Petits problèmes au quotidien

Traduction et adaptation de problèmes tirés de là revue
Mathematics Teacher, mai 2001
Christian Boissinotte, CSDM
1. Si un livre se vend 25%,plus cher que le le coût d'acquisition par le commerçant, quel
pourcentage du prix final représente le profit?
2. Quand on lance 7 dés, la probabilité d'avoir une somme de 10 est
somme se produit exactement avec la même probabilité?
. Quelle autre
23328
3. Albert, Benoit et Charles acceptent un contrat pour la tonte de 606 mètres carrés de
gazon. Albert débute à 7h et tond 3 mètres carrés par minute; Benoit débute à 7hl5 et
tond 4 mètres carrés par minute. Finalement, Charles débute à 7h45 et fait 6 mètres
carrés par minute.
Sachant qu'ils finissent en même temps, combien de temps aura travaillé Benoit?
4. Trouvez tous les nombres à 3 chiffres ABC tel que 2 x ABC = 1BCA. •
5. Trouvez le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle dont les côtés sont respectivement
8, 15 et 17 unités.
6. Dans une urne, il y a 4 billes blanches, 8 billes rouges et 9 jaunes. Quelle est la probabilité de sortir, sans remise, deux billes de même couleur?
7. Huit chroniqueurs sportifs ont voté pour.un classement.de leurs trois sports, favoris.
Déterminez le nombre de points accordés pour chacune des positions à partir du tableau
suivant.
Choix 1
Choix 2
Choix 3
Pointage
Hockey
5
1
2
30
Football
3
2
2
23
Baseball
0
4
4
16
8. Combien le nombre 2" • 5^ • 11 admet-il de diviseurs?
9. Quelle est l'aire d'un carré inscrit dans un cercle de 5 cm de diamètre?
10. Déterminez la valeur minimale de a^ - Ib^ + c^ où a, è et c sont des nombres impairs
consécutifs.
11. Lors d'une rencontre, 28 poignées de mains ont été échangées^ Si chaque.personne a
donné la main à chacune des autres, combien y avait-il de personnes?
12. Un « pneu » ayant la forme d'un triangle équilatéral de 60 cm de côté est placé sur une
piste droite. Quelle distance aura parcouru le point situé au sommet (dans la position de
départ) après 120 « rotations » (une rotation = prochaine base à plat)? À quelle distance
de sa position de départ se retrouvera-t-il?
13. Un contenant rectangulaire dont la base mesure 9 cm par 11 cm a une hauteur de 38,5
cm. En: admettant que l'eau se dilate de 10% quand elle gèle, jusqu'à quelle hauteur
Solutions à la page : 43
peut-on remplir le contenant sans que la glace ne dépasse le haut du contenant?
ENVOL
NO
1.24
JUILLET-AOÛT-SEPTEMBRE
2003
,11
Solutions des petits problèmes
Christian Boissinotte, CSDM
20%.
Le profit est de
125%
du prix de vente, soit - ou 20%.
5
39.
La plus petite somme possible est 7 et la plus grande est 42. En fait, ces deux situations sont équivalentes car quand l'une se présente sur le dessus des dés, l'autre se
présente sous les dés (somme des faces en contact avec la surface de jeu). Il en va de
même aussi pour les sommes 8 et 41 et en général avec les sommes ;c et 49-x. Donc, la
probabilité d'obtenir 10 est la même que la probabilité d'obtenir 49-10. '
57 minutes.
Si Albert a travaillé A minute, Benoit B minutes et Charles C minutes, Albert aura
tondu 3A mètres carrés, Benoit 4B mètres carrés et Charles 6C mètres carrés..On doit
avoir 3A + 4B + 6C = 606. On sait aussi que y4 = 5 -i-15 et C = 5 - 30. En remplaçant,
on a 3(5-1-15)+ 4B + 6Cfi-30) = 606 ou 13B- 135 = 606.
'
"
.
874,
Remarquons d'abord que A doit être pair car c'est le dernier chiffre d'un multiple de
2. De plus, 2 X ABC est supérieur à 1000, donc A vaut 6 ou 8. Si A vaut 6, C doit être
3 ou 8. On constate facilement que ces deux valeurs ne fonctionnent pas car le chiffre
des dizaines du membre de droite n'aura pas la bonne parité. S'il y a une solution, A
doit valoir 8.
À ce moment, on constate que C doit valoir 4 ou 9. On élimine aussi C = 9 car il n'y aura
pas de valeur compatible pour B. Avec C = 4, on trouve que B = 7 satisfait la condition.
3.
On constate que ces nombres respectent la relation de Pythagore; il s'agit donc d'un
triangle rectangle. L'aire peut se calculer de deux façons. Première façon
^ ^ ^ ^ = 60. L'autre façon : (8 -H 15 + 17) - = 20r. Donc r = — = 3. On pourra
2
2
.
20
vérifier qu'en général, le rayon du cercle inscrit dans un triangle rectangle est égal au
produit des cathètes divisé par le périmètre du triangle.
1
3°
.
Puisque ce sont des événements indépendants, la probabilité d'obtenir deux billes de
même couleur est la somme des probabilités d'obtenir deux billes de chacune des
couleurs. On a 4 chances sur 21 de sortir une bille blanche x 3 chances sur 20 d'en
sortir une deuxième.
8
7
9
8
Pour les billes rouges, on a — x — et pour les jaunes, — x — . O n calcule donc
21 20.
21 20
(4x3 + 8x7 + 9x8)
(12 + 56 + 72)
140
1
(20x21)
(20x21)
(20x21)
3'
ENVOL
NO
1.24
'
JUILLET-AOÛT-SEPTEMBRE
2003
,43
Choix 1 : 5 points, choix 2 : 3 points, choix 3 : 1 point.
En regardant les points accordés pour le baseball, on constate que 4 points sont accordés en tout pour un deuxième et un troisième choix. On peut poser l'hypothèse vraisemblable qu'un deuxième choix donne plus de points qu'un troisième choix, et que
le total de 4 points est réparti comme suit : 3 points pour un deuxième choix et 1 point
pour un troisième choix. Avec cette hypothèse, on calcule que les choix 2 et 3 pour le
hockey contribuent pour 5 points, ce qui fait que les 5 premiers choix produisent 25
points. Un premier choix donnerait donc 5 points, ce qui se confirme avec le football
( 3 x 5 + 2 x 3 + 2 = 23).
210.
Chaque diviseur de ce nombre est de la forme 2" • 5'' • 11' oià a peut être 0, 1, 2, 3 ou
4, b peut être 0, 1 ou 2 et c peut être un nombre entier de 0 à 13. Il y a donc
( 4 + 1 ) ( 2 + 1 )( 13 + 1) ou 210 diviseurs.
12,5 cm^
Les diagonales du carré sont des diamètres du cercle, et mesurent donc 5 cm aussi. Or
on sait que le demi-produit des diagonales nous donne l'aire d'un losange et aussi, en
particulier, celle d'un carré. On peut donc calculer ainsi ^^^^^ = 12,5 c m l
10.
8.
Si a, b et c sont des nombres impairs consécutifs, on pourrait poser b = (a + 2) et
c = (a + 4). En remplaçant, on obtient a^ -2{a + 2y + {a + 4)^ = a^ - 2{a^ + 4a + 4) +
[a^ + 8a + 16) = 8. Ce résultat est constant et ne dépend pas d'un choix spécifique des
trois nombres. C'est donc la valeur minimale (et maximale) de l'expression donnée.
11.
8.
S'il y a n personnes, chaque personne donne (n-1) poignées de main, ce qui fait un
total de n(n-\), mais il faut diviser par 2 puisque chaque poignée de mains implique
deux personnes. Donc si
n{n-\)
= 28, n(n-l) = 56. Il s'agit du produit de deux
entiers consécutifs, soit 8 x7.
12.
320071 cm = 100,53 m. Déplacement de 72 m.
Après trois « rotations », le triangle retombe dans la même position, mais translaté de
3 X 60 cm = 180 cm. On peut donc répondre immédiatement à la deuxième question :
120 = 3 X 40. Le déplacement total d'un point donné est donc 40 x 180 cm = 7200 cm
= 72 mètres. Revenons à la première question. L'angle extérieur entre le prolongement de la base et un côté est de 120, ce qui correspond à l'angle de rotation pour
amener la base suivante à plat. Le sommet parcourt donc
d'un cercle de rayon
60 cm. À la deuxième rotation, le point à l'avant ne bouge pas et celui à l'arrière
effectue aussi une rotation de 120° au troisième coup. Après 3 rotations, le sommet a
donc parcouru — de 27t(60) cm, soit 8071 cm. Il recommencera 40 fois ce manège,
pour un déplacement total de 320071 cni.
13.
35 cm.
La hauteur de remplissage augmentée de 10% est de 38,5 cm, peu importe les dimensions de la base. Donc si 38,5 cm représente 110% de la hauteur cherchée, 100% sera
3 8 , 5 - 1 1 0 % = 35 cm.
44
ENVOL
NO
1.24
JUILLET-AOÛT-SEPTEMBRE
2003
,44