EXAMEN 22 janvier 2016 Calcul stochastique et processus de

EXAMEN 22 janvier 2016
Calcul stochastique et processus de diffusion
M2 Probabilités et Modèles Aléatoires
Durée 3h.
Dans tout le sujet, nous considérons un mouvement brownien standard (Bt )t≥0 sur un espace
de probabilité filtré (Ω, F , (Ft ), P), une fonction f : R → R de classe C 1 et bornée avec sa
dérivée f 0 et F : R → R telle que F 0 = f .
Exercice 1. (Développements de Taylor aléatoires) Soient T ≥ 0 et α ∈ ]0, 1/2[ fixés.
(1) Montrer qu’il existe une v.a. K1 ≥ 0 p.s. finie telle que pour tous t, s ∈ [0, T ]
|F (Bt ) − F (Bs )| ≤ K1 |t − s|α ,
|F (Bt ) − F (Bs ) − f (Bs )(Bt − Bs )| ≤ K1 |t − s|2α .
(2) Montrer qu’il existe une v.a. K2 ≥ 0 p.s. finie telle que pour tous 0 ≤ s ≤ t ≤ T
Z t
Z t
α
f (Bu ) dBu ≤ K2 |t − s| ,
f (Bu ) dBu − f (Bs )(Bt − Bs ) ≤ K2 |t − s|2α .
s
s
On pourra utiliser la formule d’Ito appliquée à F (Bt ).
(3) On suppose que f 0 est de classe C 1 avec dérivée f 00 bornée. Montrer qu’il existe une v.a.
K3 ≥ 0 p.s. finie telle que pour tous 0 ≤ s ≤ t ≤ T
Z t
(Bu − Bs ) dBu ≤ K3 |t − s|2α ,
s
Z t
Z t
f (Bu ) dBu − f (Bs )(Bt − Bs ) − f 0 (Bs ) (Bu − Bs ) dBu ≤ K3 |t − s|3α .
s
s
On pourra utiliser une formule d’Ito appliquée au processus [s, T ] 3 t 7→ (Bt − Bs )2 .
(4) Soit maintenant α ∈ ]1/3, 1/2[. Montrer qu’il existe un seul processus γ : [0, T ] → R tel
que p.s. pour une v.a. p.s. finie C ≥ 0 et tous 0 ≤ s ≤ t ≤ T
Z t
γt − γs − f (Bs )(Bt − Bs ) − f 0 (Bs ) (Bu − Bs ) dBu ≤ C|t − s|3α .
γ0 = 0,
s
Solution de l’exercice 1. Soient T ≥ 0 et α ∈ ]0, 1/2[ fixés, L1 := sup |f | < +∞ et L2 :=
sup |f 0 | < +∞.
(1) Puisque F 0 = f et
|F (x) − F (y)| ≤ L1 |x − y|,
x, y ∈ R,
alors pour x = Bt et y = Bs nous avons
|F (Bt ) − F (Bs )| ≤ L1 |Bt − Bs |.
Par le critère de Kolmogorov il existe une v.a. Cα ≥ 0 finie p.s. telle que p.s.
|Bt − Bs | ≤ Cα |t − s|α ,
1
t, s ∈ [0, T ].
2
Nous obtenons donc la première formule. De façon analogue, puisque
|F (x) − F (y) − f (y)(x − y)| ≤ L2
(x − y)2
,
2
x, y ∈ R,
nous obtenons la deuxième formule.
(2) On utilise la formule d’Ito appliquée à F (Bt ) et l’on obtient
Z t
Z
1 t 0
f (Bu ) dBu +
F (Bt ) = F (Bs ) +
f (Bu ) du,
0 ≤ s ≤ t ≤ T,
2 s
s
Z t
L2
1
L2
T 1−2α L2
0
1−2α
2α
f
(B
)
du
≤
|t
−
s|
=
|t
−
s|
|t
−
s|
≤
|t − s|2α .
u
2
2
2
2
s
Le point 2 suit alors du point 1 car
Z t
f (Bu ) dBu − f (Bs )(Bt − Bs )
s
Z t
1
0
= F (Bt ) − F (Bs ) − f (Bs )(Bt − Bs ) −
f (Bu ) du
2 s
Z t
1
≤ |F (Bt ) − F (Bs ) − f (Bs )(Bt − Bs )| + f 0 (Bu ) du .
2 s
(3) Par la formule d’Ito, pour tous 0 ≤ s ≤ t ≤ T
Z t
2
(Bt − Bs ) = 2 (Bu − Bs ) dBu + t − s.
s
Donc
Z t
(Bu − Bs ) dBu ≤ (Bt − Bs )2 + |t − s| = (Bt − Bs )2 + |t − s|1−2α |t − s|2α ,
s
≤ Cα2 + T 1−2α |t − s|2α .
Si f 0 est de classe C 1 avec dérivée f 00 bornée et L3 := sup |f 00 | alors
2
3
F (x) − F (y) − f (y)(x − y) − f 0 (y) (x − y) ≤ L3 (x − y) ,
2
6
x, y ∈ R,
et à nouveau par la formule d’Ito appliquée à t 7→ F (Bt )
Z t
Z t
f (Bu ) dBu − f (Bs )(Bt − Bs ) − f 0 (Bs ) (Bu − Bs ) dBu s
s
Z t
2
(B
−
B
)
1
t
s
0
0
0
= F (Bt ) − F (Bs ) − f (Bs )(Bt − Bs ) − f (Bs )
−
(f (Bu ) − f (Bs )) du
2
2 s
Z
t
L3 Cα3
L3 Cα
L3 Cα3
L3 Cα
≤
|t − s|3α +
|u − s|α ds =
|t − s|3α +
|t − s|α+1 .
6
2
6
2(α + 1)
s
Puisque α < 1/2 nous avons que α + 1 > 3α et cela permet de conclure.
3
Rt
(4) Soit α ∈ ]1/3, 1/2[. Nous savons que γt := 0 f (Bu ) dBu a la propriété souhaitée. Soit γ̄
une autre fonction avec la même propriété. Alors p.s. la différence h := γ − γ̄ satisfait
h0 = 0,
|ht − hs | ≤ C|t − s|3α ,
0 ≤ s ≤ t ≤ T.
Puisque 3α > 1, en divisant par |t − s| et en faisant tendre s → t on obtient h0t = 0 pour
tout t ∈ [0, T ] et puisque h0 = 0 cela implique h ≡ 0.
L’intérêt de cet exercice est de donner une charactérisation de l’intégrale stochastique
différente de celle du cours.
Exercice 2. Soit x ∈ R.
(1) Montrer que
1
Mt := F (x + Bt ) − F (x) −
2
Z
t
f 0 (x + Bs ) ds,
t ≥ 0,
0
est une martingale.
(2) Soit pour t ≥ 0
Z
Z
1 t 0
1 t
2
Dt := exp F (x + Bt ) − F (x) −
f (x + Bs ) ds −
(f (x + Bs )) ds
2 0
2 0
et QT |FT := DT · P|FT pour tout T ≥ 0. Montrer que (Dt )t≥0 est une martingale et que
QT est une mesure de probabilité sur FT pour tout T ≥ 0.
(3) Montrer que sous QT le processus (x+Bt )t∈[0,T ] est solution faible d’une EDS pour laquelle
on a unicité trajectorielle.
(4) Quelle est la loi de (x + Bt )t∈[0,T ] sous QT ?
Solution de l’exercice 2. Soit x ∈ R.
(1) Par la formule d’Ito
1
Mt := F (x + Bt ) − F (x) −
2
Z
t
Z
0
f (x + Bs ) ds =
0
t
f (x + Bs ) dBs ,
t ≥ 0,
0
Rt
est une martingale locale telle que hM it = 0 f 2 (x + Bs ) ds est borné donc dans L1 et,
par un résultat du cours, M est une vraie martingale de plus dans L2 .
(2) On voit que pour t ≥ 0
Z
Z
1 t 0
1 t
2
Dt := exp F (x + Bt ) − F (x) −
f (x + Bs ) ds −
(f (x + Bs )) ds
2 0
2 0
Rt
est la martingale locale exponentielle E (M )t . D’autre côté hM it = 0 (f (x + Bs ))2 ds est
une variable bornée et donc par le Théorème 6.5.9 du poly D est une vraie martingale et
E[Dt ] = 1 pour tout t ≥ 0.
(3) Par le Théorème de Girsanov, sous QT le processus
Z t
B̂t := Bt − hM, Bit = Bt −
f (x + Bs ) ds,
0
t ∈ [0, T ]
4
est une martingale locale continue avec crochet hB̂it = hBit = t et par le théorème de
Lévy c’est donc un MB. Nous avons donc que
Z t
f (x + Bs ) ds + B̂t ,
t ∈ [0, T ].
x + Bt = x +
0
Comme f est une fonction Lipschitzienne (puisque sa dérivée f 0 est bornée) cette EDS
satisfait l’unicité trajectorielle par un théorème du cours.
(4) Si Φ : C([0, T ]) → R est borélienne bornée, alors par l’expression explicite de DT
E[Φ(x + Bt , t ∈ [0, T ]) DT ] =
Z
=
Φ(Xt , t ∈ [0, T ]) GT (X) dWx
C([0,T ])
où Wx est la loi de (x+Bt )t∈[0,T ] sous P, X est le processus canonique et GT : C([0, T ]) → R
est
Z
Z
1 T 0
1 T
2
GT (X) := exp F (XT ) − F (X0 ) −
f (Xs ) ds −
(f (Xs )) ds .
2 0
2 0
La loi cherchée est donc GT · Wx .
Exercice 3. Soit x > 0 et B (3) = (B 1 , B 2 , B 3 ) un mouvement brownien à valeurs dans R3
(3)
défini sur (Ω, F , (Ft ), P). On pose ρt := |x̄ + Bt |, t ≥ 0, où x̄ := (x, 0, 0) ∈ R3 \ {0}.
(1) Montrer que (ρt )t≥0 est une solution faible de l’EDS
Z t
1
ρt = x +
ds + βt ,
t ≥ 0,
0 ρs
(1)
où β est un MB standard. (On pourra passer par l’EDS satisfaite par ρ2t ou faire un calcul
direct).
(2) Montrer que le processus
Z
Mt := −
0
t
1
dβs ,
ρs
t≥0
définit une martingale locale. Si D := E (M ) est la martingale locale exponentielle de M ,
montrer que p.s.
x
Dt = E (M )t = ,
t ≥ 0.
ρt
(3) Montrer que Dτε est une vraie martingale, où τε := inf{t > 0 : ρt = ε} pour 0 < ε < x.
(4) Soit T ≥ 0 et QεT |FT := DTτε · P|FT . Montrer que (ρt∧τε )t∈[0,T ] est une martingale sous QεT
et en calculer le crochet.
(5) Soit (Wt )t≥0 un MB standard indépendant de B (3) et
γtε := ρt∧τε + Wt − Wtτε ,
t ≥ 0.
Montrer que γ ε sous QεT est un MB standard issu de x et p.s. τε = inf{t > 0 : γtε = ε}.
5
(6) Montrer que pour toute fonctionnelle Φ : C([0, T ]) → R borélienne bornée
x
E Φ(ρt∧τε , t ∈ [0, T ])
= E [Φ(x + Bt∧σε , t ∈ [0, T ])]
ρT ∧τε
et en déduire que
x + BT ∧σε
Φ(x + Bt∧σε , t ∈ [0, T ])
E [Φ(ρt∧τε , t ∈ [0, T ])] = E
x
où σε := inf{t > 0 : x + Bt = ε}.
(7) Montrer que
x + BT
E [Φ(ρt , t ∈ [0, T ])] = E
1(inf [0,T ] (x+B)>0) Φ(x + Bt , t ∈ [0, T ]) .
x
Comparer avec l’exercice 2 et interpréter le résultat.
Solution de l’exercice 3. Soit x > 0 et B (3) = (B 1 , B 2 , B 3 ) un mouvement brownien à valeurs
(3)
dans R3 défini sur (Ω, F , (Ft ), P). On pose ρt := |x̄ + Bt |, t ≥ 0, où x̄ := (x, 0, 0) ∈ R3 \ {0}.
(1) On sait par un résultat du cours que pour tout t ≥ 0
Z t
2
2
ρt = x + 2
ρs dβs + 3t
0
où
Z
βt :=
0
t
3
1 X
(x̄i + Bsi ) dBsi ,
ρs i=1
t ≥ 0,
est un MB standard. On√sait aussi par un autre résultat du cours que p.s. ρt > 0. La
fonction ]0, +∞[ 3 z 7→ z est de classe C 2 et nous pouvons donc appliquer la formule
d’Ito et trouver que
Z
Z
1 t 1
1 t 1
p (2ρs dβs + 3 du) − 2
ρt = x +
(ρs )2 ds
2 0
4 0 (ρ2s )3/2
ρ2s
Z t
1
=x+
ds + βt .
0 ρs
(2) Par continuité inf [0,t] ρ > 0 p.s. pour tout t ≥ 0 et donc M est bien définie en tant que
martingale locale. Par la formule d’Ito
Z t
Z t
ρt E (M )t = x +
ρs E (M )s dMs +
E (M )s dρs + hρ, E (M )it
0
0
Z t
Z t
Z t
1
1
=x−
E (M )s dβs +
E (M )s
ds + dβs −
E (M )s ds = x.
ρs
ρs
0
0
0
Un calcul alternatif est le suivant
Z t Z
1
1
1 t 1
− log ρt = − log x −
dβs + du +
ds
ρs
2 0 ρ2s
0 ρ
Z t
Z
1
1 t 1
1
= − log x −
dβs −
ds = − log x + Mt − hM it .
2
2 0 ρs
2
0 ρs
6
Nous avons donc p.s. pour tout t ≥ 0
1
x
= exp Mt − hM it = E (M )t .
ρt
2
Puisque M est une martingale locale, D := E (M ) l’est aussi par un théorème du cours.
(3) Puisque supt |Dtτε | ≤ x/ε, Dτε est une martingale locale bornée et donc une vraie martingale.
(4) Par le théorème de Girsanov, (ρt∧τε )t∈[0,T ] est sous QεT une semi-martingale. D’autre côté
par le même théorème le processus
Z t∧τε
1
τε
τε
β̂t := βt − hM, β it = βt∧τε +
ds = ρt∧τε − x
ρs
0
est une martingale locale avec crochet t 7→ t ∧ τε . Puisque ce crochet est borné pour tout
t ≥ 0 par t, la martingale locale est une vraie martingale dans L2 .
(5) Si (Wt )t≥0 un MB standard indépendant de B (3) et
Z t
Z t
τε
ε
1]0,t∧τε ] (s) dβ̂s + 1]t∧τε ,t] (s) dWs
γt − x := ρt∧τε − x + Wt − Wt =
0
0
alors, sous QεT , γtε est la somme de deux martingales locales orthogonales et donc
hγ ε it = t ∧ τε + 1(t≥τε ) (t − τε ) = t,
t ≥ 0.
Par le théorème de Lévy alors γ ε − x est un MB standard sous QεT . Il est évident que
τε = inf{t > 0 : γtε = ε} car γtε = ρt pour tout t ∈ [0, τε ].
(6) Par les points précédents, pour toute fonctionnelle Φ : C([0, T ]) → R borélienne bornée
x
x
ε
E Φ(ρt∧τε , t ∈ [0, T ])
= E Φ(γt∧τε , t ∈ [0, T ])
ρT ∧τε
ρT ∧τε
= E [Φ(x + Bt∧σε , t ∈ [0, T ])]
X0
et si Ψ(X) := Φ(X) X
1(XT >0) alors
T
x + BT ∧σε
E [Ψ(ρt∧τε , t ∈ [0, T ])] = E
Ψ(x + Bt∧σε , t ∈ [0, T ])
x
où σε := inf{t > 0 : x + Bt = ε}.
(7) Sous avons par la définition de σε
x + BT ∧σε = (x + BT )1(inf [0,T ] (x+B)>ε) + ε1(inf [0,T ] (x+B)≤ε)
et cela permet de conclure en passant à la limite en ε → 0 si Φ est continue.
On peut comparer toutes ces formules avec celles de l’exercice 2 : ici f (x) = x1 1(x>0) ,
F (x) = log x1(x>0) , Dt = x/ρt . Cependant f ici n’est ni bornée ni Lipschitzienne, et les
résultats de l’exercice 2 ne s’applique pas directement ; par exemple dans l’exercice 2 les
deux mesures P et QT sont équivalentes, alors que ici la présence de la fonction indicatrice
de {inf [0,T ] (x + B) ≥ 0} montre que QT P mais pas l’inverse.