THEOREME DE LA BIJECTION

Théorème de bijection – Fonctions
ROC / Restitution organisée de connaissances
Remarque : Le théorème de bijection est un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI).
Théorème de bijection sur un intervalle quelconque

1ère formulation :
Si est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies),
alors, pour tout réel strictement compris entre les limites de en et en , il existe un unique réel de tel
que ( )
.

2ème formulation :
Si est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies),
alors, pour tout réel strictement compris entre les limites de en et en , l'équation ( )
admet une
unique solution dans .
Rappel : Une fonction strictement monotone est une fonction soit strictement croissante, soit strictement
décroissante.
Démonstration du théorème
Rappel : Croissance d’une fonction
Dire qu’une fonction
si
alors ( )
est strictement croissante sur un intervalle signifie que pour tous nombres
et
de ,
( ).
Rappel : Théorème des valeurs intermédiaires
Soit
une fonction continue sur un intervalle de bornes
strictement compris entre les limites de
Autrement dit, l’équation ( )
en
et
(finies ou infinies). Alors, pour tout réel
et en , il existe au moins un réel
de tel que ( )
.
admet au moins une solution dans .
ROC – Théorème de bijection (corollaire du TVI)
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Remarque : La démonstration suivante est valable lorsque la fonction est croissante. La démonstration dans le
cas où la fonction est décroissante est analogue.
Soit

une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle de bornes
et
(finies ou infinies).
Commençons par montrer l’existence. (utilisation du TVI)
est une fonction continue donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, quel que soit
compris entre les limites de en et en , il existe (au moins) un réel de tel que ( )
.

Désormais, démontrons l’unicité. (raisonnement par l’absurde)
Supposons que l'équation ( )
admette une autre solution (donc différente de
supposons qu’il existe un réel tel que ( )
et
.
La fonction
-
strictement
est croissante donc,
1er cas : si
2ème cas : si
, alors ( )
, alors ( )
( ), c’est-à-dire ( )
( ), c’est-à-dire ( )
La supposition est donc fausse et, par conséquent,
réel tel que ( )
.
BONUS : Image d’un intervalle
Dans le tableau ci-contre, sont
consignées les différentes écritures de
, intervalle image de , en fonction
du sens de variation de la fonction
(définie et continue sur
avec
( ) ) et de l’écriture de
l’intervalle .
Remarque :
réels, soit
) dans , c’est-à-dire
et désignent soit des
, soit
.
. Absurde car, par hypothèse, ( )
. Absurde car, par hypothèse, ( )
. Autrement dit, le réel
Monotonie
de
.
.
est unique ; il n’existe qu’un
croissante
décroissante
Intervalle
[ ( )
[
]
[
[
[ ( )
]
]
]
]
[
]
( )
( )
[ ( )
( )]
( )[
]
( )]
[ ( )
( )[
]
( )
( )
( )]
( )]
( )[
( )[
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