Convergences I Convergence en probabilités II Fonctions

Convergences
Nous allons dans ce chapitre étudier la convergence d’une suite de variables aléatoires réelles (Xn )n≥0 sous
différentes formes.
I
Convergence en probabilités
Commençons par la définition suivante
Définition 1 On dit que la suite (Xn )n≥0 converge en probabilités vers la v.a.r. X si
∀ε > 0, P (| Xn − X |> ε) → 0
quand n tend vers l’infini.
Exemple : Si pour tout n, Xn suit la loi exponentielle de paramètre n, la suite (Xn )n≥0 converge en probabilités vers la v.a.r. constante 0.
On doit noter tout de suite que la convergence en probabilités n’entraîne pas la convergence des espérances.
Contre-exemple : Soit, pour tout n une variable aléatoire telle que
2
n
avec probabilité n1
Xn =
0
avec probabilité 1 −
1
n
Alors (Xn )n≥0 converge en probabilités vers la v.a.r. constante 0 mais E(Xn ) → +∞.
Par contre, avec des conditions supplémentaires, le résultat peut être vrai. Par exemple, on a
Proposition 1 Supposons que (Xn )n≥0 converge en probabilités vers la v.a.r. X et qu’il existe K > 0 tel que
| Xn |≤ K pour tout n et | X |≤ K. Alors E(Xn ) → E(X).
II
II.1
Fonctions caractéristiques
Espérance d’une variable aléatoire complexe
Si Z est une variable aléatoire à valeurs dans C,
I on peut la décomposer sous la forme Z = X + iY . Quand
E(X) et E(Y ) existent, on dira que Z admet une espérance et on pose E(Z) = E(X) + iE(Y ).
En particulier, si | Z |≤ 1, E(Z) existe.
Rappelons aussi que si α ∈ IR, on pose eiα = cos(α) + i sin(α).
II.2
Fonctions caractéristiques
On définit
Définition 2 Soit X une v.a.r. La fonction caractéristique de (la loi de) X est définie par
∀t ∈ IR, ϕX (t) = E(eitX ).
1
En pratique, nous aurons à considérer les deux cas :
a) si X est discrète à valeurs dans {x0 , x1 , . . . , xn , . . .} alors
ϕX (t) =
∞
X
eitxk P (X = xk )
k=0
b) si X admet la densité f sur IR, on a
Z
+∞
eitx f (x)dx
ϕX (t) =
−∞
L’importance de la notion de fonction caractéristique vient du résultat suivant.
Proposition 2 Soient X et Y deux variables aléatoires. Si ∀t ∈ IR, ϕX (t) = ϕY (t) alors X et Y ont même
loi.
La proposition suivante donne les fonctions caractéristiques des principales lois.
Proposition 3 On a
(i) Si X ∼ B(p), ϕX (t) = (1 − p) + peit
(ii) Si X ∼ B(n, p), ϕX (t) = ((1 − p) + peit )n
(iii) Si X ∼ P(λ), ϕX (t) = exp[λ(eit − 1)]
peit
(iv) Si X ∼ G(p), ϕX (t) =
(1 − eit ) + peit
1 eitb − eita
(v) Si X ∼ U([a, b]), ϕX (t) =
b−a
it
λ
(vi) Si X ∼ E(λ), ϕX (t) =
λ − it
t2
−
(vii) Si X ∼ N (0, 1), ϕX (t) = e 2
σ 2 t2
−
+ itm
(viii) Si X ∼ N (m, σ 2 ), ϕX (t) = e 2
On a également le résultat fondamental suivant
Proposition 4 Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles indépendantes, on a
∀t ∈ IR, ϕX+Y (t) = ϕX (t)ϕY (t).
Application : Si X ∼ N (m, s2 ) et Y ∼ N (µ, σ 2 ) sont deux variables indépendantes, alors X + Y ∼
N (m + µ, s2 + σ 2 ).
On a aussi la propriété suivante
Proposition 5 Si la v.a.r. X admet un moment d’ordre n, ϕX est de classe C n et on a le développement limité
suivant en 0
E(X n ) n
E(X 2 ) 2
ϕX (t) = 1 + iE(X)t −
t + . . . + in
t + o(tn )
2
n!
2
III
Convergence en loi
Comme on l’a vu, la fonction caractéristique d’une variable aléatoire caractérise la loi de cette variable. On
va définir un type de convergence qui se lit à travers ces représentations.
Définition 3 Soit (Xn )n≥0 une suite de v.a.r. On dit que cette suite converge en loi vers la v.a.r. X si et
seulement si pour tout t ∈ IR, ϕXn (t) → ϕX (t).
On a
Proposition 6 Si (Xn )n≥0 converge en probabilités vers X, alors elle converge aussi en loi vers X.
Par contre la réciproque n’est pas vraie. Regardons le contre-exemple ad hoc suivant. Soit Ω = {0, 1} muni
de la probabilité uniforme. Considérons la suite de variable aléatoire (Xn )n≥0 définie par
X2n (0) = 0
X2n+1 (0) = 1
et
X2n (1) = 1
X2n+1 (1) = 0
Alors (Xn )n≥0 converge en loi vers X0 mais pas en probabilités.
3