,
Te ω
T2
1+ e ω 2
4
Approximation de l’intégrale: approximation trapézoïdale
T z +1
1
→ e
s
2 z −1
I (t ) =
→
∫
t
0
x (τ ) dτ
I (t ) = I (t − Te ) +
I (t = nTe ) = I ( 0) +
x(t)
0
Te 2Te 3Te 4Te 5Te
t
Te
2
Te
(x (t ) + x (t − Te ) )
2
n
∑ (x ( kT ) + x (( k − 1)T ) )
e
k =1
e
1
z-
-T s /2
= e -T s = e T s / 2
®
1
z-
e
e
e
=
T
1- e s
2
T
1+ e s
2
e






• Conclusions:
1. La méthode s’appuie sur les résultats d’une synthèse de
correcteur analogique sur la base du modèle du système
qui est également continu.
2. La synthèse ne prend pas en compte le bloqueur et le
déphasage introduit par celui-ci dans la boucle
d’asservissement.
3. Les performances du correcteur numériques seront au
mieux celles du correcteur analogique.
4. Les performances du correcteur numérique se
rapprocheront d’autant plus de celles du correcteur
analogique que la période d’échantillonnage est petite.
5
VII.3 Prise en compte du bloqueur (1)
• Principe:
1. La transmittance échantillonnée du système ouvert avec
le bloqueur est calculée (fonction de transfert en z ).
2. Une transformation bilinéaire (transformation en w ) est
appliquée à cette transmittance échantillonnée pour
obtenir une fonction transfert continue du système ouvert
avec bloqueur.
3. Une synthèse de correcteur analogique est réalisée sur
cette fonction de transfert continue.
4. Une transformation bilinéaire est appliquée au correcteur
analogique synthétisé pour obtenir le correcteur
numérique.
1. Calcul de la transmittance échantillonnée du système ouvert :
2. Transformation bilinéaire (suite) :
3. Synthèse d’un correcteur analogique :
Plan z
e
jωTe
Plan w
•
•
•
•1
jω '
u(k)
BOZ
u(t)
Te
G(s)
y(k)
G(z)
Te
w
2 z −1
2
z=
⇔ w=
T
Te z + 1
1− e w
2
1+
2. Transformation bilinéaire :
Te
w
2 )
Gc ( w) = G ( z =
T
1− e w
2
1+
Cc(w)
Conservation de la stabilité
La réponse en fréquence
désirée doit prendre en compte
la transformation des abscisses
Gc(w)
4. Transformation bilinéaire :
si z est sur le cercle unité alors
j
ωTe
−j
ωTe
T
2 e jωTe − 1
2 e 2 −e 2
2
w =
=
tan(ω e ) = jω '
ωTe
ωTe = j
jωTe
−j
Te e
Te j 2
Te
+1
2
e
+e 2
Gc ( jω ' ) = G ( e
jω Te
)
Conservation de la forme
de la réponse en fréquence
2 z −1
w=
⇔
Te z + 1
Te
w
2
z=
T
1− e w
2
C ( z ) = Cc ( w =
2 z −1
)
Te z + 1
1+
Conservation de la stabilité
et de la forme de la
réponse en fréquence
6
VII.4 PID numériques (1)
A. Forme analogique (rappel) :
B. Formes numériques (transposition du continu) :
e(t)
Cc(s)
u (t ) = K p [e(t ) +
1. Echantillonnage-blocage: C ( z ) = K p [1 +
u(t)
1
Ti
∫ e(τ )dτ + T
t
d
0
1
+ Td s]
Ti s
Cc ( s ) = K p [1 +
Ts
1
+ d ]
Ti s 1 + Td s
N
avec
N ≥5
2. Différences vers l’arrière: C ( z ) = K p [1 +
de(t )
]
dt
Cc ( s ) = K p [1 +
N ( z − 1)
1 Te
]
+
NT
− e
Ti z − 1
z − e Td
PID idéal
3. Différences vers l’avant: C ( z ) = K p [1 +
PID réel
4. Transformation bilinéaire: C ( z ) = K p [1 +
N ( z − 1)
1 Te z
+
]
Ti z − 1 (1 + NTe ) z − 1
Td
N ( z − 1)
1 Te
+
]
Ti z − 1 z − (1 − NTe )
Td
Te z + 1
N ( z − 1)
+
]
2Ti z − 1 (1 + NTe ) z − (1 − NTe )
2Td
2Td
C. Formes standards :
D. Schéma forme standard :
Correcteur P:
C (z) =
Correcteur PI:
C ( z ) = K p [1 +
Correcteur PD:
C(z) =
Correcteur PID:
PID numérique
Kp
K p [1 +
C ( z ) = K p [1 +
1 Te
]
Ti z − 1
r(k)
ε(k)
- Kp
N ( z − 1)
]
NTe
(1 +
)z − 1
Td
N ( z − 1)
1 Te
+
]
Ti z − 1 (1 + NTe ) z − 1
Td
ym(k)
ui(k)
Te
Ti ( z − 1)
N ( z − 1)
NTe
(1 +
) z −1
Td
u(k)
BOZ
ud(k)
Te
7
D. Schéma forme standard (suite):
E. Equations aux différences :
Correcteur PID sans dérivation de l’entrée:
PID numérique sans
dérivation de l’entrée
r(k)
ε(k)
- Kp
-Kp
ym(k)
ui(k)
Te
Ti ( z − 1)
N ( z − 1)
NTe
(1 +
) z −1
Td
u(k)
BOZ
ε ( k ) = r ( k ) − ym ( k )
u ( k ) = K pε ( k ) + u i ( k ) + u d ( k )
ui (k ) = ui (k − 1) + K p
ud(k)
u d (k ) =
Te
Te
ε (k − 1)
Ti
K pN
1
u ( k − 1) −
[ y (k ) − ym (k − 1)]
NTe d
NT m
1+
1+ e
Td
Td
E. Equations aux différences (suite) :
F. Anti-saturation du terme intégral (anti-windup):
Forme incrémentale du correcteur PID:
U
ε (k ) = r (k ) − ym (k )
u(k)
T
u(k ) = u( k − 1) + K p [ε (k ) − ε (k − 1)] + K p e ε (k − 1) + ud (k ) − ud (k −1)
Ti
ud (k ) =
K N
1
u (k − 1) − p [ ym (k ) − ym (k − 1)]
NTe d
NT
1+
1+ e
Td
Td
u(k ) = u(k − 1) + K pε (k ) − K p (1 −
Te
)ε (k − 1) + ud (k ) − ud (k − 1)
Ti
-U
Commande
calculée
Saturation
(CNA, actionneur)
us(k)
Commande
appliquée
 U si u( k ) > U

us (k ) = u(k ) si u(k) ≤ U
 − U si u (k ) < −U

Risque d’emballement du terme intégral en cas de saturation
8
F. Anti-saturation du terme intégral (suite):
F. Anti-saturation du terme intégral (suite):
1. Intégration conditionnelle:
Principe : bloquer l’intégration quand la commande sature
2. Anti-saturation standard:
Principe : recalculer le terme intégral pour ne pas saturer
ε ( k ) = r ( k ) − ym ( k )
ε ( k ) = r ( k ) − ym ( k )
u0 (k ) = K pε (k ) + ui ( k − 1) + K p
T
u0 (k ) = K pε ( k ) + ui (k − 1) + K p e ε (k − 1) + ud ( k )
Ti
T

u ( k − 1) + K p e ε (k − 1) si
u i (k ) =  i
Ti
si

ui (k − 1)
u ( k ) = K pε ( k ) + ui ( k ) + ud (k )
Te
ε ( k − 1) + ud (k )
Ti
 U − ( K pε (k ) + u d ( k )) si u 0 ( k ) > U

T
ui (k ) = ui ( k − 1) + K p e ε ( k − 1) si u0 ( k ) ≤ U
Ti

−
−
ε
K
k
(
(
) + ud (k )) si u0 (k ) < − U
U
p

u0 ( k ) ≤ U
u0 (k ) > U
u ( k ) = K pε ( k ) + u i ( k ) + u d ( k ) = u s ( k )
VII.5 Auto-réglage des PID (1)
A. Méthode de Takahashi basée sur la réponse indicielle
A. Méthode de Takahashi basée sur la réponse indicielle (suite)
y(t)
Correcteur PID:
Kp
=
Kp
=
1,2 Tg
Tu + Te
Tangente au point
d’inflexion
t
Tu
Tg
Correcteur PI: K p
Correcteur P: K p
=
=
0,9 Tg 0,135 TgTe
−
2
T
Tu + e  T + Te 
2  u 2
Ti
Tg
Ti
=
2
K pTd
T 

 Tu + e 
2

T 

 Tu + e 
2

0,27 TgTe
T 

 Tu + e 
2

0,3 TgTe
2
0,6 TgTe
Tu + Te
Kp
−
=
2
Tg
2Te
9
VII.6 Placement des pôles dominants
B. Méthode de Takahashi en boucle fermée:
Principe: placer à l’aide du lieu d’Evans les pôles dominants
de la fonction de transfert du système bouclé dans une région désirée
Principe : augmenter le gain en boucle fermée avec une
correction proportionnelle jusqu’à la mise en oscillation
ξω n constante
pôles dominés
Gain critique : Kc
ξ
constante
Période des oscillations : Tc
Correcteur PID:
Kp
pôles dominants
 T 
= 0,6 K c 1 − e 
 Tc 
Kp
Ti
=
1,2 K c
Tc
K pTd
=
0,3 K cTc
4
−ξω T ± j
2
e
Pôles dominants: s1, 2 = −ξω n ± j 1 − ξ ω n → z1, 2 = e
n e
VII.7 Le prédicteur de Smith (1)
Synthèse particulière dans le cas des systèmes avec un retard important
r(k)
-
Principe: Asservir la sortie d’un modèle sans retard (prédicteur)
r(k)
ε(k)
Correcteur
u(k)
BOZ
e-Ts
G(s)
-
y(t)
-
u(k)
y(t)
e-Ts G(s)
BOZ
z-d
yp(k)
ym(k)
Nombre de pôles important et déphasage important
C(z)
G(z)
Te
 G( s) 
−d
−1
Fonction de transfert du système (boucle ouverte): = z (1 − z ) Z 

 s 
T
avec
d=
= z −dG( z )
Te
1−ξ 2 ω nTe
Te
-
em(k)
correcteur numérique
y p (k ) est la prédiction de la sortie future : y (( k + d )Te )
em (k )
est renvoyé sur l’entrée pour compenser les perturbations et
les erreurs de modèle
10
VII.8 Commande avec modèle interne (1)
Schéma équivalent:
Principe: Rétroaction de l’écart entre le système et un modèle
e(k)
r(k)
-
C(z)
-
u(k)
y(t)
e-Ts G(s)
BOZ
r(k)
u(k)
Correcteur
-
Modèle
(1-z-d)G(z)
Système
stable
BOZ
Te
y(t)
Te
ym(k) -
em(k)
Y ( z ) z − d C ( z )G ( z )
=
R ( z ) 1 + C ( z )G ( z )
U (z)
C ( z)
=
E ( z ) 1 + (1 − z − d )C ( z )G ( z )
Yp ( z)
R( z)
=
C ( z )G ( z )
1 + C ( z )G ( z )
Si le modèle est parfait et s’il n’y a aucune perturbation, le signal de
contre-réaction est nul
Le correcteur C(z) est synthétisé sur le
système sans retard
Si le correcteur est stable le système bouclé est stable
Schéma-bloc:
Y ( z ) = C ( z )G ( z ) E ( z ) + P ( z )
p(t)
e(k)
r(k)
-
C(z)
u(k)
Gm(z)
y(t)
G(s)
BOZ
Te
ym(k) -
em(k)
 G( s) 
Soit G ( z ) = z (1 − z ) Z 

 s 
−d
E ( z) =
−1
stable et
P ( z ) = Z {P ( s)}
1
(R( z ) − P( z ) )
1 + C ( z )(G ( z ) − Gm ( z ) )
Y ( z) =
C ( z )G ( z )
1 − C ( z )Gm ( z )
R( z ) +
P( z)
1 + C ( z )(G ( z ) − Gm ( z ) )
1 + C ( z )(G ( z ) − Gm ( z ) )
Equivalence avec un correcteur série classique:
Soit C ( z ) =
F ( z)
1 + F ( z )Gm ( z )
⇔
F ( z) =
C ( z)
1 − C ( z )Gm ( z )
F ( z )G ( z )
1
R( z) +
P( z)
1 + F ( z )G ( z )
1 + F ( z )G ( z )
Hypothèse du modèle parfait:
Y ( z) =
Gm ( z ) = G ( z )
Y ( z ) = C ( z )G ( z ) R( z ) + (1 − C ( z )G ( z )) P( z )
Si le correcteur est stable le système bouclé est stable
11
Principes pour la synthèse du correcteur:
A. Hypothèse du modèle parfait
Principes pour la synthèse du correcteur (suite):
B. Cas général du modèle imparfait
Gm ( z ) = G ( z ) = GI ( z )G NI ( z )
Gm ( z ) = GI ( z )G NI ( z ) ≠ G ( z )
où GI(z) est la partie inversible de G(z)
et GNI(z) est la partie non inversible
contenant les retards et les zéros non
compensables
où GI(z) est la partie inversible de Gm(z)
et GNI(z) est la partie non inversible
−1
C ( z ) = Q ( z )GI−1 ( z ) avec Q ( z ) stable et Q (1) = G NI
(1)
−1
C ( z ) = Q ( z )GI−1 ( z ) avec Q ( z ) stable et Q (1) = G NI
(1)
Y(z) =
Y ( z ) = Q ( z )G NI ( z ) R ( z ) + (1 − Q ( z )G NI ( z )) P ( z )
Q(z)GI−1G(z)
1− Q(z)GNI (z)
R(z) +
P(z)
−1
1+ Q(z)(GI (z)G(z) − GNI (z))
1+ Q(z)(GI−1(z)G(z) −GNI (z))
En pratique, si Q(z) est un filtre passe-bas, de fréquence
de coupure suffisamment petite alors le système
bouclé est stable, l’erreur de position est nulle et les
perturbations constantes sont rejetées
Le système bouclé est stable, l’erreur de position est nulle
et les perturbations constantes sont rejetées
VII.9 Synthèse algébrique (1)
Règles standards pour la synthèse du correcteur:
Soit
Gm ( z ) =
m
p
q
i =1
j =1
n
k =1
g ∏ ( z − z i )∏ ( z − z j )∏ ( z − z k )
z r ∏ ( z − pi )
avec m + p + q < r + n
9.1 Le correcteur RST:
A. Schéma
yr(k)
−1
ε(k)
T (z )
-
δu(k)
1
S ( z −1 )
u(k)
δy(k)
G (z )
y(k)
i =1
avec
zi les zéros à partie réelle positive à l’intérieur du cercle unité
zj les zéros à partie réelle positive à l’extérieur du cercle unité
zk les zéros à partie réelle négative
C (1) = Gm−1 (1)
n
g c ∏ ( z − pi )
(1 − α ) z
i =1
avec Q ( z ) =
C ( z ) = Q( z )
p
m
1−α z
1
q
z ∏ ( z − z i )∏ ( z − )
<
α
<
0
1
z
=
=
i 1
j 1
j
R ( z −1 )
−1
−1
−1
−1
avec R ( z ), S ( z ), T ( z ) polynômes en z
−1
et S ( z ) monique
Soit G ( z ) =
d ≥1
z − d B ( z −1 )
A( z −1 )
S ( 0) = 1
−
−
−
avec B ( z 1 ), A( z 1 ) polynômes en z 1
−1
premiers et A( z ) monique
A(0) = 1
12
B. Equations du système bouclé
−d
−1
Y ( z) =
z B( z )
(U ( z ) + δU ( z )) + δY ( z )
A( z −1 )
(1)
U (z) =
T ( z −1 )
R ( z −1 )
Yr ( z ) −
Y ( z)
−1
S (z )
S ( z −1 )
(2)
C. Objectifs de la synthèse
1. Le suivi de consigne obéit au modèle suivant:
z − d Bm ( z −1 )
Bm (1) = Am (1)
avec M (1) = 1
M ( z) =
Am ( z −1 )
l’erreur de position est nulle
−1
et Am ( z ) monique
Y ( z) =
z −d BT
z − d BS
AS
δU ( z ) +
δY ( z ) (3)
Y ( z) =
Yr ( z ) +
−d
AS + z BR
AS + z −d BR
AS + z −d BR
AT
z − d BR
AR
U (z) =
Yr ( z ) −
δU ( z ) −
δY ( z ) (4)
−d
AS + z BR
AS + z −d BR
AS + z −d BR
Am (0) = 1
−d
z BT
z − d Bm
Yr ( z ) = MYr ( z ) =
Yr ( z )
−d
AS + z BR
Am
Exemples de modèle:
Modèle d’ordre 1 de constante de temps τ:
Am ( z −1 ) = 1 − αz −1
Am ( z −1 ) = 1 − 2α cos( β ) z −1 + α 2 z −2
avec α = e −ξωnTe
1
1 − z −1
T z −1
δU ( z ) = e −1 2
(1 − z )
z − d BS
δU ( z )
AS + z −d BR
Y ( z) =
Perturbation constante: δU ( z ) =
S ( z −1 ) = (1 − z −1 ) S1 ( z −1 )
Perturbation rampe:
S ( z −1 ) = (1 − z −1 ) 2 S1 ( z −1 )
3. Rejet des perturbations de sortie:
Y ( z) =
AS
δY ( z )
AS + z −d BR
Perturbation constante:
A( z −1 ) S ( z −1 ) = (1 − z −1 ) A1 ( z −1 ) S1 ( z −1 )
Perturbation rampe:
A( z −1 ) S ( z −1 ) = (1 − z −1 ) 2 A1 ( z −1 ) S1 ( z −1 )
Rejet des perturbations: ∃p tel que S ( z −1 ) = (1 − z −1 ) p S1 ( z −1 ) (6)
avec α = e
−
Te
τ
Modèle d’ordre 2 de pulsation naturelle ωn et de facteur d’amortissement ξ:
C. Objectifs de la synthèse (suite)
2. Rejet des perturbations d’entrée:
(5)
D. Compensation des pôles et des zéros
1. Compensation des zéros:
Soit
β = ω nTe 1 − ξ 2
BT
B
= m
AS + z − d BR Am
cf. (5)
B ( z −1 ) = B + ( z −1 ) B − ( z −1 )
+
−1
B + (0) = 1
avec B ( z ) monique
contient les zéros que l’on souhaite compenser
B − ( z −1 ) contient les zéros que l’on ne souhaite pas compenser
(zéros en dehors du cercle unité, zéros à partie réelle négative, …)
S ( z −1 ) = B + ( z −1 ) S 0 ( z −1 ) = (1 − z −1 ) p B + ( z −1 ) S 2 ( z −1 )
Y ( z) =
−d
−
(7)
−d
z B T
z BS 0
AS 0
Y ( z) +
δU ( z ) +
δY ( z )
AS 0 + z − d B − R r
AS 0 + z − d B − R
AS 0 + z − d B − R
13
B −T
B
= m
AS0 + z −d B − R Am
D. Compensation des pôles et des zéros (suite)
2. Compensation des pôles:
Soit
−1
+
−1
−
−1
A( z ) = A ( z ) A ( z )
cf. (5) et (7)
+
−1
avec A ( z ) monique
contient les pôles que l’on souhaite compenser
E. Calcul du correcteur RST
B −T0
B
= m
−
−d −
A S 0 + z B R0 Am
Bm
(pôles en dehors du cercle unité, pôles sur le cercle unité, …)
+
−1
−1
R ( z ) = A ( z ) R0 ( z )
Y (z) =
−d
et
−
−1
+
−1
−1
T ( z ) = A ( z )T0 ( z )
−d
(8)
−
z B T0
z BS0
A S0
δU ( z) + −
δY ( z )
Yr ( z) + + −
A− S0 + z − d B− R0
A ( A S0 + z −d B− R0 )
A S0 + z − d B− R0
S 0 ( z −1 ) = (1 − z −1 ) p S 2 ( z −1 )
Rejet de perturbation
Suivi de consigne
B−
doit contenir
Bm = B − Bm+
T0
B
=
A− S 0 + z −d B − R0 Am
T0 ( z −1 ) = Bm+ ( z −1 ) A0 ( z −1 )
(10)
Equations diophantiennes
(1 − z −1 ) p A − ( z −1 ) S 2 ( z −1 ) + z − d B − ( z −1 ) R0 ( z −1 ) = Am ( z −1 ) A0 ( z −1 ) (11)
avec A0 monique et stable, ajouté pour le filtrage des perturbations
F. Résolution des équations diophantiennes
R0 , S 2 , T0
(1 − z −1 ) p A − ( z −1 ) S 2 ( z −1 ) + z − d B − ( z −1 ) R0 ( z −1 ) = Am ( z −1 ) A0 ( z −1 )
Soit
{
m = deg {z
q = deg {A
Cf. (11)
}
n = deg (1 − z −1 ) p A − ( z −1 )
−d
−
B (z
−1
)}
}
−1
−1
m ( z ) A0 ( z )
• Si q < n + m alors il existe une solution unique d’ordre minimal
telle que deg {S 2 ( z −1 )}= m − 1 et deg {R0 ( z −1 )}= n − 1
(11) est une équation polynomiale d’ordre n+m-1
avec n+m coefficients inconnus
système de n+m équations à n+m inconnues
(9)
+
m
A− ( z −1 ) monique
contient les pôles que l’on ne souhaite pas compenser
−1
cf. (5), (6), (7) et (8)
F. Résolution des équations diophantiennes (suite)
• Si q ≥ n + m alors il existe deux solutions d’ordre minimal
telles que :
deg {R0 ( z −1 )}= q − m
deg {S 2 ( z −1 )}= m − 1
1.
et
2.
deg {S 2 ( z −1 )}= q − n
et
deg {R0 ( z −1 )}= n − 1
(11) est une équation polynomiale d’ordre q
avec q+1 coefficients inconnus
système de q+1 équations à q+1 inconnues
14
F. Résolution des équations diophantiennes (suite)
G. Fonctions de transfert en boucle fermée résultantes
• Si S 2 , R0
est une solution particulière de l’équation
diophantienne (11), alors S 2 + Q ( z −1 ) z − d B − , R0 − Q ( z −1 )(1 − z −1 ) p A −
−1
est également une solution de cette équation quelque soit Q ( z )
Y (z) =
S 2 ( z −1 )
E(z) = Yr (z) −Y(z) =
z −1 = 0
U (z) =
Am − z−d B−Bm+
z−d BS
A−S
Yr (z) − + 0 δU(z) − 0 δY(z) (13)
Am
A Am A0
Am A0
ABm+
z − d B − R0
AR
Yr ( z ) −
δU ( z ) − + 0 δY ( z )
+
B Am
Am A0
B Am A0
est monique
H. Objectifs supplémentaires pour la synthèse
1. Erreur de vitesse (erreur d’ordre 1) nulle:
avec
Yr ( z ) =
Am − z−d B−Bm+
Yr (z)
Am
Te z −1
(1 − z −1 ) 2
I. Récapitulatif
1. Définition des pôles et des zéros à compenser
G ( z) =
Cf. (13)
Am − z−d B− Bm+ = (1− z−1)2 B0 (z−1)
avec
Bm+ ( z −1 ), B0 ( z −1 )
Equation diophantienne
Am − z−d B−Bm+ = (1− z−1)3 B0(z−1)
Am = z−d B−Bm+ + (1− z−1)(r+1) B0(z−1)
z − d B ( z −1 ) z − d B + ( z −1 ) B − ( z −1 )
=
A( z −1 )
A+ ( z −1 ) A − ( z −1 )
B + ( z −1 ) monique et contenant les zéros que l’on souhaite compenser
B − ( z −1 ) contenant les zéros que l’on ne souhaite pas compenser
A+ ( z −1 ) monique et contenant les pôles que l’on souhaite compenser
A− ( z −1 ) monique et contenant les pôles que l’on ne souhaite pas compenser
2. Erreur d’accélération (erreur d’ordre 2) nulle:
3. Erreur d’ordre r nulle :
(14)
B + doit être stable et de préférence amorti
E(z) = Yr (z) −Y(z) =
(12)
A+ doit être stable et de préférence amorti
il existe une infinité de solutions d’ordre supérieur
• Comme A− , Am , A0 sont moniques, en posant
dans (11), on obtient
S 2 (0) = 1
z −d B − Bm+
z −d BS0
A− S0
δU ( z) +
δY ( z)
Yr ( z) + +
Am
A Am A0
Am A0
2. Définition du modèle de suivi de consigne
(15)
M ( z) =
z − d Bm ( z −1 ) z − d B − ( z −1 ) Bm+ ( z −1 ) avec Am (0) = 1, Bm (1) = Am (1)
=
Am ( z −1 )
Am ( z −1 )
Am = z−d B−Bm+ + (1− z−1)(r+1) B0(z−1)
15
I. Récapitulatif (suite)
3. Ajout d’intégrateurs pour le rejet de perturbation
I. Récapitulatif (suite)
6. Calcul du correcteur RST
−1
A0 ( z −1 ) stable et monique
−1
par défaut A0 ( z ) = 1
5. Résolution des équations diophantiennes
−
−1
−1
−d
−
−1
−1
−1
−1
(1 − z ) A ( z ) S 2 ( z ) + z B ( z ) R0 ( z ) = Am ( z ) A0 ( z )
T0 ( z −1 ) = Bm+ ( z −1 ) A0 ( z −1 )
+
−1
−1
−1
R ( z ) = A ( z ) R0 ( z ) = r0 + r1 z + r2 z
4. Choix d’un filtre supplémentaire pour les perturbations
−1 p
+
T ( z −1 ) = A + ( z −1 )T0 ( z −1 ) = t 0 + t1 z −1 + t 2 z −2 +
S ( z −1 ) = (1 − z −1 ) p S1 ( z −1 )
R0 ( z −1 ), S 2 ( z −1 ), T0 ( z −1 )
−1
avec S 2 ( z ) monique
−2
S ( z −1 ) = (1 − z −1 ) p B + ( z −1 ) S 2 ( z −1 ) = 1 + s1 z −1 + s2 z −2 +
7. Réalisation du correcteur
T ( z −1 )
R ( z −1 )
U (z) =
Yr ( z ) −
Y ( z)
−1
S (z )
S ( z −1 )
⇒ u (k ) = − s1u ( k − 1) − s2u (k − 2) −
− r0 y ( k ) − r1 y (k − 1) −
+ t y (k ) + t y (k − 1) + 0
r
1 r
9.2 Correcteur à temps d’établissement fini:
A. Système :
z − d B ( z −1 ) z − d B + ( z −1 ) B − ( z −1 )
Soit G ( z ) = A( z −1 ) = A+ ( z −1 ) A − ( z −1 )
avec
B + ( z −1 ) monique et contenant les zéros que l’on souhaite compenser
B − ( z −1 ) contenant les zéros que l’on ne souhaite pas compenser
−1
B. Modèle de suivi de consigne particulier: Am ( z ) = 1
z −d Bm ( z −1 )
−
+
= z −d B − ( z −1 ) Bm+ ( z −1 ) avec B (1) Bm (1) = 1
M ( z) =
Am ( z −1 )
−d − −1 + −1
−1 (r+1)
−1
et 1 = z B (z )Bm(z ) +(1− z ) B0(z ) (erreur d’ordre r nulle)
9.2 Correcteur à temps d’établissement fini (suite):
C. Résolution des équations diophantiennes:
(1 − z −1 ) p A − ( z −1 ) S 2 ( z −1 ) + z − d B − ( z −1 ) R0 ( z −1 ) = A0 ( z −1 )
T0 ( z −1 ) = Bm+ ( z −1 ) A0 ( z −1 )
R0 ( z −1 ), S 2 ( z −1 ), T0 ( z −1 )
−
avec S 2 ( z 1 ) monique
D. Calcul du correcteur à temps d’établissement fini:
T ( z −1 ) = A + ( z −1 )T0 ( z −1 )
R ( z −1 ) = A + ( z −1 ) R0 ( z −1 )
S ( z −1 ) = (1 − z −1 ) p B + ( z −1 ) S 2 ( z −1 )
16
E. Fonctions de transfert en boucle fermée:
z −d BS
A−S0
Y ( z ) = z −d B − Bm+Yr ( z) + + 0 δU ( z ) +
δY ( z )
A A0
A0
E(z) = Yr (z) −Y(z) = (1− z−1)(r+1) B0(z−1)Yr (z) −
F. Correcteur à réponse pile (« dead beat control »)
Cf. (12)
z−d BS0
A−S
δU(z) − 0 δY(z)
+
A A0
A0
U (z) =
Cf. (13)
n
Réponse à une consigne de type y r (k ) = k Υ (k ) avec n ≤ r
−1
P( z )
Yr ( z ) =
E(z) = (1− z−1)(r−n) B0 (z−1)P(z−1)
(1 − z −1 ) n+1
ε (k) = 0 ∀k > k0 = deg{ (1− z−1 )(r−n) B0 (z −1 )P(z −1 ) }
−1
Temps d’établissement fini minimal si B0(z ) est minimal
ABm+
z − d B − R0
AR
Yr ( z ) −
δU ( z ) − + 0 δY ( z )
+
B
A0
B A0
+ −1
Cas particulier : si B (z ) =1 et si le système contient r intégrateurs
A(z−1) = (1− z−1)r A1(z−1)
n
Réponse à une consigne de type y r (k ) = k Υ (k ) avec n ≤ r
−1
P( z )
1
Yr ( z ) =
U(z) = (1− z−1)(r−n) A1(z−1)Bm+ (z−1)P(z−1)
(1 − z −1 ) n+1
−
1 z−1
u(k) = constante ∀k > k0 = deg{ (1− z −1 )(r −n) A1 (z −1 )Bm+ (z −1 )P(z −1 ) }
Temps d’établissement fini et réponse pile
9.3 Correcteur série:
A. Schéma
ε(k)
yr(k)
-
−1
−1
δu(k)
R ( z −1 )
S ( z −1 )
u(k)
avec R ( z ), S ( z ) polynômes en z
−1
δy(k)
G (z )
y(k)
−1
et S ( z ) monique
Correcteur RST avec R ( z −1 ) = T ( z −1 )
Moins de degrés de liberté dans la synthèse du correcteur
Cf. (14)
9.3 Correcteur série (suite):
B. Système :
z − d B ( z −1 ) z − d B + ( z −1 ) B − ( z −1 )
Soit G ( z ) = A( z −1 ) = A+ ( z −1 ) A − ( z −1 )
+
−1
avec B ( z ) monique et contenant les zéros que l’on souhaite compenser
−
B ( z −1 ) contenant les zéros que l’on ne souhaite pas compenser
C. Modèle de suivi de consigne:
z − d Bm ( z −1 ) z − d B − ( z −1 ) Bm+ ( z −1 ) avec Am (0) = 1, Bm (1) = Am (1)
=
M ( z) =
Am ( z −1 )
Am ( z −1 )
−d − +
−1 (r+1)
−1
et Am = z B Bm + (1− z ) B0(z ) (erreur d’ordre r nulle)
17
VII.10 Robustesse (1)
9.3 Correcteur série (suite):
D. Ajout d’intégrateurs pour le rejet de perturbation et le suivi de
consigne :
S ( z −1 ) = (1 − z −1 ) p S1 ( z −1 )
Marges de stabilité
Diagramme de Nyquist
−1
E. Compensation des pôles et des zéros:
S ( z −1 ) = B + ( z −1 ) S 0 ( z −1 ) = (1 − z −1 ) p B + ( z −1 ) S 2 ( z −1 )
CG(ejωTe)
R ( z −1 ) = A + ( z −1 ) R0 ( z −1 )
F. Résolution des équations diophantiennes (sans filtre supplémentaire)
−1 p
−
−1
−1
−d
−
−1
−1
−1
(1 − z ) A ( z ) S 2 ( z ) + z B ( z ) R0 ( z ) = Am ( z )
+
m
−1
+
m
−1
B ( z ) = R0 ( z )
−
−1
−1 m
Le choix de B
−
1
−d
est imposé
soit A (z ) = (1− z ) A (z )
− +
m
R0 , S 2
B − (1) R0 (1) = Am (1)
Am = z B B +(1− z−1)(r+1) B0 si p+m>r
−1
−1
•
g′
-1
•δ •
• ϕ
ω=
g
1
ωc
ω =0
Critère de Nyquist:
Le système asservi (en boucle fermée) est stable ssi CG(ejωΤe)
encercle le point -1 dans le sens anti-horlogique un nombre
de fois égal au nombre de pôles instables de la boucle ouverte
Marges de stabilité (suite)
Marges de stabilité (suite)
A. Marge de phase
ϕ
B. Marge de retard
τ
{ω ci }
= gain qui entraîne l’instabilité
D. Marge de module δ
= retard qui entraîne l’instabilité
soit
g et g’ < 1
C. Marges de gain
= déphasage qui entraîne l’instabilité (retard de phase)
π
Te
les pulsations telles que
(
soit ϕ i = π + arg CG e jω ciTe
ϕ
⇒ τ = min i
i ω T
ci e
)
(
CG e
jω ciTe
) =1
= distance minimale entre CG(ejωΤe) et -1
{
}
δ = inf 1 + CG (e jωTe ) =
ω∈R
1
1
sup
jωTe
)
ω∈R 1 + CG (e
⇒δ =
∞
1
S∞
= norme H ∞
ou L∞
18

Commande Numérique des Systèmes Michel de Mathelin, Iulia Bara

Transcription

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