Propagation d`ondes électromagnétiques dans un câble coaxial I

Propagation d’ondes électromagnétiques dans un câble coaxial
I. Equation d’ondes
1) Description d’un câble coaxial
Paramètres de la ligne :
Pour une longueur de ligne élémentaire dx, on suppose que
- L’inductance élémentaire est dL = Λdx avec Λ l’inductance linéique (en H.m-1)
- La capacité élémentaire est dC = Γdx avec Λ la capacité linéique (en F.m-1)
Rappels :
On a précédemment établi que : Γ =
2πε 0
µ
et Λ = 0 ln( R2 / R1 )
2π
ln( R2 / R1 )
Schéma équivalent :
Variables du problème :
Recherche des grandeurs électriques : u ( x, t ) et i ( x, t )
2) Equations couplées
La D.D.P. aux bornes de l’inductance dL = Λdx donne :
∂i
u ( x + dx) − u ( x) = − Λdx
∂t
Or on sait que en dévellopant à l’ordre 1 en dx : u ( x + dx) − u ( x) =
En simplifiant, on obtient une première équation :
∂u
∂i
= −Λ
∂x
∂t
∂u
dx
∂x
(1)
La loi des nœuds appliquée au condensateur élémentaire dC = Γdx donne :
∂ (dq )
∂t
Or on sait que : dq = dC.u = Γdxu
D’où en développant à l’ordre 1 et en reportant la relation précédente :
∂ (i )
∂ (dq )
∂u
dx = i ' =
i ( x) − i ( x + dx) = −
= Γdx
∂x
∂t
∂t
∂i
∂u
En simplifiant, on obtient une seconde équation couplant u et i :
= −Γ
∂x
∂t
i ( x) − i ( x + dx) = i ' =
(2)
Conclusion : les grandeurs électriques u ( x, t ) et i ( x, t ) vérifient le système d’équations
couplées :
∂u
∂i
= −Λ
∂x
∂t
∂i
∂u
= −Γ
∂x
∂t
(1)
(2)
3. Equation de propagation
Découplage des variables :
Equation en tension :
On effectue les manipulations suivantes :
∂
∂ 2u
∂ 2i
L’opération
(1) donne :
= −Λ
∂x
∂x 2
∂x∂t
2
∂
∂i
∂ 2u
L’opération (2) donne :
= −Γ 2
∂t
∂x∂t
∂t
2
∂u
∂ 2u
En injectant (2’) dans (1’) on obtient : 2 = ΛΓ 2
∂x
∂t
Equation en intensité :
On effectue les manipulations suivantes :
∂
∂ 2u
∂ 2i
L’opération (1) donne :
= −Λ 2
∂t
∂x∂t
∂t
2
∂
∂i
∂ 2u
L’opération
(2) donne :
=
−
Γ
∂x
∂x 2
∂x∂t
∂ 2i
∂ 2i
En injectant (1’) dans (2’) on obtient : 2 = ΛΓ 2
∂x
∂t
(1’)
(2’)
(1’)
(2’)
Conclusion : obtention d’une équation de
propagation (appelée aussi équation d’onde ou
encore équation de D’Alembert)
1 ∂ 2ψ
1
∂ 2ψ
avec Ψ ( x, t ) = u ( x, t ) ou Ψ ( x, t ) = i ( x, t ) et ΛΓ = 2
=
2
2
2
c ∂t
∂x
c
Rappels : on a précédemment établi que : Γ =
Par conséquent, ΛΓ = ε 0 µ0 =
µ
2πε 0
et Λ = 0 ln(b / a )
2π
ln(b / a )
1
où c s’identifie dans ce précis à la célérité ou vitesse de la
c2
lumière !!!
1 ∂ 2ψ
∂ 2ψ
=
est une équation linéaire. Par conséquent, cette équation satisfait
∂x 2 c 2 ∂t 2
au principe de superpositions des solutions.
Remarque :
II. Solution de l’équation de propagation à 1D
1. Solution de l’équation de propagation en ondes progressives
On rappelle l’équation de D’Alembert appelée aussi équation d’onde ou équation de
propagation :
∂ 2ψ
1 ∂ 2ψ
=
∂x 2 c 2 ∂t 2
Nous verrons ultérieurement que le paramètre c s’interprète comme la vitesse de propagation
ou célérité de l’onde
a) Aspect technique :
Chercher une solution de l’équation de propagation en ondes
progressives revient à considérer le changement de variable
x

p = t − c

x
q = t +
c

suivant :
En effectuant ce changement de variable, on peut alors exprimer la dérivée partielle première
par rapport à la coordonnée d’espace x :
∂ψ ∂ψ ∂p ∂ψ ∂q ∂ψ  1  ∂ψ  1  1  ∂ψ ∂ψ  1  ∂
∂ 
 =  −
=
+
=
+
+ (ψ )
−  +
  =  −
∂x
∂p ∂x ∂q ∂x ∂p  c  ∂q  c  c  ∂p ∂q  c  ∂p ∂q 
On obtient alors la dérivée partielle seconde par rapport à la coordonnée d’espace x : :
2
∂ 2ψ
∂  ∂ψ  1  ∂
1  ∂ 2ψ ∂ 2ψ
∂ 
∂ 2ψ 


= 
 =  − +  (ψ ) = 2  2 + 2 − 2
∂x 2 ∂x  ∂x  c  ∂p ∂q 
c  ∂p
∂q
∂p∂q 
En effectuant ce changement de variable, on peut alors exprimer la dérivée partielle première
par rapport à la coordonnée temporelle t :
∂ψ ∂ψ ∂p ∂ψ ∂q ∂ψ
∂ψ
∂ψ ∂ψ  ∂
∂ 
=
+
=
.1 +
.1 =
+
=  + (ψ )
∂t
∂p ∂t ∂q ∂t
∂p
∂q
∂p ∂q  ∂p ∂q 
On obtient alors la dérivée partielle seconde par rapport à la coordonnée temporelle t :
2
 ∂ 2ψ ∂ 2ψ
∂ 2ψ
∂  ∂ψ   ∂
∂ 
∂ 2ψ 


(
)


ψ
=
2
=
+
=
+
+


 ∂p 2 ∂q 2
∂t 2
∂t  ∂t   ∂p ∂q 
∂p∂q 

On injecte ces expressions dans l’équation de propagation :
∂ 2ψ  1  ∂ 2ψ ∂ 2ψ
∂ 2ψ 
1  ∂ 2ψ ∂ 2ψ
1 ∂ 2ψ
∂ 2ψ




+
−
=
+
+
soit
2
2
=
c 2  ∂u 2 ∂v 2
∂u∂v  c 2  ∂u 2 ∂v 2
∂u∂v 
∂x 2 c 2 ∂t 2
En simplifiant, il ne reste que :
∂ 2ψ
=0
∂p∂q
x
x
Cette équation s’intègre rapidement et on obtient : ψ = f ( p ) + g (q ) = f (t − ) + g (t + ) où f
c
c
et g sont deux fonctions.
On retiendra que la solution de l’équation de propagation (ou équation de D’Alembert) à 1D
x
x
s’écrit : ψ ( x, t ) = f (t − ) + g (t + )
c
c
b) Interprétation :
x
Supposons que ψ ( x, t ) = f (t − ) .
c
On remarque alors que : ψ ( x, t ) = ψ ( x + ∆x, t + ∆t ) à la condition que : ∆x = c∆t . Cela signifie
donc que l’onde mesurée à l’instant t et à l’abscisse x est identique à l’onde mesurée à
l’instant t + ∆t et à l’abscisse x + ∆x (voir fig.).
x
Par conséquent, une onde de la forme f (t − ) se propage sans se déformer à la vitesse c,
c
selon la direction des x croissants. Le paramètre c est la vitesse de propagation de l’onde
appelée aussi célérité.
c) Notion d’ondes planes :
La grandeur qui se propage dépend des variables d’espace et de temps. Pour une onde de la
x
forme f (t − ) qui se propage, si on cherche les point où l’amplitude de l’onde est constante à
c
un instant t donné, on aboutit à l’équation x = Cte , qui n’est autre que l’équation d’un plan.
On parle alors d’onde plane.
On retiendra que la solution de l’équation de propagation (ou équation de D’Alembert) à 1D
x
x
s’écrit : ψ ( x, t ) = f (t − ) + g (t + ) . Ceci correspond à une superposition d’une onde plane
c
c
progressive dans le sens des x croissants avec une onde plane progressive dans le sens des x
décroissants.
d) Notion d’onde plane progressive harmonique monochromatique :
On peut étudier la cas particulier très important des ondes planes progressives harmoniques
monochromatiques (OPPHM) où :
x
x


ψ ( x, t ) = f (t − ) = ψ 0 cos ω (t − ) + ϕ  = ψ 0 cos(ωt − kx + ϕ )
c
c


Dans cette expression, le paramètre ω est la pulsation de l’onde reliée à la période T et à la
2π
1
fréquence ν par les relations : T =
et ν =
ω
T
ω
et ainsi on obtient :
c
x
x


ψ ( x, t ) = f (t − ) = ψ 0 cos ω (t − ) + ϕ  = ψ 0 cos(ωt − kx + ϕ )
c
c


ω
k = est alors la norme du vecteur d’onde k = k u x .
c
Il est à noter que la norme du vecteur d’onde est homogène à une longueur et est reliée à la
période spatiale de l’onde donnée par la longueur d’onde λ par : kλ = 2π
2π
On obtient une autre expression de k en fonction de la longueur d’onde : k =
λ
Relation entre longueur d’onde et période : λ = cT
x
x


Si on reprend l’expression de ψ ( x, t ) = f (t − ) = ψ 0 cos ω (t − ) + ϕ  = ψ 0 cos(ωt − kx + ϕ ) ,
c
c


x


le terme à l’intérieur du cosinus Φ( x, t ) =  ω (t − ) + ϕ  = ωt − kx + ϕ est appelé phase de
c


l’OPPHM, ϕ étant la phase à l’origine.
On peut poser k =
On constate alors que les surfaces d’ondes qui sont les plans équiphases ( Φ( x, t ) = Cte ) dans
le cas d’une OPPHM se progagent de telle sorte que : dΦ = ωdt − kdx . La vitesse de
ω
dx
propagation des plans d’ondes est appelée vitesse de phase vϕ et vϕ =
= .
dt Φ k
e) Décomposition d’une onde en superposition d’ondes planes progressives harmoniques
monochromatiques
1 ∂ 2ψ
∂ 2ψ
est une équation linéaire. Elle satisfait au principe de superposition. Il est alors
=
∂x 2 c 2 ∂t 2
possible de décomposer toute onde en somme continue ou discrète d’ondes planes progressives
harmoniques monochromatiques qui sont des solutions particulières de cette équation.
L’intérêt d’une telle décomposition, en superposant des OPPHM, est d’obtenir des équations plus
simples tout en ne perdant rien sur la généralité de la solution. La décomposition en OPPHM est
un intermédiaire de calcul commode pour résoudre une équation aux dérivées partielles dont la
solution est en général compliquée puisqu’il suffit de sommer une série d’OPPHM.
Il est à noter qu’une OPPHM est un cas limite idéal car l’extension spatiale et temporelle
d’une OPPHM est infini : ce qui est bien entendu physiquement impossible !!!
On démontrera dans la suite que l’énergie associée à une OPPHM est infini : ce qui est là
encore physiquement impossible.
f) Notation complexe pour l’onde plane progressive harmonique :
A l’onde plane progressive harmonique monochromatique (OPPHM) dont l’expression est :
ψ ( x, t ) = ψ 0 cos(ωt − kx + ϕ ) , on peut associer une onde complexeψ ( x, t ) = ψ 0ei (ωt −kx ) avec
l’amplitude complexe reliée à l’amplitude de l’onde et à la phase à l’origine par ψ 0 = ψ 0eiϕ .
Pour obtenir l’onde réelle, il suffit de prendre la partie réelle de l’expression complexe :
ψ ( x, t ) + ψ * ( x, t )
ψ ( x, t ) = Re{ψ ( x, t )} =
2
Il est à noter que l’on aurait pu prendre l’expression complexe conjuguée
ψ * ( x, t ) = ψ 0 *e − i (ωt − kx ) = ψ 0 *e −i (kx −ωt ) car on obtient la même partie réelle.
En notation complexe, les opérations se simplifient considérablement puisque :
∂
∂
2
[..] = iω[..] et 2 [..] = (iω ) [..] = −ω 2 [..]
∂t
∂t
∂
∂
2
[..] = −ik[..] et 2 [..] = (− ik ) [..] = − k 2 [..]
∂x
∂x
ω2
1 ∂ 2ψ
∂ 2ψ
2
−
k
=
−
devient
en
notation
complexe
:
ψ
ψ.
Par conséquent, l’équation d’onde
=
c2
∂x 2 c 2 ∂t 2
ω2
2
On aboutit alors à une relation entre k et ω appelée relation de dispersion : k = 2
c
Pour une onde satisfaisant à l’équation de propagation, et ce d’après la relation de dispersion, on a :
ω
vϕ = = c . La vitesse de phase s’identifie à la célérité de l’onde : il n’y a pas de dispersion dans ce
k
cas particulier.
2. Solution de l’équation de propagation en onde stationnaire
a) Séparation des variables d’espace et de temps :
On cherche des solutions de la forme : ψ ( x, t ) = f ( x) g (t ) . En injectant cette solution dans
1
1 ∂ 2ψ
d2 f
d 2 g (t )
∂ 2ψ
on
obtient
:
(
).
(
)
(
).
.
x
g
t
=
f
x
=
dt 2
dx 2
c2
∂x 2 c 2 ∂t 2
1 d 2 g (t )
c2 d 2 f
x
(
)
.
.
Soit :
=
f ( x) dx 2
g (t ) dt 2
Le premier terme ne dépend que du temps t alors que le deuxième de dépend que de x. par
conséquent, les deux membres sont constants et l’on peut poser :
1 d 2 g (t )
c2 d 2 f
x
(
)
.
=
= C = Cte
f ( x) dx 2
g (t ) dt 2
l’équation de propagation,
Cas où C>0 :
La solution est g (t ) = Ae C t + Be − C t . Le premier terme est divergent donc physiquement, on
ne peut avoir que A=0. Le second terme décrit un transitoire disparaissant au cours du temps.
Il n’y a donc aucune solution physiquement intéressante en physique ondulatoire.
Cas où C>0 : on pose C = −ω 2
La solution est g (t ) = A cos(ωt + ϕ1 ) .
d2 f
ω2
(
x
)
+
f ( x) = 0 d’où la solution :
dx 2
c2
ω
ω
f ( x) = B cos( x + ϕ 2 ) = B cos(kx + ϕ 2 ) avec k =
c
c
On obtient donc une solution globale sous la forme d’une onde stationnaire monochromatique :
L’équation satisfaite par f est alors :
ψ ( x, t ) = f ( x) g (t ) = AB cos(ωt + ϕ1 ) cos(kx + ϕ 2 ) = ψ 0 cos(ωt + ϕ1 ) cos(kx + ϕ 2 ) avec ψ 0 = AB
b) Interprétation physique
Certains points de l’onde stationnaire ne vibrent jamais : ce sont des nœud de vibration.
D’autres points vibrent avec une amplitude maximale : ce sont les ventres de vibrations.
Enfin, on note que l’onde ne se propage plus, tout se passe comme si l’onde était stationnaire.
Dans une onde stationnaire les variables d’espace et de temps sont entièrement découplés au
contraire de la solution en onde progressive.
c) Lien entre les ondes stationnaires et progressives
On développe :
ψ0
(cos(ωt − kx + ϕ1 − ϕ2 ) − cos(ωt + kx + ϕ1 + ϕ2 ) )
2
L’onde stationnaire comme somme de deux ondes progressives se contre propageant
ψ ( x, t ) = ψ 0 cos(ωt + ϕ1 ) cos(kx + ϕ 2 ) =
III. Compléments sur le câble coaxial
1. Impédance caractéristique
Considérons une onde de courant dans le câble coaxial qui soit une onde plane progressive se
déplaçant dans le sens des x croissants : i ( x, t ) = i+ ( x, t ) = f (t − x / c)
L’onde de tension correspondante s’écrit u ( x, t ) = a (t − x / c)
On injecte i ( x, t ) = f (t − x / c) dans le système d’équations couplées :
∂u
∂i
= −Λ
(1)
∂x
∂t
∂i
∂u
= −Γ
(2)
∂x
∂t
df
:
On obtient alors en notant que f ' ( p) =
dp
∂u
∂i
= − Λ = − Λf ' (t − x / c)
(1’’)
∂x
∂t
∂u
1 ∂i
1
=−
=
f ' (t − x / c)
(2’’)
∂t
Γ ∂x Γc
En intégrant (1’’), on obtient : u ( x, t ) = Λcf (t − x / c) + A(t ) . On reporte cette expression dans
∂u
1
= Λcf ' (t − x / c) + A' (t ) =
(2’’) et l’on trouve que :
f ' (t − x / c) .
∂t
Γc
On en déduit que A' (t ) = 0 . Par conséquent, A(t ) = Cte = 0 car on ne se préoccupe que des
phénomènes dépendant du temps. On aboutit donc à : u ( x, t ) = Λcf (t − x / c) = Λci( x, t )
En remarquant que c =
1
1
=
et que Λc =
Γc
ΛΓ
Λ
= Z c , on a donc : u ( x, t ) = Z ci+ ( x, t )
Γ
Considérons une onde de courant dans le câble coaxial qui soit une onde plane progressive se
déplaçant dans le sens des x décroissants : i ( x, t ) = i− ( x, t ) = g (t + x / c)
L’onde de tension correspondante s’écrit u ( x, t ) = b(t + x / c) .
On démontre de façon analogue que : u ( x, t ) = − Z ci− ( x, t )
Conclusion : On a donc : u ( x, t ) = Z c (i+ ( x, t ) − i− ( x, t ))
Avec l’impédance caractéristique (réelle) du câble Z c = Λc =
1
=
Γc
Λ
Γ
2. Conditions aux limites : influence de l’ impédance en bout de ligne
En bout de ligne, on met une impédance Zl, de telle sorte qu’en bout de ligne, pour x=L, on
ait en régime sinusoïdal : u ( L, t ) = Z l i ( L, t ) = Z l (i+ ( L, t ) + i− ( L, t ))
Par ailleurs, on a déjà établi que u ( L, t ) = Z c (i+ ( L, t ) − i− ( L, t )) . En identifiant les deux
équations, on obtient : Z l (i+ ( L, t ) + i− ( L, t )) = Z c (i+ ( L, t ) − i− ( L, t ))
i− ( L, t )
qui n’est autre que le rapport du courant
i+ ( L, t )
réfléchi (se contre propageant) sur le courant incident.
On obtient : Z l (1 + r ) = Z c (1 − r )
On défini le coefficient de réflexion : r =
D’où le coefficient de réflexion, r =
Zc − Zl
Zc + Zl
Z l (1 + r ) = Z c (1 − r )
Cas particuliers :
i) La ligne est fermée sur son impédance caractéristique Z l = Z c , alors r = 0. Il n’y a pas
d’onde réfléchie. Toute l’onde incidente est absorbée en terminaison du câble : on parle
d’adaptation d’impédance.
ii) La ligne est fermée en court circuit : Z l = 0 et alors r = 1. Il y a formation d’une onde
stationnaire dans le câble.
iii) La ligne est ouverte en terminaison : Z l = +∞ et alors r = 1. Il y a formation d’une onde
stationnaire dans le câble.
3. Aspects énergétiques
a) Bilan d’énergie local
Densité linéique d’énergie : e( x, t ) =
1 2
1
Λi ( x, t ) + Γ u 2 ( x, t )
2
2
Puissance : p ( x, t ) = u ( x, t ).i ( x, t )
En effectuant un bilan d’énergie sur une durée dt sur la tranche de câble comprise entre x et x+dx, on
∂e( x, t )
∂p
obtient : ( p ( x, t ) − p ( x + dx, t ) )dt =
dtdx . Or, on sait que : p ( x, t ) − p ( x + dx, t ) = − dx . Il
∂t
∂x
∂p
∂e( x, t )
dtdx . On obtient alors l’équation locale traduisant la conservation de
vient donc : − dtdx =
∂x
∂t
∂e( x, t ) ∂p
+
=0
l’énergie dans le câble coaxial :
∂t
∂x
b) Vitesse de propagation de l’énergie pour une onde plane progressive.
On considère une onde plane progressive de telle sorte que : i+ ( x, t ) = i ( x, t ) .
On effectue un bilan d’énergie de deux façons différentes pendant une durée dt.
Toute l’énergie contenue dans le cylindre de longueur vedt traverse la surface située à
l’abscisse x : dE = e( x, t )ve dt .
Cette énergie est par ailleurs égale à : dE = p ( x, t )dt
Par conséquent, l’identification des deux expressions donne p( x, t ) = e( x, t )ve soit : ve =
p ( x, t )
e( x , t )
Sachant que p ( x, t ) = u ( x, t )i ( x, t ) et que pour une onde plane progressive dans le sens des x croissant,
1
=
Γc
Pour une onde plane progressive, la densité linéique d’énergie peut s’écrire comme :
1
1
1
1
1
1
2
e ( x , t ) = Λi 2 ( x , t ) + Γ u 2 ( x , t ) = Λi 2 ( x , t ) + Γ Z c i 2 ( x , t ) = Λi 2 ( x , t ) + Γ Z c i 2 ( x, t )
2
2
2
2
2
2
1
1 Λ
1
1
e ( x , t ) = Λi 2 ( x , t ) + Γ i 2 ( x , t ) = Λi 2 ( x , t ) + Λi 2 ( x , t ) = Λi 2 ( x, t ) .
2
2 Γ
2
2
2
p ( x, t ) Z c i ( x, t ) Z c
Λ 1
1
=
=c
Ce qui permet de calculer : ve =
= 2
=
=
e( x, t ) Λi ( x, t ) Λ
Γ Λ
ΛΓ
on a : u ( x, t ) = Z c i+ ( x, t ) = Z c i ( x, t ) , on obtient : p ( x, t ) = Z ci 2 ( x, t ) avec Z c = Λc =
Λ
.
Γ