Correction Devoir commun seconde

Correction devoir commun seconde Session 2010/2011
Exercice 1
Dans cet exercice, il n'est pas nécessaire de justifier les lectures graphiques.
Les réponses aux questions seront données directement sur cette feuille si la place vous le permet.
( C’ )
4
(C)
1, 2
J
−4, 6
−3
−2
−1
O
I
3
2
On a représenté ci-dessus la courbe représentative (C) d’une fonction f définie sur l'intervalle [–5 ;5].
1. Déterminer graphiquement avec le degré de précision autorisé par le graphique :
a. Les images de –1 et de 3 par f :
f ( −1) = 4
et
f ( 3) ≃ 1, 2
b. Les antécédents de 4 et de –3 par f : pour f ( x ) = 4 on a S = {−4, 6 ; − 1}
pour f ( x ) = −3 on a S = ∅
2. Résoudre graphiquement l’inéquation f ( x ) > 2 : S = [ −5 ; − 3[ ∪ ]−3 ; 2[
3. Donner le tableau de variation de f sur l’intervalle [–5 ;5] :
x
f ( x)
–5
5
–3
–1
4
2
5
–2
4. Donner l'ensemble des nombres réels qui n'ont pas d'antécédent par f :
Tous les nombres de l’ensemble S = ]−∞ ; − 2[ ∪ ]5 ; + ∞[
5. Donner le meilleur encadrement possible de f (x) lorsque x appartient à l'intervalle [–3 ; 5] :
En utilisant le tableau de variation de f lorsque x appartient à l’intervalle [ −3 ; 5] on a −2 ≤ f ( x ) ≤ 4
6. Soit g la fonction définie sur l'intervalle [–5 ;5] par : g ( x ) = x + 5
a. Tracer la courbe ( C ′ ) représentant g dans le même repère que celui où l’on a représenté
la courbe (C).
S = {−3 ; − 2 ; − 1}
b. Résoudre graphiquement l’équation : f(x) = g(x) :
c. Résoudre graphiquement l’inéquation : f(x) ≥ g(x) : S = [ −5 ; − 3] ∪ [ −2 ; − 1]
Exercice 2
Partie A
2
Soit A ( x ) = ( x + 5 ) − 9 .
1. Factoriser A(x).
A ( x ) = ( x + 5 ) − 32 = ( x + 5 − 3)( x + 5 + 3) = ( x + 2 )( x + 8 )
2. Développer A(x).
A ( x ) = x 2 + 10 x + 25 − 9 = x 2 + 10 x + 16
3. Calculer A(3).
A ( 3) = ( 3 + 5 ) − 32 = 64 − 9 = 55
2
2
4. a. Résoudre A(x) = 0. A ( x ) = 0 ⇔ ( x + 2 )( x + 8 ) = 0 ⇔ ou
x+2=0
x = −2
⇔ ou
x+8 = 0
x = −8
S = {−8 ; − 2}
b. Résoudre A(x) = 55.
A ( x ) = 55 ⇔ ( x + 5 ) − 9 = 55 ⇔ ( x + 5 ) − 64 = 0 ⇔ ( x + 5 − 8 )( x + 5 + 8 ) = 0
2
2
⇔ ( x − 3)( x + 13) = 0 ⇔ ou
x=3
x = −13
S = {−13 ; 3}
c. Résoudre A(x) > 55. (On fera un tableau de signes)
A ( x ) > 55 ⇔ ( x − 3)( x + 13) > 0
S = ]−∞ ; − 13[ ∪ ]3 ; + ∞[
x
x−3
x + 13
( x − 3)( x + 13)
−13
−∞
–
–
0
+
0
On s’intéresse à la figure PUVWRS coloriée ci-contre.
On pose QM = x et MV = 2x .
Partie B
–
+
–
3
0
0
+∞
+
–
+
On a PQ = PS = 4 cm et QU = 10 cm.
Cette figure est donc composée d'un carré
PQRS fixe ainsi que d'un rectangle QMVW et d'un
triangle rectangle MUV dépendant de x.
M se déplace entre Q et U.
1. Quelles valeurs peut prendre x ?
x ∈ [ 0 ; 10]
2. Déterminer l'aire B de la surface coloriée.
Vérifier qu'elle est égale à A(x). Il faut détailler les calculs !
Aire B = aire ( PQRS ) + aire ( QMVW ) + aire ( MUV )
= 16 +
2x2 +
(10 − x ) 2 x = 16 + 2 x 2 + x
(10 − x ) = 16 + 2 x 2 + 10 x − x 2 = x 2 + 10 x + 16 = A ( x )
2
3. L'aire peut-elle être égale à 0 ? Expliquer.
Non, car l’aire de PQRS est fixe (16 cm²) donc l’aire B est forcément supérieure à 16
4. a. Pour quelle(s) valeur(s) de x l'aire de la figure PUVWRS est-elle de 55 cm²?
aire ( PUVWRS ) = 55 ⇔ aire B = 55 ⇔ A ( x ) = 55 S = {−13 ; 3} ∩ [ 0 ; 10] = {3} car x ∈ [ 0 ; 10]
4. b. Pour quelle(s) valeur(s) de x la figure PUVWRS a-t-elle une aire strictement supérieure à 55 cm²?
aire ( PUVWRS ) > 55 ⇔ aire B > 55 ⇔ A ( x ) > 55 S = ]−∞ ; − 13[ ∪ ]3 ; + ∞[ ∩ [ 0 ; 10] = ]3 ; 10]
Exercice 3
Placer dans le repère orthonormé ci-dessous les points A (5 ; 5), B (6 ; –1) et C (0 ; –2).
1. Calculer la distance AB.
2
2
2
2
AB 2 = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) = ( 6 − 5 ) + ( −1 − 5 ) = 37
donc AB = 37
2. Prouver par le calcul que le triangle ABC est rectangle isocèle.
BC 2 = ( xC − xB ) + ( yC − yB ) = ( 0 − 6 ) + ( −2 − ( −1) ) = 37
donc
BC = 37
AC 2 = ( xC − x A ) + ( yC − y A ) = ( 0 − 5 ) + ( −2 − 5 ) = 74
donc
AC = 74
2
2
2
2
2
2
2
2
Comme AB = BC = 37
le triangle ABC est isocèle en B
2
2
2
Comme AC = AB + BC = 74 d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est
rectangle en B.
3. Calculer les coordonnées du point E milieu du segment [AC].
 5 + 0 5 + ( −2 ) 
y + yC 
x +x
5 3
donc E  ; 
E A C ; A

 donc E  2 ;
2 
2 
2 2
 2

4. Calculer les coordonnées du point D symétrique du point B par rapport au point E.
D ( xD ; y D )
Le point E est donc le milieu de [ DB ] avec
 xD + 6 5
 xD + x B
=
 2 =xE
 xD = −1
 2
2
 xD + 6 = 5
⇔
⇔
⇔
donc D ( −1 ; 4 )

+
−
1
+
−
1
=
3
y
y
+
=
4
y
y
y
(
)
(
)
3

D
B
D
D

D



= yE
=
 2

2
2
5. Déterminer, en vous appuyant sur les éléments des questions 2, 3 et 4, la nature du quadrilatère ABCD.
Comme ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu E ; c’est un parallélogramme
avec deux côtés consécutifs égaux ( AB = BC ) ; c’est un losange
et un angle droit en B (ABC est rectangle en B) ; c’est un carré. Le quadrilatère ABCD est un carré.
1
6. On considère le point L ( ; 3). Indiquer une méthode (non graphique) permettant de savoir si ce point
2
appartient ou n’appartient pas à la médiatrice du segment [AC].
On ne demande pas de mettre cette méthode en œuvre.
Méthode :
•A
il suffit de calculer les longueurs LA et LC
D•
si LA = LC
L
alors L appartient à la médiatrice de [ AC ]
E•
•B
C•
Exercice 4
Le graphique ci-dessous (diagramme en bâtons) illustre le nombre de spams (messages électroniques non
sollicités) reçus aujourd’hui dans la boîte mail des élèves d’une classe.
1. a. Combien d’élèves ont reçu exactement 4 spams ? 4 élèves (effectif=hauteur du bâton) ont reçu 4 spams
b. Combien d’élèves y a-t-il dans cette classe ? Il y a 3 + 1 + 4 + 4 + 2 + 1 + 5 + 3 + 1 + 1 = 25 élèves au total
c. Quel est le pourcentage d’élèves ayant reçu au moins 4 spams ?
17 68
=
soit 68 %
25 100
2. Compléter le tableau ci-dessous :
Nombre
de spams
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Effectif
3
0
1
4
4
2
1
5
3
1
1
Fréquence
3
25
0
1
25
4
25
4
25
2
25
1
25
5
25
3
25
1
25
1
25
3. Paramètres de position :
a. Calculer la moyenne x de cette série. Que signifie le résultat trouvé ?
3 × 0 + 0 ×1 + 1× 2 + 4 × 3 + 4 × 4 + 2 × 5 + 1× 6 + 5 × 7 + 3 × 8 + 1× 9 + 1×10 124
x=
=
= 4,96
25
25
Un élève de cette classe a reçu aujourd’hui en moyenne 4,96 spams.
b. Recalculer la moyenne de cette série en utilisant les fréquences.
3
0
1
4
4
2
1
5
3
1
1
124
x = × 0 + ×1 + × 2 + × 3 + × 4 + × 5 + × 6 + × 7 + × 8 + × 9 + ×10 =
= 4,96
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
c. Déterminer le mode Mo, la médiane Me et les quartiles Q1 et Q3 de cette série.
M0 = 7
le mode correspond à une valeur de la série qui a l’effectif le plus grand.
n 25
=
= 12,5
Me = 5
l’effectif total n = 25 est impair,
2 2
donc la médiane correspond à la 13ième valeur de la série ordonnée. (effectif cumulé = 13)
n 25
Q1 = 3
=
= 6, 25 le premier quartile correspond à la 7ième valeur (effectif cumulé = 7)
4 4
3n 3 × 25
Q3 = 7
=
= 18, 75 le troisième quartile correspond à la 19ième valeur (effectif cumulé = 19)
4
4
4. Paramètres de dispersion :
Calculer l’étendue δ et l’écart interquartile de cette série.
δ = xmax − xmin = 10 − 0 = 10
écart interquartile = Q3 − Q1 = 7 − 3 = 4
Exercice 5
Les deux parties sont indépendantes
Partie A
1. Dans un repère ( O ; I ; J ) tracer la droite D passant par les points A ( 4 ; 3 ) et B ( - 2 ; 6 ).
B •
K• A
•
•
D
•
y = 2x − 4
2. Déterminer une équation de la droite D.
La droite D n’étant pas verticale son équation est de la forme : y = a.x + b
−1
y − yA
6−3
3
−1
x+b
avec a = B
donc de la forme : y =
=
=
=
2
xB − x A −2 − 4 −6
2
−1
4
× 4 + b doit être vérifiée donc b = 3 + = 5
comme A ( 4 ; 3) ∈ D
l’égalité 3 =
2
2
−1
x+5
d’où l’équation de D : y =
2
3. Tracer dans le même repère que le repère précédent la droite ∆ d’équation y = 2 x − 4 .
∆ passe par les points de coordonnées ( 2 ; 0 ) et ( 3 ; 2 )
4. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection de D et de ∆ .
−1

x+5
y =
Il s’agit de résoudre le système : 
2
 y = 2 x − 4
18

−1
x=

5

x+5  x = 9
 18 16 
2 x − 4 =

5
⇔ 2
⇔
S =  ;  
par substitution j’obtiens 
2
5 
 5
 y = 2 x − 4
 y = 2 x − 4
 y = 36 − 4 = 16

5
5
 18 16 
Le point d’intersection de D et de ∆ est le point K 
;

5
 5
Partie B
Une salle de théâtre compte 150 places : les unes à 18 Euros et les autres à 28 Euros.
Quand la salle est pleine, la recette totale est de 3250 Euros.
Calculer le nombre de places de chaque sorte.
Choix des inconnues : je note x le nombre de place à 18 euros et y le nombre de place à 28 euros
 x + y = 150
Mise en équations : 
18 x + 28 y = 3250
Résolution : par combinaison sur les lignes :
× ( −18 )  x + y = 150

18 x + 28 y = 3250
× ( −28 )  x + y = 150

18 x + 28 y = 3250
10 y = 550
y=
S = {( 95 ; 55 )}
550
= 55
10
−10 x
et
il y a 95 places à 18 euros et 55 places à 28 euros
95 + 55 = 150
Vérification : 
18 × 95 + 28 × 55 = 3250
= −950
y=
−950
= 95
−10