La loterie : équitable?

3.1 La loterie : équitable ?
Lors de la présentation de Show Math, il est question à plusieurs
reprises de probabilités. En utilisant le prétexte de préparer les
élèves à la présentation, on arrive à les faire réfléchir aux jeux de
hasard, en particulier le Lotto 6/49. Pour réaliser l’activité, ils devront faire des calculs, mais aussi présenter leurs idées et des arguments mathématiques pour les soutenir. Ils devront d’abord interpréter des messages puis en produire eux-mêmes. C’est pour cette
raison que l’activité contribue au développement de la compétence
disciplinaire 3 (communiquer à l’aide du langage mathématique),
bien que ce ne soit pas une tâche complexe au sens du programme.
Intentions de l’activité
• Amener l’élève à réfléchir sur les jeux de hasard à partir de concepts
mathématiques
• Développer le sens du nombre, en particulier des grands nombres
• Faire réfléchir sur le lien entre le choix d’une combinaison et les
chances de gagner
• Fournir des outils mathématiques pour estimer la valeur d’un pari
Forme de la production attendue
• Répondre à des questions
• Résoudre de petits problèmes
• Écrire un texte pour convaincre à l’aide d’arguments mathématiques
Concepts utilisés
• Définition d’une probabilité
• Concepts simples de géométrie
• Espérance mathématique
Ressources matérielles
• Calculatrice
Présentation | 3.1 La loterie : équitable ?
Déroulement
Préparation
• On propose de faire l’activité avant la présentation de Show Math
pour créer un intérêt supplémentaire. Toutefois, on veut d’abord
conscientiser les élèves à ce que représentent certains grands nombres que l’on retrouve en probabilités. Un rappel sur la définition
élémentaire de la notion de probabilité peut s’avérer utile.
• Le nombre de combinaisons possibles au Lotto 6/49 est donné sans
explications. L’enseignant pourrait donner quelques indications à ce
sujet s’il trouve cela utile et intéressant.
Réalisation
• Si le concept d’espérance mathématique n’a pas été vu auparavant,
il y aurait peut-être lieu de faire une intervention sur ce sujet durant
l’activité. La définition, les explications et l’exemple dans le texte ne
seront probablement pas suffisants.
• Si on veut vraiment développer la compétence 3, il faudra insister
sur l’argumentation et l’exemple demandés, ce qui nécessite un
changement de registre de représentation.
Intégration
• Faire réfléchir les élèves sur le fait que toutes les combinaisons ont
autant de chances d’être gagnantes, y compris 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6.
• Faire constater que, dans les casinos, les chances de gagner sont
toujours à l’avantage de la banque et que l’espérance de gain est
toujours inférieure à ce que l’on demande pour jouer.
Présentation | 3.1 La loterie : équitable ?
Pistes de différenciation
• On pourrait inviter quelques
élèves à travailler sur le triangle
de Pascal pour qu’ils puissent
découvrir d’où vient le fameux
13 986 916.
Nom : _________________________________________________________
3.1 La loterie : équitable ?
Quand on achète un billet de loterie,
quelles sont vraiment les chances de
gagner ? Le prix que l’on charge pour
des jeux de hasard est-il « honnête » ?
Viens vérifier cela… tu pourrais avoir
quelques surprises !
Vous aurez bientôt l’occasion de visionner le spectacle Show Math.
Il y sera question d’un grand nombre de sujets, particulièrement de
probabilités. Pour vous préparer, voici une petite activité qui vous
permettra de réfléchir à différentes situations.
Partie 1
Vous avez sans doute déjà entendu dire que les chances de gagner au
Lotto 6/49 étaient de l’ordre de 1 sur 14 millions. La probabilité est préci1
sément
, soit approximativement 0,000000071511238.
13983816
Savez-vous bien ce que signifie ce nombre ? Pour vous donner une idée,
imaginez qu’on écrit toutes les combinaisons possibles sur des billets de
banque canadiens à raison d’une combinaison par billet de banque. On
place ensuite tous ces billets l’un à côté de l’autre sur un terrain de football. Les dimensions d’un terrain de football sont de 100 m par 77 m et
celles d’un billet de banque de 15 cm par 7 cm.
Au Lotto 6/49, le joueur choisit
une combinaison de six nombres
différents de 1 à 49.
Quelle fraction du terrain sera recouverte par les billets ? Validez votre
réponse à l’aide d’un calcul mathématique.
1.
Étonnant n’est-ce pas ! Si un avion passe et laisse tomber un petit objet
sur l’espace couvert par les billets, les chances que cet objet tombe précisément sur le billet que vous auriez choisi sont exactement les mêmes
que celles que vous avez de gagner au Lotto 6/49.
Cahier de l’élève | 3.1 La loterie : équitable ? | 1
Partie 2
Dans une loterie, on choisit un seul nombre de trois chiffres. Le gagnant
est celui qui possède le même nombre que celui qui a été pigé. Notez
qu’un nombre de trois chiffres ne peut pas débuter par zéro.
2.
a) Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu si on a un seul billet ?
b) Illustrez cette probabilité à l’aide d’un exemple visuel comme nous
l’avons fait au numéro précédent avec le terrain de football et les billets
de dollars canadiens. Soyez inventifs.
Partie 3
Votre ami Alex désire jouer au Lotto 6/49 et choisit la combinaison :
1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6.
Croyez-vous qu’il a des chances de gagner et que lui diriez-vous pour le
dissuader de tenter sa chance ?
3.
Un autre de vos amis désire jouer au Lotto 6/49 et choisit la combinaison :
14 – 23 – 27 – 32 – 40 – 41.
A-t-il plus de chances ou moins de chances de gagner qu’Alex et pourquoi ?
4.
2 | Cahier de l’élève | 3.1 La loterie : équitable ?
Partie 4
Accepteriez-vous de jouer à pile ou face si à chaque fois que vous gagnez,
on vous remet un dollar et à chaque fois que vous perdez, vous devez
payer 5 $ ? Probablement pas, parce ce que vous constatez que ce jeu
n’est pas juste. En mathématiques, on parle de jeu « équitable » ou non.
Lorsqu’un jeu est équitable, le prix à payer pour y participer est inférieur ou
égal au produit du montant à gagner par la probabilité de gagner.
Par exemple, on paie 2 $ à un jeu où on peut gagner 10 $. Pour gagner, il
faut obtenir un 5 en lançant un seul dé. La probabilité de gagner est de
1 sur 6. Donc, ce jeu n’est pas équitable, car 10 × 61 ≅ 1,67 est inférieur à 2.
Quel devrait être le montant à gagner pour que le jeu soit équitable ?
5.
Partie 5
Supposons qu’à la Lotto 6/49, il n’y a qu’un lot à gagner. Pour que ce
nouveau Lotto 6/49 soit équitable, quel prix devrait-on vendre les billets :
6.
a) si le gros lot s’élève à 13 986 916 $ ?
b) s’il est de 6 millions ?
c) s’il est de 20 millions ?
d) Loto-Québec a une politique de partage du gros lot entre toutes les
personnes qui possèdent un billet avec la combinaison gagnante. Est-ce
que cette politique a une influence quelconque sur l’équité du jeu ?
Cahier de l’élève | 3.1 La loterie : équitable ? | 3
3.1 La loterie : équitable ?
Corrigé
Partie 1
Quelle fraction du terrain sera recouverte par les billets ? Validez votre
réponse à l’aide d’un calcul mathématique.
1.
(Page 1)
L’aire d’un billet : 15 cm × 7 cm = 105 cm2 ou 0,15m × 0,07 m = 0,0105 m2.
L’aire d’un terrain : 100 m × 77 m = 7700 m2.
Nombre de combinaisons : 13 983 816
Aire couverte par les 13 983 816 billets : 13 983 816 × 0,0105 m2 =
146 830 m2.
C’est beaucoup plus qu’un terrain de football :
146 830 m2 / 7700 m2 = 19,068, donc plus de 19 terrains de football
Partie 2
Dans une loterie, on choisit un seul nombre de trois chiffres. Le gagnant
est celui qui possède le même nombre que celui qui a été pigé. Notez
qu’un nombre de trois chiffres ne peut pas débuter par zéro.
2.
(Page 2)
a) Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu si on a un seul billet ?
Les nombres de 3 chiffres commencent à 100 et se terminent à 999. Il y en
a donc 900. La probabilité de gagner si on a un seul billet est de :
1
= 0,00111...
900
b) Illustrez cette probabilité à l’aide d’un exemple visuel comme nous
l’avons fait au numéro précédent avec le terrain de football et les billets de
dollars canadiens. Soyez inventifs.
Selon l’imagination des élèves.
Corrigé | 3.1 La loterie : équitable ? | 1
Partie 3
Votre ami Alex désire jouer au Lotto 6/49 et choisit la combinaison :
1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6.
Croyez-vous qu’il a des chances de gagner et que lui diriez-vous pour le
dissuader de tenter sa chance ?
3.
(Page 2)
Il a une chance sur 13 983 816, aussi bien dire qu’il n’a pratiquement pas
de chance.
NB. Toutes les raisons que les élèves pourront trouver seront utilisées
comme arguments pour ne pas jouer. Tous les arguments à propos de
l’ordre ou de la position des nombres choisis n’interviennent pas du tout
dans la probabilité et doivent être écartés.
Un autre de vos amis désire jouer au Lotto 6/49 et choisit la combinaison :
14 – 23 – 27 – 32 – 40 – 41.
A-t-il plus de chances ou moins de chances de gagner qu’Alex et pourquoi ?
4.
(Page 2)
C’est la même probabilité, même si on pense souvent le contraire. Les
bouliers pourraient aussi bien sortir 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 que n’importe
quelle autre combinaison.
Partie 4
Accepteriez-vous de jouer à pile ou face si à chaque fois que vous gagnez,
on vous remet un dollar et à chaque fois que vous perdez, vous devez
payer 5 $ ? Probablement pas, parce ce que vous constatez que ce jeu
n’est pas juste. En mathématiques, on parle de jeu « équitable » ou non.
Lorsqu’un jeu est équitable, le prix à payer pour y participer est inférieur
ou égal au produit du montant à gagner par la probabilité de gagner.
Par exemple, on paie 2 $ à un jeu où on peut gagner 10 $. Pour gagner, il
faut obtenir un 5 en lançant un seul dé. La probabilité de gagner est de
1 sur 6. Donc, ce jeu n’est pas équitable, car 10 × 1 ≅ 1,67 est inférieur à 2.
6
Quel devrait être le montant à gagner pour que le jeu soit équitable ?
5.
M
(Page 3)
×1
6
= 2, donc M = 12 $
2 | Corrigé | 3.1 La loterie : équitable ?
Partie 5
Supposons qu’à la Lotto 6/49, il n’y a qu’un lot à gagner. Pour que ce
nouveau Lotto 6/49 soit équitable, quel prix devrait-on vendre les billets :
6.
(Page 3)
a) si le gros lot s’élève à 13 986 916 $ ?
13 986 916 $ ×
1
= 1 $
13983816
b) s’il est de 6 millions ?
6 000 000 $ ×
1
= 0,42906743… $ ≅ 0.42 $
13983816
c) s’il est de 20 millions ?
20 000 000 $ ×
1
≅ 1,43 $
13983816
d) Loto-Québec a une politique de partage du gros lot entre toutes les
personnes qui possèdent un billet avec la combinaison gagnante. Est-ce
que cette politique a une influence quelconque sur l’équité du jeu ?
Bien sûr, puisque si le montant est divisé, cela diminue l’espérance de gain.
Celle-ci devient davantage inférieure au montant que l’on paie. De plus,
lorsque le gros lot augmente, les gens sont plus nombreux à acheter des
billets. Les chances que le gros lot soit partagé augmentent ce qui diminue la véritable valeur espérée du gain.
Corrigé | 3.1 La loterie : équitable ? | 3