EXERCICE 1 - Lycée Jacques Monod, CLAMART

Baccalauréat Blanc de Mathématiques - Terminales S - Enoncé
EXERCICE 1 : Complexes
[5 points]
Partie A : On note (E) l’équation z 4 = −4, où z ∈ C
1. Développer z 2 − 2z + 2 z 2 + 2z + 2
2. En déduire les solutions de l’équation (E) dans C .
3. Déterminer la forme exponentielle de chacune de ces solutions.
→
→
Partie B : Dans le plan complexe rapporté à un repère (O; −
u,−
v ) orthonormé direct, d’unité 2cm sur
chaque axe, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives : zA = 1 + i, zB = −1 + i, zC = −1 − i
et zD = 1 − i
1. Placer les points A, B, C et D.
√
2. Soit E le point d’affixe zE = −1 + 3
zE − zC
. Déterminer la forme exponentielle de ce quotient.
(a) Calculer le quotient
zB − zC
zE − zC CE
−−→ −−→
zE − zC
=
et
arg
=
CE, CB .
(b) Montrer que zB − zC CB
zB − zC
(c) En déduire la nature du triangle BCE. Construire le point E.
√
3. Soit F le point d’affixe zF = −i − i 3
Prouver que les points A, E et F sont alignés. Construire le point F .
√
4. Soit G le point d’affixe zG = 1 + 3
(a) Quelle est la nature du quadrilatère ABEG ? Justifier.
(b) Que peut-on en déduire pour les droites (AF ) et (BG) ? Construire le point G.
EXERCICE 2 : Probabilités
[4,5 points]
Un sachet de bonbons contient exactement 6 bonbons à la fraise et 4 bonbons au caramel. Les bonbons
ont le même emballage et sont indiscernables au toucher. On notera :
⋄ Fi : l’événement « Le i-ème bonbon choisi est à la fraise »
⋄ Ci : l’événement « Le i-ème bonbon choisi est au caramel »
Partie A : Ava décide de manger deux bonbons du sachet. Elle prend au hasard un premier bonbon et le
mange, puis reprend un second bonbon et le mange.
1. Modéliser l’expérience d’Ava au moyen d’un arbre de probabilités.
2. Quelle est la probabilité qu’Ava ait mangé deux bonbons au caramel ?
3. Sachant qu’Ava a mangé en dernier un bonbon au caramel, quelle est la probabilité qu’elle ait mangé
en premier un bonbon à la fraise ?
Partie B : Dans cette question, Ava ayant mangé un bonbon de chaque sorte, le sachet ne contient plus
que 5 bonbons à la fraise et 3 bonbons au caramel. Bob vient à son tour manger des bonbons selon
l’expérience aléatoire suivante : il tire du sachet successivement et sans remise des bonbons, jusqu’à obtenir
un bonbon fraise ; il s’arrête au premier bonbon fraise obtenu.
1. Quel nombre maximum de tirages Bob doit-il faire pour obtenir un bonbon à la fraise ?
2. Modéliser l’expérience de Bob au moyen d’un arbre de probabilités.
3. On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre total de bonbons mangés par Bob.
On a ainsi : X = 1 si Bob obtient son bonbon fraise dès le premier tirage (F1 ) ; X = 2 si Bob obtient
son bonbon fraise au deuxième tirage (C1 ∩ F2 ), etc...
1
(a) Vérifier que p(X = 4) = p(C1 ∩ C2 ∩ C3 ) =
56
(b) Déterminer la loi de probabilité de la variable X.
(c) Bob espère avec cette expérience manger moins de bonbons que Ava. A-t-il raison ? Justifier en
détail la réponse.
1
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Baccalauréat Blanc de Mathématiques - Terminales S - Enoncé
EXERCICE 3 : Fonctions et Suites
[5,5 points]
Partie A : On considère la fonction g définie pour tout x de [0; +∞[ par g(x) = (2 − x)ex − 1
1. Déterminer la limite de la fonction g en +∞ .
2. Étudier les variations de la fonction g sur [0; +∞[. Dresser son tableau de variation complet.
3. Déterminer le signe de g(x) sur [0; 1].
ex − 1
ex − x
On désigne par C sa représentation graphique dans le plan muni d’un repère orthonormé.
Partie B : On considère la fonction f définie pour tout réel x par : f (x) =
1. Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et en +∞.
2. Dans toute la suite de l’exercice, on considère la fonction f sur l’intervalle [0; 1].
(a) On désigne par f ′ la fonction dérivée de f .
Montrer que pour tout réel x de [0; 1], f ′ (x) est du signe de g(x) = (2 − x)ex − 1
(b) En utilisant la partie A, montrer que la fonction f est strictement croissante sur [0; 1].
U0 = 0, 5
Partie C : On considère la suite (Un ) définie par :
Un+1 = f (Un )
1. La représentation graphique de la fonction f sur [0; 1] est donnée ci-dessous. Construire sur l’axe des
abscisses les quatre premiers termes de la suite (Un ).
On laissera apparents les traits de construction.
Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite (Un ) ?
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : 0 6 Un 6 Un+1 6 1
3. (a) En déduire que la suite (Un ) converge vers un réel ℓ.
(b) Montrer que ℓ est solution de l’équation (1 − x)(ex − x − 1) = 0.
(c) On admet que : quel que soit x de ]0; +∞[, ex > x + 1. Calculer ℓ.
Figure à compléter pour la Partie C
2
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Baccalauréat Blanc de Mathématiques - Terminales S - Enoncé
EXERCICE 4 : Candidats n’ayant pas suivi la Spécialité Maths
[5 points]
On donne le formulaire suivant : quels que soient les réels a et b, on a :
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
cos(2a) = (cos a)2 − (sin a)2 = 2(cos a)2 − 1 = 1 − 2(sin a)2
sin(2a) = 2 sin a cos a
h πi
50
Partie A : Soit la fonction f définie sur 0;
par f (x) =
cos x π+sin x
h 3 πi
alors cos x +
>0
1. Justifier l’implication suivante : si x ∈ 0;
4
4
h πi
√
π
2. Démontrer que, pour tout x ∈ 0; , cos x − sin x = 2 cos x +
3
4
sin x − cos x
′
′
3. Soit f la fonction dérivée de f . Démontrer que f (x) = 50
(cos x + sin x)2
h πi
4. Déterminer le signe de f ′ (x) et dresser le tableau de variation de f sur 0; .
h 3π i
5. Démontrer que l’équation f (x) = 40 admet une solution unique α dans 0; .
3
Donner l’arrondi à 10−1 près de la solution α.
6. On donne l’algorithme suivant :
Entrée :
Initialisation :
Traitement :
Saisir P
a prend la valeur 0
π
b prend la valeur
4
Tant que b − a > P
a+b
2
50
− 40
R prend la valeur
cos a + sin a
50
− 40
S prend la valeur
cos m + sin m
Si R × S 6 0
m prend la valeur
Alors b prend la valeur m
Sinon a prend la valeur m
Fin de Si
Fin de Tant Que
Sortie :
Afficher a et b
Décrire le rôle et le déroulement de cet algorithme, si l’on choisit P = 10−1 .
Partie B : Pour traîner une masse de 50 kg sur une surface plane
→
−
horizontale, il faut appliquer une force F à la corde qui lui est attachée.
Si θ désigne l’angle que fait la corde avec le sol, la norme du vecteur
→
−
F , exprimée en newtons, est donnée par :
h πi
50
F (θ) =
exprimé en radians.
avec θ ∈ 0;
cos θ + sin θ
3
1. Déterminer l’angle pour lequel on tire une masse de 50 kg avec le moins d’effort possible. Que vaut cet
→
−
effort (norme de F ) en newtons ?
2. (a) Est il possible de tirer cette masse avec un effort de 35 newtons ? Si oui, sous quel(s) angle(s) ?
(b) Est il possible de tirer cette masse avec un effort de 40 newtons ? Si oui, sous quel(s) angle(s) ?
3
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EXERCICE 4 : Candidats ayant suivi la Spécialité Maths
[5 points]
Partie A : On considère l’équation (E) : 11x − 26y = 1, où x et y désignent deux nombres entiers relatifs.
1. (a) En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer un couple d’entiers (x0 ; y0 ) solution de (E).
(b) Démontrer que (x; y) est un couple d’entiers solution de (E) si et seulement si il existe un entier
relatif k tel que x = −7 + 26k et y = −3 + 11k
2. (a) Compléter l’algorithme suivant permettant d’obtenir, pour tout entier naturel A, les couples d’entiers (X; Y ) solutions de (E) tels que 0 6 X 6 A.
Saisir l’entier naturel A
Affecter à K la valeur ...............
Tant que ...............
Affecter à X la valeur ...............
Affecter à Y la valeur ...............
Afficher (X; Y )
Affecter à K la valeur ...............
Fin tant que
Fin
(b) Déterminer le couple (u; v) solution de (E) tel que 0 6 u 6 25
Partie B : On assimile chaque lettre de l’alphabet à un nombre entier comme l’indique le tableau ci-dessous :
A
0
B
1
C
2
D
3
E
4
F
5
G
6
H
7
I
8
J
9
K
10
L
11
M
12
N
13
O
14
P
15
Q
16
R
17
S
18
T
19
U
20
V
21
W
22
X
23
Y
24
On « code »tout nombre entier x compris entre 0 et 25 de la façon suivante :
⋄ on calcule 11x + 8
⋄ on calcule le reste de la division euclidienne de 11x + 8 par 26, que l’on appelle y.
x est alors « codé »par y.
Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ; 11 × 11 + 8 = 129 or 129 ≡ 25(modulo 26) ;
25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z.
La lettre L est donc codée par la lettre Z.
1. Coder la lettre W.
2. Le but de cette question est de déterminer une fonction de décodage.
(a) Montrer que pour tous nombres entiers relatifs x et j , on a :
11x ≡ j(modulo 26) équivaut à x ≡ 19j(modulo 26).
(b) En déduire un procédé de décodage.
(c) Décoder la lettre W.
4
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Z
25