Lp norm local estimates for exponential sums

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 765–769, 2000
Analyse mathématique/Mathematical Analysis
(Analyse harmonique/Harmonic Analysis)
Lp norm local estimates for exponential sums
Bruce ANDERSON a , J. Marshall ASH b , Roger L. JONES b , Daniel G. RIDER c ,
Bahman SAFFARI d
a
Department of Mathematics, Kent State University, 400 E 4th Street, East Liverpool, OH 43920, USA
Department of Mathematical Sciences, DePaul University, Chicago, IL 60614, USA
c
Department of Mathematics, University of Wisconsin, 480 Lincoln Drive, Madison, WI 53706-1313, USA
d
Département de mathématiques, bâtiment 425, Université Paris-Sud, 91405 Orsay cedex, France
b
(Reçu le 4 janvier 2000, accepté le 10 janvier 2000)
Abstract.
We prove that for every real number p > 1 there is an explicitly calculated constant Kp > 0
such that, for any arc J of the one-dimensional torus T = R/ZP
with |J| > 0, no matter how
m
small, one can find some 1-periodic exponential sum f (x) = k=1 exp(2iπNk x) so that
Z
|f (x)| dx
p
1/p
> Kp ·
J
Z
|f (x)|p dx
1/p
J
(L norm “local concentration” on J). For p > 2 the result remains true (with another Kp )
if the arc J is replaced by any set E ⊂ T with |E| > 0. The special case p = 2 of our results
had been studied by many authors about twenty years ago, but the general case p > 1 had
remained open. The limit case p = 1 remains unsettled to this date.  2000 Académie des
sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
p
Estimations locales de sommes d’exponentielles en norme Lp
Résumé.
Nous prouvons que pour tout nombre réel p > 1 il existe une constante (explicitement
calculée) Kp > 0 telle que, pour tout arc J du tore T =
avec |J| > 0, on puisse
PR/Z
m
trouver une somme d’exponentielles 1-périodique f (x) = k=1 exp(2iπNk x) vérifiant
Z
|f (x)| dx
p
1/p
> Kp ·
Z
|f (x)|p dx
1/p
T
J
(« concentration locale » sur J en norme L ). Pour p > 2 le résultat reste vrai (avec un
autre Kp ) si on remplace l’arc J par un ensemble quelconque de mesure > 0. Le cas
particulier p = 2 de nos résultats avait été étudié par plusieurs auteurs il y a environ vingt
ans, mais le problème du cas général p > 1 était resté ouvert. Dans le cas limite p = 1 le
problème demeure ouvert à ce jour.  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques
et médicales Elsevier SAS
p
Note présentée par Jean-Pierre K AHANE.
S0764-4442(00)00280-9/FLA
 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
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B. Anderson et al.
Version française abrégée
Les « sommes d’exponentielles » étudiées dans cette Note sont les polynômes trigonométriques
idempotents de la forme :
f (x) =
m
X
exp(2iπNk x)
(les Nk entiers distincts).
(1)
k=1
Dans les années 1970 des travaux de Cowling [4] et Ash [2] sur d’autres sujets avaient conduit à un problème
en théorie des opérateurs qui s’avérait être équivalent, de façon inattendue, au cas L2 d’un problème
extrémal ne concernant que les sommes d’exponentielles de la forme (1) :
Pour p > 1 donné, existe-t-il une constante Kp > 0, ne dépendant que de p, telle que pour tout arc J (resp.
tout sous-ensemble mesurable E) du tore T = R/Z avec |J| > 0 (resp. |E| > 0), on puisse trouver une
somme d’exponentielles f (x) de la forme (1) vérifiant l’inégalité :
Z
J
1/p
Z
1/p
p
f (x)p dx
> Kp ·
f (x) dx
(2)
T
(« concentration locale » sur J , resp. sur E, en norme Lp ) ? Si la réponse est oui, quelles sont les
valeurs « asymptotiquement optimales » Cp et Cp∗ de Kp (définies par les relations (3) et (4) de la version
anglaise) ?
Au début des années 1980 le cas particulier p = 2 de ce problème fut résolu, de façon optimale, dans
deux Notes complémentaires [3] et [5]. (Les co-auteurs de [3] furent trois des cinq co-auteurs de la présente
Note.) Le problème demeura ouvert dans le cas général p > 1. Une vingtaine d’années plus tard et avec
deux co-auteurs de plus, nous sommes maintenant en mesure de traiter le cas général p > 1 (mais échouons
toujours dans le « cas limite » p = 1) :
T HÉORÈME 1. – Pour tous p > 1 et ε > 0, et pour tout arc J de T avec |J| > 0, il existe une somme
d’exponentielles f (x) de la forme (1), à spectre ne dépendant que de p, ε et J , telle que l’inégalité (2) ait
lieu dès que Kp < λp − ε (si 1 < p < 2), respectivement dès que Kp < max(λp , µp ) − ε (si 2 6 p < ∞),
où λp et µp ne dépendent que de p et sont définis par les relations (5) et (6) de la version anglaise.
T HÉORÈME 2. – Pour tout p > 2 et ε > 0, et pour tout ensemble E ⊂ T avec |E| > 0, il existe une somme
d’exponentielles f (x) de la forme (1), à spectre ne dépendant que de p, ε et E, telle que l’inégalité (2) ait
lieu dès que Kp < µp − ε, où µp est défini par la relation (6) de la version anglaise.
Insistons sur le fait que nous savons démontrer le théorème 1 pour tout p > 1, mais le théorème 2 uniquement pour p > 2. L’extension du théorème 2 au cas 1 < p < 2 (même en se contentant d’un Kp nettement moins bon, voire ineffectif) demeure un problème ouvert. En tout cas les constantes fournies par les
théorèmes 1 et 2 ne sont pas optimales, mais sont proches des valeurs optimales. Elles tendent à devenir
optimales lorsque p → ∞.
Dans le cas limite p = 1, nous conjecturons que la réponse est négative dans les deux cas, mais cela
demeure un problème ouvert. Pour les preuves des résultats et pour des formes plus fines des conjectures,
cf. la version développée [1].
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Lp norm local estimates for exponential sums
1. The L2 and Lp extremal problems
The “exponential sums” in this Note are idempotent trigonometric polynomials of the form:
f (x) =
m
X
exp(2iπNk x) (the Nk being distinct integers).
(1)
k=1
The aim of this Note is to report on major progress toward the solution (in the general case p > 1) of the
following extremal problem for exponential sums of the form (1). This problem has two versions (the “arc
version” and the “subset version”):
Given a real number p > 1, does there exist a constant Kp > 0 (only depending on p) such that, for any arc
J (resp. subset E) of the torus T = R/Z with |J| > 0 (resp. |E| > 0), there is some exponential sum of the
form (1) so that
1/p
Z
1/p
Z
f (x)p dx
f (x)p dx
> Kp ·
,
(2)
T
J
p
(resp. the same inequality (2) with J replaced by E) (L norm “local concentration” on J (resp. E))?
If the answer is yes, then what is the value Cp (resp. Cp∗ ) of the “asymptotically best possible” Kp , i.e.:
1/p
Z
.Z f (x)p dx
f (x)p dx
,
(3)
Cp = inf sup
J
f
J
T
f
J
T
1/p
Z
.Z f (x)p dx
f (x)p dx
?
Cp∗ = inf sup
E
(4)
This extremal problem emerged in the late 1970’s from the research of Cowling [4] and Ash [2] on
operators T on L2 (T) wich are “of restricted weak type (2, 2)”, which means that there is a constant
C = C(T ) > 0 such that, for every characteristic function X of a subset of T,
sup α2 · measure x ∈ T : T X (x) > α 6 C kX k2L2 .
α>0
In 1977 Ash was attempting to prove that if such an operator commutes with translations, then it is
necessarily a bounded operator on L2 (T). But he could only prove [2] that this condition is equivalent to
the above extremal problem (2) having an affirmative solution for p = 2, with any (unspecified) constant
K2 > 0. Coincidentally, at about the same time Cowling [4] proved independently that if such an operator
commutes with translations, then it is necessarily a bounded operator on L2 (T). So Ash [2] could conclude
that in the extremal problem (2) for p = 2, some (ineffective) constant K2 > 0 does indeed exist. However,
a series of concrete estimates for K2 quickly followed: K2 > 1/64 by the referee of [2], K2 > 7/50 by
S.K. Pichorides [9], several better lower bounds by H.L. Montgomery [8] and J.-P. Kahane [7] via his
∗
probabilistic methods from [6]. Finally,
√ in [3], three of us proved that C2 = C2 and achieved the lower
∗
bound C2 = C2 > maxx>0 (sin x) πx = 0.4802 for this common value. In [5] our lower bound was
proved to be an equality.
2. The new Lp results (p > 1)
Our new results are in terms of the “constants” λp and µp (only depending on p > 1), defined as follows:
λp = 2−1/p ·
sin(πω)/(πω)
p 1/p ,
0<ω<1/2
1 1/ω
[1/ω]
·
[1/ω] + 1 +
p−1
2 [1/ω]
sup
(5)
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B. Anderson et al.
µp =
2
π p+1
p 1/p
sin(πω)
sin x dx
· sup
.
x 1−1/p
06ω61 ω
∞ Z
0
(6)
As p increases from 1 to +∞ (resp. from 2 to +∞), λp (resp. µp ) strictly increases from 0 to 1 (resp.
from C2 = 0.48 to 1). Also, there is a unique p0 = 7.36 . . . such that λp < µp if 1 < p < p0 , λp = µp if
p = p0 , and λp > µp if p0 < p < ∞.
T HEOREM 1. – For all p > 1, we have:

 λp
Cp > max(λp , µp ) = µp

max(λp , µp ) = λp
if 1 < p < 2,
if 2 6 p 6 p0 ,
if p0 6 p < ∞.
T HEOREM 2. – For all p > 2, we have Cp∗ > µp .
The proofs are quite technical and computational. They use various methods of Fourier analysis, and
some number theory. The details will appear in the extended paper [1] the preprint of which can be obtained
from us.
3. Open problems
1. When 1 < p < 2, decide wether Cp∗ = 0 or Cp∗ > 0.
2. When 2 < p < ∞, decide wether Cp∗ = Cp or Cp∗ < Cp . (We know from [3] that C2∗ = C2 =
√
max(sin x) πx = 0.48.)
x>0
3. The lower bounds provided by our above Theorems 1 and 2 are quite close to the actual values of Cp
and Cp∗ , but it would be desirable to find the exact values (if possible in “closed form”) of Cp and Cp∗ for
1 < p < ∞ and p 6= 2).
4. We conjecture that C1∗ = C1 = 0, that is, concentration fails for L1 . More specifically, we conjecture
that there is an absolute constant D such that if
1 1
1
1
−
, +
,
J=
q mq q mq
where q and m are positive integers with m > q 2 , then for every exponential sum f (x) of the form (1):
Z
. f (x) dx
f (x) dx 6 D .
log q
J
T
Z
See the extended paper [1] for a finer conjecture closely related to the above one, and for some supporting
numerical calculations.
References
[1] Anderson B., Ash J.M., Jones R.L., Rider D.G., Saffari B., Exponential sums with coefficients 0 or 1 and
concentrated Lp norms, (to be published).
[2] Ash J.M., Weak restricted and very restricted operators on L2 , Trans. Amer. Math. Soc. 281 (1984) 675–689.
[3] Ash J.M., Jones R.L., Saffari B., Inégalités sur des sommes d’exponentielles, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 296
(1983) 899–902.
[4] Cowling M., Some applications of Grothendieck’s theory of topological tensor products in harmonic analysis, Math.
Ann. 232 (1978) 273–285.
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Lp norm local estimates for exponential sums
[5] Dechamps M., Piquard F., Queffélec H., Estimations locales de sommes d’exponentielles, C. R. Acad. Sci. Paris,
Série I 297 (1983) 153–156.
[6] Kahane J.-P., Some Random Series of Functions, 2nd ed., Cambridge University Press, 1985.
[7] Kahane J.-P., (Personal communication), November 1982.
[8] Montgomery H.L., (Personal communications), November 1980 and October 1982.
[9] Pichorides S.K., (Personal communication), April 1980.
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